Theorem difelfznle 11892

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 11872	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		nn0addcl 10894	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
3	2	nn0zd 11027	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1025	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 198	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6		elfzelz 11787	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
7		zsubcl 10968	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
8	5, 6, 7	syl2anr 480	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
9	8	3adant3 1025	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
10	6	zred 11029	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
11	10	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
12		elfzel2 11785	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
13	12	zred 11029	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
14	13	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
15		nn0readdcl 10920	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
16	15	3adant3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. RR )
17	1, 16	sylbi 198	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
18	17	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
19		elfzle2 11790	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
20		elfzle1 11789	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
21		nn0re 10867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
22		nn0re 10867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
23	21, 22	anim12ci 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3adant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 198	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
26		addge02 10114	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
28	20, 27	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N <_ ( M + N ) )
29	19, 28	anim12i 568	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) )
30		letr 9716	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) -> K <_ ( M + N ) ) )
31	30	imp 430	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) /\ ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) ) -> K <_ ( M + N ) )
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1267	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ ( M + N ) )
33	32	3adant3 1025	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> K <_ ( M + N ) )
34		zre 10930	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
35	21, 22	anim12i 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
36	35	3adant3 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
37	1, 36	sylbi 198	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
38		readdcl 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M + N ) e. RR )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
40	34, 39	anim12ci 569	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
41	6, 40	sylan 473	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
42	41	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
43		subge0 10116	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
45	33, 44	mpbird 235	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> 0 <_ ( ( M + N ) - K ) )
46		elnn0z 10939	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( M + N ) - K ) ) )
47	9, 45, 46	sylanbrc 668	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. NN0 )
48		elfz3nn0 11875	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
49	48	3ad2ant1 1026	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> N e. NN0 )
50		elfzelz 11787	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
51		zre 10930	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
52		ltnle 9702	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
53	52	ancoms 454	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
54		ltle 9711	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
55	54	ancoms 454	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
56	53, 55	sylbird 238	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
57	34, 51, 56	syl2an 479	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
58	6, 50, 57	syl2an 479	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
59	58	3impia 1202	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> M <_ K )
60	50	zred 11029	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. RR )
61	60	adantl 467	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
62	61, 11, 14	leadd1d 10196	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
63	62	3adant3 1025	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
64	59, 63	mpbid 213	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M + N ) <_ ( K + N ) )
65	18, 11, 14	lesubadd2d 10201	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
66	65	3adant3 1025	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
67	64, 66	mpbird 235	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) <_ N )
68		elfz2nn0 11872	. 2 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( M + N ) - K ) <_ N ) )
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1189	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528   + caddc 9531   < clt 9664   <_ cle 9665   - cmin 9849   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ...cfz 11771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12898