Theorem difelfznle 11902

Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
difelfznle	|- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 11882	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) )
2		nn0addcl 10902	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
3	2	nn0zd 11035	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1027	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 199	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. ZZ )
6		elfzelz 11797	. . . . 5 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
7		zsubcl 10976	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
8	5, 6, 7	syl2anr 481	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
9	8	3adant3 1027	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ZZ )
10	6	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. RR )
11	10	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
12		elfzel2 11795	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ZZ )
13	12	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. RR )
14	13	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
15		nn0readdcl 10928	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. RR )
16	15	3adant3 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M + N ) e. RR )
17	1, 16	sylbi 199	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
18	17	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M + N ) e. RR )
19		elfzle2 11800	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K <_ N )
20		elfzle1 11799	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> 0 <_ M )
21		nn0re 10875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
22		nn0re 10875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
23	21, 22	anim12ci 570	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
24	23	3adant3 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
25	1, 24	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( N e. RR /\ M e. RR ) )
26		addge02 10122	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( 0 <_ M <-> N <_ ( M + N ) ) )
28	20, 27	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> N <_ ( M + N ) )
29	19, 28	anim12i 569	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) )
30		letr 9724	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) -> K <_ ( M + N ) ) )
31	30	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. RR /\ N e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) /\ ( K <_ N /\ N <_ ( M + N ) ) ) -> K <_ ( M + N ) )
32	11, 14, 18, 29, 31	syl31anc 1270	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> K <_ ( M + N ) )
33	32	3adant3 1027	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> K <_ ( M + N ) )
34		zre 10938	. . . . . . . 8 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
35	21, 22	anim12i 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
36	35	3adant3 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
37	1, 36	sylbi 199	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M e. RR /\ N e. RR ) )
38		readdcl 9619	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M + N ) e. RR )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> ( M + N ) e. RR )
40	34, 39	anim12ci 570	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
41	6, 40	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
42	41	3adant3 1027	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) )
43		subge0 10124	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( 0 <_ ( ( M + N ) - K ) <-> K <_ ( M + N ) ) )
45	33, 44	mpbird 236	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> 0 <_ ( ( M + N ) - K ) )
46		elnn0z 10947	. . 3 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( M + N ) - K ) ) )
47	9, 45, 46	sylanbrc 669	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. NN0 )
48		elfz3nn0 11885	. . 3 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. NN0 )
49	48	3ad2ant1 1028	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> N e. NN0 )
50		elfzelz 11797	. . . . . 6 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. ZZ )
51		zre 10938	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
52		ltnle 9710	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
53	52	ancoms 455	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K <-> -. K <_ M ) )
54		ltle 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
55	54	ancoms 455	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( M < K -> M <_ K ) )
56	53, 55	sylbird 239	. . . . . . 7 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
57	34, 51, 56	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
58	6, 50, 57	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( -. K <_ M -> M <_ K ) )
59	58	3impia 1204	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> M <_ K )
60	50	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... N ) -> M e. RR )
61	60	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> M e. RR )
62	61, 11, 14	leadd1d 10204	. . . . 5 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
63	62	3adant3 1027	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M <_ K <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
64	59, 63	mpbid 214	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( M + N ) <_ ( K + N ) )
65	18, 11, 14	lesubadd2d 10209	. . . 4 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
66	65	3adant3 1027	. . 3 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( ( M + N ) - K ) <_ N <-> ( M + N ) <_ ( K + N ) ) )
67	64, 66	mpbird 236	. 2 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) <_ N )
68		elfz2nn0 11882	. 2 |- ( ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( M + N ) - K ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( M + N ) - K ) <_ N ) )
69	47, 49, 67, 68	syl3anbrc 1191	1 |- ( ( K e. ( 0 ... N ) /\ M e. ( 0 ... N ) /\ -. K <_ M ) -> ( ( M + N ) - K ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   e. wcel 1886   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   RRcr 9535   0cc0 9536   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ...cfz 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782

This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12919