Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelsiga Structured version   Unicode version

Theorem difelsiga 26588
Description: A sigma algebra is closed under set difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
difelsiga  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )

Proof of Theorem difelsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  A  e.  S )
2 elssuni 4133 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
3 difin2 3624 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. S  ->  ( A  \  B )  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  ( ( U. S  \  B
)  i^i  A )
)
5 isrnsigau 26582 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
65simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
76simp2d 1001 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
8 difeq2 3480 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  B ) )
98eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  B
)  e.  S ) )
109rspccva 3084 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
117, 10sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
12113adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
13 intprg 4174 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i 
A ) )
1412, 1, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
154, 14eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }
)
16 simp1 988 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
17 prssi 4041 . . . . 5  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
1812, 1, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
19 prex 4546 . . . . 5  |-  { ( U. S  \  B
) ,  A }  e.  _V
2019elpw 3878 . . . 4  |-  ( { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S  <->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
2118, 20sylibr 212 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)
22 prct 26024 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
2312, 1, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
24 prnzg 4007 . . . 4  |-  ( ( U. S  \  B
)  e.  S  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
2512, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
26 sigaclci 26587 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)  /\  ( {
( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om  /\  { ( U. S  \  B
) ,  A }  =/=  (/) ) )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S )
2716, 21, 23, 25, 26syl22anc 1219 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S
)
2815, 27eqeltrd 2517 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727    \ cdif 3337    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   {cpr 3891   U.cuni 4103   |^|cint 4140   class class class wbr 4304   ran crn 4853   omcom 6488    ~<_ cdom 7320  sigAlgebracsiga 26562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-ac2 8644
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-iin 4186  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-ac 8298  df-cda 8349  df-siga 26563
This theorem is referenced by:  inelsiga  26590  sigainb  26591  cldssbrsiga  26613  measxun2  26636  measssd  26641  measunl  26642  measiuns  26643  measiun  26644  meascnbl  26645  imambfm  26689  dya2iocbrsiga  26702  dya2icobrsiga  26703  sxbrsigalem2  26713  probdif  26815
  Copyright terms: Public domain W3C validator