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Theorem dibglbN 35169
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dibglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dibglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dibglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hint:    I( x)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables  f 
s  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
dom  I )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 dibglb.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dibglb.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6dibdmN 35160 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
87sseq2d 3495 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
98adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( S  C_  dom  I  <->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
102, 9mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
11 simprr 756 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
125, 6dibvalrel 35166 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
1312adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
14 n0 3757 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1514biimpi 194 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  S )
1615ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
175, 6dibvalrel 35166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  x
) )
1918a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  Rel  ( I `  x ) ) )
2019ancld 553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2120eximdv 1677 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
23 df-rex 2805 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
2422, 23sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
25 reliin 5072 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
27 id 22 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )
28 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
30 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
313, 4, 5, 30diadm 35038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K ) `  W
)  =  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  =  { y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
3329, 32sseqtr4d 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  dom  ( (
DIsoA `  K ) `  W ) )
34 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( glb `  K
)
3635, 5, 30diaglbN 35058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
3728, 33, 34, 36syl12anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
)
3837eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x ) ) )
39 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
40 eliin 4287 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
4238, 41syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
) )
4342anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
44 r19.27zv 3890 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  /\  s  =  ( h  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4544ad2antll 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4643, 45bitr4d 256 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
47 hlclat 33361 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
4847ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
49 ssrab2 3548 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
5029, 49syl6ss 3479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
513, 35clatglbcl 15406 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
53 hllat 33366 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5453ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
5547ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
56 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
5756, 49syl6ss 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
5855, 57, 51syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5950sselda 3467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
603, 5lhpbase 34000 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
6160ad3antlr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
62 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
633, 4, 35clatglble 15417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
6455, 57, 62, 63syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
6529sselda 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
66 breq1 4406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( le `  K ) W  <->  x ( le `  K ) W ) )
6766elrab 3224 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )
6865, 67sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
6968simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 15350 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
7116, 70exlimddv 1693 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
) ( le `  K ) W )
72 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
73 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35148 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
7528, 52, 71, 74syl12anc 1217 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
76 opex 4667 . . . . . . 7  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
77 eliin 4287 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
79 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 35148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8179, 68, 80syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8281ralbidva 2844 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
8446, 75, 833bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
8584eqrelrdv2 5050 . . 3  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
8613, 26, 27, 85syl21anc 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
871, 10, 11, 86syl12anc 1217 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   (/)c0 3748   <.cop 3994   |^|_ciin 4283   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    _I cid 4742   dom cdm 4951    |` cres 4953   Rel wrel 4956   ` cfv 5529   Basecbs 14295   lecple 14367   glbcglb 15235   Latclat 15337   CLatccla 15399   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   DIsoAcdia 35031   DIsoBcdib 35141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-disoa 35032  df-dib 35142
This theorem is referenced by:  dibintclN  35170  dihglblem3N  35298  dihmeetlem2N  35302
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