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Theorem dibglbN 35963
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dibglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dibglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dibglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hint:    I( x)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables  f 
s  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
dom  I )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 dibglb.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dibglb.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6dibdmN 35954 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
87sseq2d 3532 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( S  C_  dom  I  <->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
102, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
11 simprr 756 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
125, 6dibvalrel 35960 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
14 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1514biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  S )
1615ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
175, 6dibvalrel 35960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  x
) )
1918a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  Rel  ( I `  x ) ) )
2019ancld 553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2120eximdv 1686 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
23 df-rex 2820 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
2422, 23sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
25 reliin 5122 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
27 id 22 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
30 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
313, 4, 5, 30diadm 35832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K ) `  W
)  =  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  =  { y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
3329, 32sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  dom  ( (
DIsoA `  K ) `  W ) )
34 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( glb `  K
)
3635, 5, 30diaglbN 35852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
3728, 33, 34, 36syl12anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
)
3837eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x ) ) )
39 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
40 eliin 4331 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
4238, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
) )
4342anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
44 r19.27zv 3927 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  /\  s  =  ( h  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4544ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4643, 45bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
47 hlclat 34155 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
4847ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
49 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
5029, 49syl6ss 3516 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
513, 35clatglbcl 15594 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
53 hllat 34160 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5453ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
5547ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
56 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
5756, 49syl6ss 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
5855, 57, 51syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5950sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
603, 5lhpbase 34794 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
6160ad3antlr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
633, 4, 35clatglble 15605 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
6455, 57, 62, 63syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
6529sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
66 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( le `  K ) W  <->  x ( le `  K ) W ) )
6766elrab 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )
6865, 67sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
6968simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 15538 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
7116, 70exlimddv 1702 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
) ( le `  K ) W )
72 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
73 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35942 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
7528, 52, 71, 74syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
76 opex 4711 . . . . . . 7  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
77 eliin 4331 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
79 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35942 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8179, 68, 80syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8281ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
8446, 75, 833bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
8584eqrelrdv2 5100 . . 3  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
8613, 26, 27, 85syl21anc 1227 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
871, 10, 11, 86syl12anc 1226 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   |^|_ciin 4326   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790   dom cdm 4999    |` cres 5001   Rel wrel 5004   ` cfv 5586   Basecbs 14483   lecple 14555   glbcglb 15423   Latclat 15525   CLatccla 15587   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   DIsoAcdia 35825   DIsoBcdib 35935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-disoa 35826  df-dib 35936
This theorem is referenced by:  dibintclN  35964  dihglblem3N  36092  dihmeetlem2N  36096
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