Theorem dibglbN 34734

Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibglb.g	|- G = ( glb ` K )
dibglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dibglb.i	|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dibglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, K   x, S   x, W

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem dibglbN

Dummy variables f s h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 459	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simprl 764	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom I )
3		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
5		dibglb.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
6		dibglb.i	. . . . . 6 |- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
7	3, 4, 5, 6	dibdmN 34725	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
8	7	sseq2d 3460	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
9	8	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	2, 9	mpbid 214	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11		simprr 766	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
12	5, 6	dibvalrel 34731	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
13	12	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
14		n0 3741	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
15	14	biimpi 198	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> E. x x e. S )
16	15	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
17	5, 6	dibvalrel 34731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` x ) )
18	17	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` x ) )
19	18	a1d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> Rel ( I ` x ) ) )
20	19	ancld 556	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
21	20	eximdv 1764	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( E. x x e. S -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
22	16, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
23		df-rex 2743	. . . . 5 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) <-> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
24	22, 23	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x e. S Rel ( I ` x ) )
25		reliin 4955	. . . 4 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
26	24, 25	syl 17	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
27		id 22	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) )
28		simpl 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
30		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
31	3, 4, 5, 30	diadm 34603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
33	29, 32	sseqtr4d 3469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) )
34		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
35		dibglb.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( glb ` K )
36	35, 5, 30	diaglbN 34623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
37	28, 33, 34, 36	syl12anc 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
38	37	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
39		vex 3048	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
40		eliin 4284	. . . . . . . . 9 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
42	38, 41	syl6bb 265	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
43	42	anbi1d 711	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
44		r19.27zv 3869	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
45	44	ad2antll 735	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
46	43, 45	bitr4d 260	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
47		hlclat 32924	. . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
48	47	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
49		ssrab2 3514	. . . . . . . 8 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
50	29, 49	syl6ss 3444	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
51	3, 35	clatglbcl 16360	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
53		hllat 32929	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
54	53	ad3antrrr 736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
55	47	ad3antrrr 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
56		simplrl 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
57	56, 49	syl6ss 3444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
58	55, 57, 51	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
59	50	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
60	3, 5	lhpbase 33563	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
61	60	ad3antlr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
62		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
63	3, 4, 35	clatglble 16371	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
64	55, 57, 62, 63	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
65	29	sselda 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
66		breq1 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y ( le ` K ) W <-> x ( le ` K ) W ) )
67	66	elrab 3196	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
68	65, 67	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
69	68	simprd 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
70	3, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69	lattrd 16304	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
71	16, 70	exlimddv 1781	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
72		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
73		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) )
74	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 34713	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
75	28, 52, 71, 74	syl12anc 1266	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
76		opex 4664	. . . . . . 7 |- <. f , s >. e. _V
77		eliin 4284	. . . . . . 7 |- ( <. f , s >. e. _V -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) )
79		simpll 760	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 34713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
81	79, 68, 80	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
82	81	ralbidva 2824	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 261	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
84	46, 75, 83	3bitr4d 289	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
85	84	eqrelrdv2 4934	. . 3 |- ( ( ( Rel ( I ` ( G ` S ) ) /\ Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) /\ ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
86	13, 26, 27, 85	syl21anc 1267	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
87	1, 10, 11, 86	syl12anc 1266	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   (/)c0 3731   <.cop 3974   |^|_ciin 4279   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   _I cid 4744   dom cdm 4834   |` cres 4836   Rel wrel 4839   ` cfv 5582   Basecbs 15121   lecple 15197   glbcglb 16188   Latclat 16291   CLatccla 16353   HLchlt 32916   LHypclh 33549   LTrncltrn 33666   DIsoAcdia 34596   DIsoBcdib 34706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-preset 16173  df-poset 16191  df-plt 16204  df-lub 16220  df-glb 16221  df-join 16222  df-meet 16223  df-p0 16285  df-p1 16286  df-lat 16292  df-clat 16354  df-oposet 32742  df-ol 32744  df-oml 32745  df-covers 32832  df-ats 32833  df-atl 32864  df-cvlat 32888  df-hlat 32917  df-lhyp 33553  df-laut 33554  df-ldil 33669  df-ltrn 33670  df-trl 33725  df-disoa 34597  df-dib 34707

This theorem is referenced by:  dibintclN  34735  dihglblem3N  34863  dihmeetlem2N  34867