Theorem difelfznle 11787

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 11769	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		nn0addcl 10832	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
3	2	nn0zd 10965	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1016	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 195	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6		elfzelz 11689	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
7		zsubcl 10906	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
8	5, 6, 7	syl2anr 478	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
9	8	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
10	6	zred 10967	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
11	10	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
12		elfzel2 11687	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
13	12	zred 10967	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
14	13	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
15		nn0re 10805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + N ) e. NN0 -> ( M + N ) e. RR )
16	2, 15	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
17	16	3adant3 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. RR )
18	1, 17	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
20		elfzle2 11691	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
21		elfzle1 11690	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
22		nn0re 10805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
23		nn0re 10805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
24	22, 23	anim12ci 567	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
25	24	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
26	1, 25	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
27		addge02 10064	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
29	21, 28	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N <_ ( M + N ) )
30	20, 29	anim12i 566	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) )
31		letr 9679	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) -> K <_ ( M + N ) ) )
32	31	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) /\ ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) ) -> K <_ ( M + N ) )
33	11, 14, 19, 30, 32	syl31anc 1231	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ ( M + N ) )
34	33	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> K <_ ( M + N ) )
35		zre 10869	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
36	22, 23	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
37	36	3adant3 1016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
38	1, 37	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
39		readdcl 9576	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M + N ) e. RR )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
41	35, 40	anim12ci 567	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
42	6, 41	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
43	42	3adant3 1016	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
44		subge0 10066	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
46	34, 45	mpbird 232	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> 0 <_ ( ( M + N ) - K ) )
47		elnn0z 10878	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( M + N ) - K ) ) )
48	9, 46, 47	sylanbrc 664	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. NN0 )
49		elfz3nn0 11772	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
50	49	3ad2ant1 1017	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> N e. NN0 )
51		elfzelz 11689	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
52		zre 10869	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
53		ltnle 9665	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
54	53	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
55		ltle 9674	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
56	55	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
57	54, 56	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
58	35, 52, 57	syl2an 477	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
59	6, 51, 58	syl2an 477	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
60	59	3impia 1193	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> M <_ K )
61	51	zred 10967	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. RR )
62	61	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
63	62, 11, 14	leadd1d 10147	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
64	63	3adant3 1016	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
65	60, 64	mpbid 210	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M + N ) <_ ( K + N ) )
66	19, 11, 14	lesubadd2d 10152	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
67	66	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
68	65, 67	mpbird 232	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) <_ N )
69		elfz2nn0 11769	. 2 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( M + N ) - K ) <_ N ) )
70	48, 50, 68, 69	syl3anbrc 1180	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493   + caddc 9496   < clt 9629   <_ cle 9630   - cmin 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12759