Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diclspsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem diclspsn 34833
 Description: The value of isomorphism C is spanned by vector . Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 29. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
diclspsn.l
diclspsn.a
diclspsn.h
diclspsn.p
diclspsn.t
diclspsn.i
diclspsn.u
diclspsn.n
diclspsn.f
Assertion
Ref Expression
diclspsn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem diclspsn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2765 . . 3 Scalar Scalar
2 relopab 4965 . . . . 5
3 diclspsn.l . . . . . . 7
4 diclspsn.a . . . . . . 7
5 diclspsn.h . . . . . . 7
6 diclspsn.p . . . . . . 7
7 diclspsn.t . . . . . . 7
8 eqid 2471 . . . . . . 7
9 diclspsn.i . . . . . . 7
10 diclspsn.f . . . . . . 7
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10dicval2 34818 . . . . . 6
1211releqd 4924 . . . . 5
132, 12mpbiri 241 . . . 4
14 ssrab2 3500 . . . . . 6 Scalar
15 relxp 4947 . . . . . 6
16 relss 4927 . . . . . 6 Scalar Scalar
1714, 15, 16mp2 9 . . . . 5 Scalar
1817a1i 11 . . . 4 Scalar
19 id 22 . . . 4
20 vex 3034 . . . . . . 7
21 vex 3034 . . . . . . 7
223, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 21dicopelval2 34820 . . . . . 6
23 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
24 simpll 768 . . . . . . . . . . . 12
25 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
26 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14
273, 4, 5, 6lhpocnel2 33655 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
303, 4, 5, 7, 10ltrniotacl 34217 . . . . . . . . . . . . . 14
3126, 28, 29, 30syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
335, 7, 8tendocl 34405 . . . . . . . . . . . 12
3424, 25, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
3523, 34eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
3635, 25, 233jca 1210 . . . . . . . . 9
37 simpr3 1038 . . . . . . . . . 10
38 simpr2 1037 . . . . . . . . . 10
3937, 38jca 541 . . . . . . . . 9
4036, 39impbida 850 . . . . . . . 8
41 diclspsn.u . . . . . . . . . . . . . 14
42 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
43 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14 Scalar Scalar
445, 8, 41, 42, 43dvhbase 34722 . . . . . . . . . . . . 13 Scalar
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 Scalar
4645rexeqdv 2980 . . . . . . . . . . 11 Scalar
47 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4931adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
505, 7, 8tendoidcl 34407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5150ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
535, 7, 8, 41, 52dvhopvsca 34741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5447, 48, 49, 51, 53syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
5620, 21opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15
5755, 56syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14
585, 7, 8tendo1mulr 34409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5958adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6059eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
61 equcom 1870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6260, 61syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . . 15
6362anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14
6457, 63bitrd 261 . . . . . . . . . . . . 13
65 ancom 457 . . . . . . . . . . . . 13
6664, 65syl6bb 269 . . . . . . . . . . . 12
6766rexbidva 2889 . . . . . . . . . . 11
6846, 67bitrd 261 . . . . . . . . . 10 Scalar
69683anbi3d 1371 . . . . . . . . 9 Scalar
70 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . 14
7170eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
7271ceqsrexv 3160 . . . . . . . . . . . 12
7372pm5.32i 649 . . . . . . . . . . 11
7473anbi2i 708 . . . . . . . . . 10
75 3anass 1011 . . . . . . . . . 10
76 3anass 1011 . . . . . . . . . 10
7774, 75, 763bitr4i 285 . . . . . . . . 9
7869, 77syl6rbb 270 . . . . . . . 8 Scalar
7940, 78bitrd 261 . . . . . . 7 Scalar
80 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . 11
8180rexbidv 2892 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
8281rabxp 4876 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
8382eleq2i 2541 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
84 opabid 4708 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
8583, 84bitr2i 258 . . . . . . 7 Scalar Scalar
8679, 85syl6bb 269 . . . . . 6 Scalar
8722, 86bitrd 261 . . . . 5 Scalar
8887eqrelrdv2 4939 . . . 4 Scalar Scalar
8913, 18, 19, 88syl21anc 1291 . . 3 Scalar
90 simpll 768 . . . . . . . 8 Scalar
9145eleq2d 2534 . . . . . . . . 9 Scalar
9291biimpa 492 . . . . . . . 8 Scalar
9350adantr 472 . . . . . . . . . 10
94 opelxpi 4871 . . . . . . . . . 10
9531, 93, 94syl2anc 673 . . . . . . . . 9
9695adantr 472 . . . . . . . 8 Scalar
975, 7, 8, 41, 52dvhvscacl 34742 . . . . . . . 8
9890, 92, 96, 97syl12anc 1290 . . . . . . 7 Scalar
99 eleq1a 2544 . . . . . . 7
10098, 99syl 17 . . . . . 6 Scalar
101100rexlimdva 2871 . . . . 5 Scalar
102101pm4.71rd 647 . . . 4 Scalar Scalar
103102abbidv 2589 . . 3 Scalar Scalar
1041, 89, 1033eqtr4a 2531 . 2 Scalar
1055, 41, 26dvhlmod 34749 . . 3
106 eqid 2471 . . . . 5
1075, 7, 8, 41, 106dvhelvbasei 34727 . . . 4
10826, 31, 93, 107syl12anc 1290 . . 3
109 diclspsn.n . . . 4
11042, 43, 106, 52, 109lspsn 18303 . . 3 Scalar
111105, 108, 110syl2anc 673 . 2 Scalar
112104, 111eqtr4d 2508 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cab 2457  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  csn 3959  cop 3965   class class class wbr 4395  copab 4453   cid 4749   cxp 4837   cres 4841   ccom 4843   wrel 4844  cfv 5589  crio 6269  (class class class)co 6308  cbs 15199  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  cple 15275  coc 15276  clmod 18169  clspn 18272  catm 32900  chlt 32987  clh 33620  cltrn 33737  ctendo 34390  cdvh 34717  cdic 34811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-riotaBAD 32589 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-undef 7038  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-0g 15418  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-meet 16301  df-p0 16363  df-p1 16364  df-lat 16370  df-clat 16432  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-llines 33134  df-lplanes 33135  df-lvols 33136  df-lines 33137  df-psubsp 33139  df-pmap 33140  df-padd 33432  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741  df-trl 33796  df-tendo 34393  df-edring 34395  df-dvech 34718  df-dic 34812 This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  34839  dih1dimc  34881
 Copyright terms: Public domain W3C validator