Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicelval2nd Structured version   Unicode version

Theorem dicelval2nd 35140
Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice  K. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicelval2nd.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dicelval2nd.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dicelval2nd.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dicelval2nd.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
dicelval2nd.i  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dicelval2nd  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E )

Proof of Theorem dicelval2nd
StepHypRef Expression
1 dicelval2nd.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 dicelval2nd.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 dicelval2nd.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 dicelval2nd.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoC `  K
) `  W )
5 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( (
DVecH `  K ) `  W )  =  ( ( DVecH `  K ) `  W )
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)  =  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dicssdvh 35137 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( Base `  ( ( DVecH `  K
) `  W )
) )
8 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
9 dicelval2nd.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
103, 8, 9, 5, 6dvhvbase 35038 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (
( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
1110adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Base `  ( ( DVecH `  K ) `  W ) )  =  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
127, 11sseqtrd 3490 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( I `  Q
)  C_  ( (
( LTrn `  K ) `  W )  X.  E
) )
1312sseld 3453 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  -> 
( Y  e.  ( I `  Q )  ->  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K
) `  W )  X.  E ) ) )
14133impia 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  Y  e.  ( ( ( LTrn `  K ) `  W
)  X.  E ) )
15 xp2nd 6707 . 2  |-  ( Y  e.  ( ( (
LTrn `  K ) `  W )  X.  E
)  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E
)
1614, 15syl 16 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  Y  e.  ( I `  Q
) )  ->  ( 2nd `  Y )  e.  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   ` cfv 5516   2ndc2nd 6676   Basecbs 14276   lecple 14347   Atomscatm 33214   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051   TEndoctendo 34702   DVecHcdvh 35029   DIsoCcdic 35123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-riotaBAD 32910
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-undef 6892  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-poset 15218  df-plt 15230  df-lub 15246  df-glb 15247  df-join 15248  df-meet 15249  df-p0 15311  df-p1 15312  df-lat 15318  df-clat 15380  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-atl 33249  df-cvlat 33273  df-hlat 33302  df-llines 33448  df-lplanes 33449  df-lvols 33450  df-lines 33451  df-psubsp 33453  df-pmap 33454  df-padd 33746  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055  df-trl 34109  df-tendo 34705  df-dvech 35030  df-dic 35124
This theorem is referenced by:  dicvaddcl  35141  dicvscacl  35142
  Copyright terms: Public domain W3C validator