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Theorem difelsiga 28791
Description: A sigma algebra is closed under set difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
difelsiga  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )

Proof of Theorem difelsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  A  e.  S )
2 elssuni 4242 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
3 difin2 3732 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. S  ->  ( A  \  B )  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  ( ( U. S  \  B
)  i^i  A )
)
5 isrnsigau 28785 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
65simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
76simp2d 1018 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
8 difeq2 3574 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  B ) )
98eleq1d 2489 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  B
)  e.  S ) )
109rspccva 3178 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
117, 10sylan 473 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
12113adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
13 intprg 4284 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i 
A ) )
1412, 1, 13syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
154, 14eqtr4d 2464 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }
)
16 simp1 1005 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
17 prssi 4150 . . . . 5  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
1812, 1, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
19 prex 4655 . . . . 5  |-  { ( U. S  \  B
) ,  A }  e.  _V
2019elpw 3982 . . . 4  |-  ( { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S  <->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
2118, 20sylibr 215 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)
22 prct 28136 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
2312, 1, 22syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
24 prnzg 4114 . . . 4  |-  ( ( U. S  \  B
)  e.  S  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
2512, 24syl 17 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
26 sigaclci 28790 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)  /\  ( {
( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om  /\  { ( U. S  \  B
) ,  A }  =/=  (/) ) )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S )
2716, 21, 23, 25, 26syl22anc 1265 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S
)
2815, 27eqeltrd 2508 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773    \ cdif 3430    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {cpr 3995   U.cuni 4213   |^|cint 4249   class class class wbr 4417   ran crn 4846   omcom 6697    ~<_ cdom 7566  sigAlgebracsiga 28765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-ac2 8882
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-ac 8536  df-cda 8587  df-siga 28766
This theorem is referenced by:  inelsiga  28793  sigainb  28794  sigaldsys  28817  cldssbrsiga  28845  measxun2  28868  measssd  28873  measunl  28874  measiuns  28875  measiun  28876  meascnbl  28877  imambfm  28920  dya2iocbrsiga  28933  dya2icobrsiga  28934  sxbrsigalem2  28944  probdif  29076
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