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Theorem dibglbN 34454
Description: Partial isomorphism B of a lattice glb. (Contributed by NM, 9-Mar-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dibglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
dibglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dibglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
dibglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hint:    I( x)

Proof of Theorem dibglbN
Dummy variables  f 
s  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simprl 762 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
dom  I )
3 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
5 dibglb.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 dibglb.i . . . . . 6  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6dibdmN 34445 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
87sseq2d 3498 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
98adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( S  C_  dom  I  <->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
102, 9mpbid 213 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
11 simprr 764 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
125, 6dibvalrel 34451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S ) ) )
1312adantr 466 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  ( G `  S )
) )
14 n0 3777 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1514biimpi 197 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  S )
1615ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
175, 6dibvalrel 34451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  Rel  ( I `  x ) )
1817adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  ( I `  x
) )
1918a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  Rel  ( I `  x ) ) )
2019ancld 555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( x  e.  S  ->  ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2120eximdv 1757 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  E. x
( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x ) ) ) )
2216, 21mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  (
I `  x )
) )
23 df-rex 2788 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  <->  E. x ( x  e.  S  /\  Rel  ( I `  x
) ) )
2422, 23sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
) )
25 reliin 4975 . . . 4  |-  ( E. x  e.  S  Rel  ( I `  x
)  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
2624, 25syl 17 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
27 id 23 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )
28 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
29 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
30 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
313, 4, 5, 30diadm 34323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K ) `  W
)  =  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  =  { y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
3329, 32sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  dom  ( (
DIsoA `  K ) `  W ) )
34 simprr 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
35 dibglb.g . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( glb `  K
)
3635, 5, 30diaglbN 34343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  ( ( DIsoA `  K
) `  W )  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
3728, 33, 34, 36syl12anc 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
)
3837eleq2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x ) ) )
39 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
40 eliin 4308 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( (
( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  x
) )
4238, 41syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  ( G `  S
) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )
) )
4342anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
44 r19.27zv 3903 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W ) `  x
)  /\  s  =  ( h  e.  (
( LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4544ad2antll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) )  <-> 
( A. x  e.  S  f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
4643, 45bitr4d 259 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
47 hlclat 32644 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
4847ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
49 ssrab2 3552 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
5029, 49syl6ss 3482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
513, 35clatglbcl 16315 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5248, 50, 51syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
53 hllat 32649 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5453ad3antrrr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
5547ad3antrrr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
56 simplrl 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
5756, 49syl6ss 3482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
5855, 57, 51syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5950sselda 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
603, 5lhpbase 33283 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
6160ad3antlr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
62 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
633, 4, 35clatglble 16326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
6455, 57, 62, 63syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
6529sselda 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } )
66 breq1 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( le `  K ) W  <->  x ( le `  K ) W ) )
6766elrab 3235 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  <->  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )
6865, 67sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
6968simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
703, 4, 54, 58, 59, 61, 64, 69lattrd 16259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
7116, 70exlimddv 1773 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( G `  S
) ( le `  K ) W )
72 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
73 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
743, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 34433 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  ( G `  S )
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
7528, 52, 71, 74syl12anc 1262 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  ( G `  S ) )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
76 opex 4686 . . . . . . 7  |-  <. f ,  s >.  e.  _V
77 eliin 4308 . . . . . . 7  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  _V  ->  ( <. f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `
 x )  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  (
I `  x )
) )
7876, 77ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( <.
f ,  s >.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
) )
79 simpll 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
803, 4, 5, 72, 73, 30, 6dibopelval2 34433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  ( <. f ,  s >.  e.  ( I `  x
)  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8179, 68, 80syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8281ralbidva 2868 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( A. x  e.  S  <. f ,  s
>.  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  x )  /\  s  =  (
h  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) ) ) )
8378, 82syl5bb 260 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  x )  /\  s  =  ( h  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) ) ) )
8446, 75, 833bitr4d 288 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( <. f ,  s
>.  e.  ( I `  ( G `  S ) )  <->  <. f ,  s
>.  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) ) )
8584eqrelrdv2 4954 . . 3  |-  ( ( ( Rel  ( I `
 ( G `  S ) )  /\  Rel  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )  /\  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) ) )  ->  ( I `  ( G `  S ) )  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
8613, 26, 27, 85syl21anc 1263 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  { y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W }  /\  S  =/=  (/) ) )  -> 
( I `  ( G `  S )
)  =  |^|_ x  e.  S  ( I `  x ) )
871, 10, 11, 86syl12anc 1262 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   <.cop 4008   |^|_ciin 4303   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    _I cid 4764   dom cdm 4854    |` cres 4856   Rel wrel 4859   ` cfv 5601   Basecbs 15084   lecple 15160   glbcglb 16143   Latclat 16246   CLatccla 16308   HLchlt 32636   LHypclh 33269   LTrncltrn 33386   DIsoAcdia 34316   DIsoBcdib 34426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-preset 16128  df-poset 16146  df-plt 16159  df-lub 16175  df-glb 16176  df-join 16177  df-meet 16178  df-p0 16240  df-p1 16241  df-lat 16247  df-clat 16309  df-oposet 32462  df-ol 32464  df-oml 32465  df-covers 32552  df-ats 32553  df-atl 32584  df-cvlat 32608  df-hlat 32637  df-lhyp 33273  df-laut 33274  df-ldil 33389  df-ltrn 33390  df-trl 33445  df-disoa 34317  df-dib 34427
This theorem is referenced by:  dibintclN  34455  dihglblem3N  34583  dihmeetlem2N  34587
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