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Theorem difelfznle 11892
Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers increased by the upper bound is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfznle  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem difelfznle
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 11872 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  <->  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  M  <_  N ) )
2 nn0addcl 10894 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
32nn0zd 11027 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
433adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
51, 4sylbi 198 . . . . 5  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
6 elfzelz 11787 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
7 zsubcl 10968 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  -  K
)  e.  ZZ )
85, 6, 7syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
983adant3 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ )
106zred 11029 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  RR )
1110adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
12 elfzel2 11785 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
1312zred 11029 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
1413adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
15 nn0readdcl 10920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
16153adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
171, 16sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
1817adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
19 elfzle2 11790 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
20 elfzle1 11789 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
21 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
22 nn0re 10867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2321, 22anim12ci 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
24233adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
251, 24sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
26 addge02 10114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0  <_  M  <->  N  <_  ( M  +  N ) ) )
2820, 27mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  N  <_  ( M  +  N
) )
2919, 28anim12i 568 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )
30 letr 9716 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N )  e.  RR )  ->  (
( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
) )
3130imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  /\  ( K  <_  N  /\  N  <_  ( M  +  N )
) )  ->  K  <_  ( M  +  N
) )
3211, 14, 18, 29, 31syl31anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
33323adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  K  <_  ( M  +  N )
)
34 zre 10930 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
3521, 22anim12i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
36353adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
371, 36sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
38 readdcl 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  +  N
)  e.  RR )
3937, 38syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
4034, 39anim12ci 569 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
416, 40sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
42413adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )
43 subge0 10116 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( M  +  N
)  -  K )  <-> 
K  <_  ( M  +  N ) ) )
4442, 43syl 17 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( 0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
)  <->  K  <_  ( M  +  N ) ) )
4533, 44mpbird 235 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  0  <_  (
( M  +  N
)  -  K ) )
46 elnn0z 10939 . . 3  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( M  +  N )  -  K
) ) )
479, 45, 46sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  NN0 )
48 elfz3nn0 11875 . . 3  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  NN0 )
49483ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  N  e.  NN0 )
50 elfzelz 11787 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
51 zre 10930 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
52 ltnle 9702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
5352ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( M  <  K  <->  -.  K  <_  M )
)
54 ltle 9711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5554ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( M  <  K  ->  M  <_  K )
)
5653, 55sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K
) )
5734, 51, 56syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K
) )
586, 50, 57syl2an 479 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -.  K  <_  M  ->  M  <_  K ) )
59583impia 1202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  M  <_  K
)
6050zred 11029 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  RR )
6160adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
6261, 11, 14leadd1d 10196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
63623adant3 1025 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  <_  K 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6459, 63mpbid 213 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( M  +  N )  <_  ( K  +  N )
)
6518, 11, 14lesubadd2d 10201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
66653adant3 1025 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N 
<->  ( M  +  N
)  <_  ( K  +  N ) ) )
6764, 66mpbird 235 . 2  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
)
68 elfz2nn0 11872 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  K )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
( M  +  N
)  -  K )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0  /\  ( ( M  +  N )  -  K )  <_  N
) )
6947, 49, 67, 68syl3anbrc 1189 1  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N )  /\  -.  K  <_  M )  ->  ( ( M  +  N )  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528    + caddc 9531    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   ...cfz 11771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772
This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12898
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