Theorem dibglbN 35963

Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dibglb.g	|- G = ( glb ` K )
dibglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
dibglb.i	|- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
dibglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, K   x, S   x, W

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem dibglbN

Dummy variables f s h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		simprl 755	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom I )
3		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
4		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
5		dibglb.h	. . . . . 6 |- H = ( LHyp ` K )
6		dibglb.i	. . . . . 6 |- I = ( ( DIsoB ` K ) ` W )
7	3, 4, 5, 6	dibdmN 35954	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
8	7	sseq2d 3532	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
9	8	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	2, 9	mpbid 210	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11		simprr 756	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
12	5, 6	dibvalrel 35960	. . . 4 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
13	12	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` ( G ` S ) ) )
14		n0 3794	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
15	14	biimpi 194	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> E. x x e. S )
16	15	ad2antll 728	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
17	5, 6	dibvalrel 35960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> Rel ( I ` x ) )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel ( I ` x ) )
19	18	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> Rel ( I ` x ) ) )
20	19	ancld 553	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( x e. S -> ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
21	20	eximdv 1686	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( E. x x e. S -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) ) )
22	16, 21	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
23		df-rex 2820	. . . . 5 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) <-> E. x ( x e. S /\ Rel ( I ` x ) ) )
24	22, 23	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> E. x e. S Rel ( I ` x ) )
25		reliin 5122	. . . 4 |- ( E. x e. S Rel ( I ` x ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
26	24, 25	syl 16	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) )
27		id 22	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) )
28		simpl 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
29		simprl 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
30		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
31	3, 4, 5, 30	diadm 35832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
33	29, 32	sseqtr4d 3541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) )
34		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
35		dibglb.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( glb ` K )
36	35, 5, 30	diaglbN 35852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom ( ( DIsoA ` K ) ` W ) /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
37	28, 33, 34, 36	syl12anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
38	37	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
39		vex 3116	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
40		eliin 4331	. . . . . . . . 9 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( f e. |^|_ x e. S ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) )
42	38, 41	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) ) )
43	42	anbi1d 704	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
44		r19.27zv 3927	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
45	44	ad2antll 728	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> ( A. x e. S f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
46	43, 45	bitr4d 256	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
47		hlclat 34155	. . . . . . . 8 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
48	47	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
49		ssrab2 3585	. . . . . . . 8 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
50	29, 49	syl6ss 3516	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
51	3, 35	clatglbcl 15594	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
53		hllat 34160	. . . . . . . . 9 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
54	53	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
55	47	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
56		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
57	56, 49	syl6ss 3516	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
58	55, 57, 51	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
59	50	sselda 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
60	3, 5	lhpbase 34794	. . . . . . . . 9 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
61	60	ad3antlr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
62		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
63	3, 4, 35	clatglble 15605	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
64	55, 57, 62, 63	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
65	29	sselda 3504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
66		breq1 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y ( le ` K ) W <-> x ( le ` K ) W ) )
67	66	elrab 3261	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
68	65, 67	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
69	68	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
70	3, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69	lattrd 15538	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
71	16, 70	exlimddv 1702	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
72		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
73		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) )
74	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 35942	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
75	28, 52, 71, 74	syl12anc 1226	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` ( G ` S ) ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
76		opex 4711	. . . . . . 7 |- <. f , s >. e. _V
77		eliin 4331	. . . . . . 7 |- ( <. f , s >. e. _V -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) )
79		simpll 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
80	3, 4, 5, 72, 73, 30, 6	dibopelval2 35942	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
81	79, 68, 80	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
82	81	ralbidva 2900	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S <. f , s >. e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
83	78, 82	syl5bb 257	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( ( DIsoA ` K ) ` W ) ` x ) /\ s = ( h e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) |-> ( _I |` ( Base ` K ) ) ) ) ) )
84	46, 75, 83	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( <. f , s >. e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> <. f , s >. e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
85	84	eqrelrdv2 5100	. . 3 |- ( ( ( Rel ( I ` ( G ` S ) ) /\ Rel |^|_ x e. S ( I ` x ) ) /\ ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
86	13, 26, 27, 85	syl21anc 1227	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )
87	1, 10, 11, 86	syl12anc 1226	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   <.cop 4033   |^|_ciin 4326   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   _I cid 4790   dom cdm 4999   |` cres 5001   Rel wrel 5004   ` cfv 5586   Basecbs 14483   lecple 14555   glbcglb 15423   Latclat 15525   CLatccla 15587   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897   DIsoAcdia 35825   DIsoBcdib 35935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-poset 15426  df-plt 15438  df-lub 15454  df-glb 15455  df-join 15456  df-meet 15457  df-p0 15519  df-p1 15520  df-lat 15526  df-clat 15588  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955  df-disoa 35826  df-dib 35936

This theorem is referenced by:  dibintclN  35964  dihglblem3N  36092  dihmeetlem2N  36096