Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difelfzle Structured version   Unicode version

Theorem difelfzle 11843
 Description: The difference of two integers from a finite set of sequential nonnegative integers is also element of this finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
difelfzle

Proof of Theorem difelfzle
StepHypRef Expression
1 elfznn0 11826 . . . . 5
2 elfznn0 11826 . . . . 5
3 nn0z 10928 . . . . . . . . 9
4 nn0z 10928 . . . . . . . . 9
5 zsubcl 10947 . . . . . . . . 9
63, 4, 5syl2anr 476 . . . . . . . 8
76adantr 463 . . . . . . 7
8 nn0re 10845 . . . . . . . . 9
9 nn0re 10845 . . . . . . . . 9
10 subge0 10106 . . . . . . . . 9
118, 9, 10syl2anr 476 . . . . . . . 8
1211biimpar 483 . . . . . . 7
137, 12jca 530 . . . . . 6
1413exp31 602 . . . . 5
151, 2, 14syl2im 36 . . . 4
16153imp 1191 . . 3
17 elnn0z 10918 . . 3
1816, 17sylibr 212 . 2
19 elfz3nn0 11827 . . 3
21 elfz2nn0 11824 . . . . . 6
2283ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9
23 resubcl 9919 . . . . . . . . 9
2422, 9, 23syl2an 475 . . . . . . . 8
2522adantr 463 . . . . . . . 8
26 nn0re 10845 . . . . . . . . . 10
27263ad2ant2 1019 . . . . . . . . 9
2827adantr 463 . . . . . . . 8
29 nn0ge0 10862 . . . . . . . . . 10
3029adantl 464 . . . . . . . . 9
31 subge02 10109 . . . . . . . . . 10
3222, 9, 31syl2an 475 . . . . . . . . 9
3330, 32mpbid 210 . . . . . . . 8
34 simpl3 1002 . . . . . . . 8
3524, 25, 28, 33, 34letrd 9773 . . . . . . 7
3635ex 432 . . . . . 6
3721, 36sylbi 195 . . . . 5
381, 37syl5com 28 . . . 4
3938a1dd 44 . . 3
40393imp 1191 . 2
41 elfz2nn0 11824 . 2
4218, 20, 40, 41syl3anbrc 1181 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278  cr 9521  cc0 9522   cle 9659   cmin 9841  cn0 10836  cz 10905  cfz 11726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727 This theorem is referenced by:  2cshwcshw  12849
 Copyright terms: Public domain W3C validator