Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dib0 Structured version   Unicode version

Theorem dib0 34702
Description: The value of partial isomorphism B at the lattice zero is the singleton of the zero vector i.e. the zero subspace. (Contributed by NM, 27-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dib0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
dib0.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dib0.i  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
dib0.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
dib0.o  |-  O  =  ( 0g `  U
)
Assertion
Ref Expression
dib0  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )

Proof of Theorem dib0
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5696 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
2 resiexg 6509 . . . 4  |-  ( (
Base `  K )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  (  _I  |`  ( Base `  K
) )  e.  _V
4 fvex 5696 . . . 4  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  e.  _V
54mptex 5943 . . 3  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  e.  _V
63, 5xpsn 5880 . 2  |-  ( { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } )  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. }
7 id 22 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 hlop 32900 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  K  e.  OP )
10 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
11 dib0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
1210, 11op0cl 32722 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  ( Base `  K
) )
139, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  e.  ( Base `  K ) )
14 dib0.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1510, 14lhpbase 33535 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
16 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
1710, 16, 11op0le 32724 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  ( Base `  K ) )  ->  .0.  ( le `  K
) W )
188, 15, 17syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  .0.  ( le `  K ) W )
19 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
20 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )  =  ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) )
21 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
DIsoA `  K ) `  W )  =  ( ( DIsoA `  K ) `  W )
22 dib0.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoB `  K
) `  W )
2310, 16, 14, 19, 20, 21, 22dibval2 34682 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (  .0.  e.  ( Base `  K )  /\  .0.  ( le `  K ) W ) )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
247, 13, 18, 23syl12anc 1216 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( (
( ( DIsoA `  K
) `  W ) `  .0.  )  X.  {
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2510, 11, 14, 21dia0 34590 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( DIsoA `  K ) `  W
) `  .0.  )  =  { (  _I  |`  ( Base `  K ) ) } )
2625xpeq1d 4858 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( ( (
DIsoA `  K ) `  W ) `  .0.  )  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } )  =  ( { (  _I  |`  ( Base `  K
) ) }  X.  { ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) } ) )
2724, 26eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  ( {
(  _I  |`  ( Base `  K ) ) }  X.  { ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) } ) )
28 dib0.u . . . 4  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
29 dib0.o . . . 4  |-  O  =  ( 0g `  U
)
3010, 14, 19, 28, 29, 20dvh0g 34649 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  =  <. (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ,  ( f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K
) ) ) >.
)
3130sneqd 3884 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  { O }  =  { <. (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ,  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  |->  (  _I  |`  ( Base `  K ) ) ) >. } )
326, 27, 313eqtr4a 2496 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I `  .0.  )  =  { O } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872   <.cop 3878   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    _I cid 4626    X. cxp 4833    |` cres 4837   ` cfv 5413   Basecbs 14166   lecple 14237   0gc0g 14370   0.cp0 15199   OPcops 32710   HLchlt 32888   LHypclh 33521   LTrncltrn 33638   DIsoAcdia 34566   DVecHcdvh 34616   DIsoBcdib 34676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-riotaBAD 32497
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-undef 6784  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-0g 14372  df-poset 15108  df-plt 15120  df-lub 15136  df-glb 15137  df-join 15138  df-meet 15139  df-p0 15201  df-p1 15202  df-lat 15208  df-clat 15270  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lvec 17164  df-oposet 32714  df-ol 32716  df-oml 32717  df-covers 32804  df-ats 32805  df-atl 32836  df-cvlat 32860  df-hlat 32889  df-llines 33035  df-lplanes 33036  df-lvols 33037  df-lines 33038  df-psubsp 33040  df-pmap 33041  df-padd 33333  df-lhyp 33525  df-laut 33526  df-ldil 33641  df-ltrn 33642  df-trl 33696  df-tendo 34292  df-edring 34294  df-disoa 34567  df-dvech 34617  df-dib 34677
This theorem is referenced by:  dihvalcqat  34777  dih0  34818
  Copyright terms: Public domain W3C validator