Theorem difabOLD 2864

Description: Difference of two class abstractions.

Assertion

Ref	Expression
difabOLD	|- ({x | ph} \ {x | ps}) = {x | (ph /\ -. ps)}

Proof of Theorem difabOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbn 1601	. . . . . 6 |- ([y / x] -. ps <-> -. [y / x]ps)
2		df-clab 1872	. . . . . 6 |- (y e. {x | -. ps} <-> [y / x] -. ps)
3		df-clab 1872	. . . . . . 7 |- (y e. {x | ps} <-> [y / x]ps)
4	3	notbii 204	. . . . . 6 |- (-. y e. {x | ps} <-> -. [y / x]ps)
5	1, 2, 4	3bitr4i 200	. . . . 5 |- (y e. {x | -. ps} <-> -. y e. {x | ps})
6		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
7	6	biantrur 794	. . . . 5 |- (-. y e. {x | ps} <-> (y e. _V /\ -. y e. {x | ps}))
8	5, 7	bitr2i 191	. . . 4 |- ((y e. _V /\ -. y e. {x | ps}) <-> y e. {x | -. ps})
9	8	difeqri 2727	. . 3 |- (_V \ {x | ps}) = {x | -. ps}
10	9	ineq2i 2793	. 2 |- ({x | ph} i^i (_V \ {x | ps})) = ({x | ph} i^i {x | -. ps})
11		invdif 2836	. 2 |- ({x | ph} i^i (_V \ {x | ps})) = ({x | ph} \ {x | ps})
12		inab 2861	. 2 |- ({x | ph} i^i {x | -. ps}) = {x | (ph /\ -. ps)}
13	10, 11, 12	3eqtr3i 1918	1 |- ({x | ph} \ {x | ps}) = {x | (ph /\ -. ps)}

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  [wsbc 1534  {cab 1871  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603

Copyright terms: Public domain