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Theorem difelsiga 27884
Description: A sigma algebra is closed under set difference. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
difelsiga  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )

Proof of Theorem difelsiga
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  A  e.  S )
2 elssuni 4275 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
3 difin2 3760 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. S  ->  ( A  \  B )  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
41, 2, 33syl 20 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  ( ( U. S  \  B
)  i^i  A )
)
5 isrnsigau 27878 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( S  C_  ~P U. S  /\  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S ( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) ) )
65simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( U. S  e.  S  /\  A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  A. x  e.  ~P  S
( x  ~<_  om  ->  U. x  e.  S ) ) )
76simp2d 1009 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  A. x  e.  S  ( U. S  \  x )  e.  S )
8 difeq2 3616 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( U. S  \  x
)  =  ( U. S  \  B ) )
98eleq1d 2536 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( U. S  \  x )  e.  S  <->  ( U. S  \  B
)  e.  S ) )
109rspccva 3213 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  S  ( U. S  \  x
)  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
117, 10sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
12113adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( U. S  \  B )  e.  S
)
13 intprg 4316 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i 
A ) )
1412, 1, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  =  ( ( U. S  \  B )  i^i  A
) )
154, 14eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  =  |^| { ( U. S  \  B
) ,  A }
)
16 simp1 996 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
17 prssi 4183 . . . . 5  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
1812, 1, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
19 prex 4689 . . . . 5  |-  { ( U. S  \  B
) ,  A }  e.  _V
2019elpw 4016 . . . 4  |-  ( { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S  <->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  C_  S )
2118, 20sylibr 212 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)
22 prct 27304 . . . 4  |-  ( ( ( U. S  \  B )  e.  S  /\  A  e.  S
)  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
2312, 1, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om )
24 prnzg 4147 . . . 4  |-  ( ( U. S  \  B
)  e.  S  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
2512, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  { ( U. S  \  B ) ,  A }  =/=  (/) )
26 sigaclci 27883 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  ~P S
)  /\  ( {
( U. S  \  B ) ,  A }  ~<_  om  /\  { ( U. S  \  B
) ,  A }  =/=  (/) ) )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S )
2716, 21, 23, 25, 26syl22anc 1229 . 2  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  |^| { ( U. S  \  B ) ,  A }  e.  S
)
2815, 27eqeltrd 2555 1  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  A  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( A  \  B
)  e.  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   U.cuni 4245   |^|cint 4282   class class class wbr 4447   ran crn 5000   omcom 6685    ~<_ cdom 7515  sigAlgebracsiga 27858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-ac2 8844
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-oi 7936  df-card 8321  df-acn 8324  df-ac 8498  df-cda 8549  df-siga 27859
This theorem is referenced by:  inelsiga  27886  sigainb  27887  cldssbrsiga  27909  measxun2  27932  measssd  27937  measunl  27938  measiuns  27939  measiun  27940  meascnbl  27941  imambfm  27984  dya2iocbrsiga  27997  dya2icobrsiga  27998  sxbrsigalem2  28008  probdif  28110
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