Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difelfzle Structured version   Unicode version

Theorem difelfzle 30622
 Description: The difference of two integers from a zero based finite set of sequential integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11579 . . . . 5
2 elfznn0 11579 . . . . 5
3 nn0z 10767 . . . . . . . . 9
4 nn0z 10767 . . . . . . . . 9
5 zsubcl 10785 . . . . . . . . 9
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . . 8
76adantr 465 . . . . . . 7
8 nn0re 10686 . . . . . . . . 9
9 nn0re 10686 . . . . . . . . 9
10 subge0 9950 . . . . . . . . 9
118, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . 8
1211biimpar 485 . . . . . . 7
137, 12jca 532 . . . . . 6
1413exp31 604 . . . . 5
151, 2, 14syl2im 38 . . . 4
16153imp 1182 . . 3
17 elnn0z 10757 . . 3
1816, 17sylibr 212 . 2
19 elfz3nn0 11580 . . 3
21 elfz2nn0 11578 . . . . . 6
2283ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9
23 resubcl 9771 . . . . . . . . 9
2422, 9, 23syl2an 477 . . . . . . . 8
2522adantr 465 . . . . . . . 8
26 nn0re 10686 . . . . . . . . . 10
27263ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9
2827adantr 465 . . . . . . . 8
29 nn0ge0 10703 . . . . . . . . . 10
3029adantl 466 . . . . . . . . 9
31 subge02 9953 . . . . . . . . . 10
3222, 9, 31syl2an 477 . . . . . . . . 9
3330, 32mpbid 210 . . . . . . . 8
34 simpl3 993 . . . . . . . 8
3524, 25, 28, 33, 34letrd 9626 . . . . . . 7
3635ex 434 . . . . . 6
3721, 36sylbi 195 . . . . 5
381, 37syl5com 30 . . . 4
3938a1dd 46 . . 3
40393imp 1182 . 2
41 elfz2nn0 11578 . 2
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1172 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wcel 1758   class class class wbr 4387  (class class class)co 6187  cr 9379  cc0 9380   cle 9517   cmin 9693  cn0 10677  cz 10744  cfz 11535 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-fz 11536 This theorem is referenced by:  cshwlemma1  30624
 Copyright terms: Public domain W3C validator