Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib0 Structured version   Unicode version

Theorem dib0 37288
Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dib0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib0.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dib0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dib0.o  |-  O  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dib0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )

Proof of Theorem dib0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
2 resiexg 6709 . . . 4  |-  ( (
Base `  K )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V
4 fvex 5858 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
54mptex 6118 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  _V
63, 5xpsn 6049 . 2  |-  ( { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } )  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. }
7 id 22 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 hlop 35484 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
10 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 dib0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
1210, 11op0cl 35306 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
139, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
14 dib0.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1510, 14lhpbase 36119 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
16 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1710, 16, 11op0le 35308 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
188, 15, 17syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
19 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
22 dib0.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
2310, 16, 14, 19, 20, 21, 22dibval2 37268 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .0.  e.  ( Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
247, 13, 18, 23syl12anc 1224 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  .0.  )  X.  {
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2510, 11, 14, 21dia0 37176 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  =  { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) } )
2625xpeq1d 5011 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } )  =  ( { (  _I  |`  ( Base `  K
) ) }  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2724, 26eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( {
(  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } ) )
28 dib0.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
29 dib0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  U
)
3010, 14, 19, 28, 29, 20dvh0g 37235 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
3130sneqd 4028 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { O }  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } )
326, 27, 313eqtr4a 2521 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   {csn 4016   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    _I cid 4779    X. cxp 4986    |` cres 4990   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791   0gc0g 14929   0.cp0 15866   OPcops 35294   HLchlt 35472   LHypclh 36105   LTrncltrn 36222   DIsoAcdia 37152   DVecHcdvh 37202   DIsoBcdib 37262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-riotaBAD 35081
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-undef 6994  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-0g 14931  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-p1 15869  df-lat 15875  df-clat 15937  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-oppr 17467  df-dvdsr 17485  df-unit 17486  df-invr 17516  df-dvr 17527  df-drng 17593  df-lmod 17709  df-lvec 17944  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-llines 35619  df-lplanes 35620  df-lvols 35621  df-lines 35622  df-psubsp 35624  df-pmap 35625  df-padd 35917  df-lhyp 36109  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226  df-trl 36281  df-tendo 36878  df-edring 36880  df-disoa 37153  df-dvech 37203  df-dib 37263
This theorem is referenced by:  dihvalcqat  37363  dih0  37404
  Copyright terms: Public domain W3C validator