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Theorem dialss 31529
Description: The value of partial isomorphism A is a subspace of partial vector space A. Part of Lemma M of [Crawley] p. 120 line 26. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dialss.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
dialss.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dialss.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dialss.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dialss.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dialss.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
dialss  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )

Proof of Theorem dialss
Dummy variables  a 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2405 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U ) )
2 dialss.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
4 dialss.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
6 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
72, 3, 4, 5, 6dvabase 31489 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (Scalar `  U ) )  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
87eqcomd 2409 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( TEndo `  K
) `  W )  =  ( Base `  (Scalar `  U ) ) )
98adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( TEndo `  K ) `  W )  =  (
Base `  (Scalar `  U
) ) )
10 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
122, 10, 4, 11dvavbase 31495 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
1312eqcomd 2409 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( LTrn `  K
) `  W )  =  ( Base `  U
) )
1413adantr 452 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( LTrn `  K ) `  W )  =  (
Base `  U )
)
15 eqidd 2405 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U
) )
16 eqidd 2405 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  ( .s `  U )  =  ( .s `  U
) )
17 dialss.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
1817a1i 11 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  S  =  ( LSubSp `  U
) )
19 dialss.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
20 dialss.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
21 dialss.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
2219, 20, 2, 10, 21diass 31525 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  C_  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2319, 20, 2, 21dian0 31522 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  =/=  (/) )
24 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simpr1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
26 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )
27 simpr2 964 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( I `  X
) )
2819, 20, 2, 10, 21diael 31526 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
2924, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
30 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
312, 10, 3, 4, 30dvavsca 31499 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3224, 25, 29, 31syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x ( .s `  U ) a )  =  ( x `  a ) )
3332oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a ) ( +g  `  U ) b ) )
342, 10, 3tendocl 31249 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3524, 25, 29, 34syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
36 simpr3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( I `  X
) )
3719, 20, 2, 10, 21diael 31526 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
3824, 26, 36, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)
39 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
402, 10, 4, 39dvavadd 31497 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) ) )  ->  ( ( x `
 a ) ( +g  `  U ) b )  =  ( ( x `  a
)  o.  b ) )
4124, 35, 38, 40syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
4233, 41eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  =  ( ( x `  a )  o.  b
) )
432, 10ltrnco 31201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W ) )
4424, 35, 38, 43syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
) )
45 hllat 29846 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4645ad3antrrr 711 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  K  e.  Lat )
47 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4819, 2, 10, 47trlcl 30646 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( x `
 a )  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
4924, 44, 48syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  e.  B
)
5019, 2, 10, 47trlcl 30646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5124, 35, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  e.  B
)
5219, 2, 10, 47trlcl 30646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  b  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
5324, 38, 52syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)
54 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5519, 54latjcl 14434 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  e.  B
)  ->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  e.  B )
5646, 51, 53, 55syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  e.  B )
57 simplrl 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  X  e.  B )
5820, 54, 2, 10, 47trlco 31209 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x `  a )  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  b  e.  (
( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( (
x `  a )  o.  b ) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
5924, 35, 38, 58syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) ) )
6019, 2, 10, 47trlcl 30646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6124, 29, 60syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  e.  B
)
6220, 2, 10, 47, 3tendotp 31243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  x  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W )  /\  a  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6324, 25, 29, 62syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  a ) )
6419, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 31527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  a  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6524, 26, 27, 64syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  a )  .<_  X )
6619, 20, 46, 51, 61, 57, 63, 65lattrd 14442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X )
6719, 20, 2, 10, 47, 21diatrl 31527 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W )  /\  b  e.  ( I `  X
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6824, 26, 36, 67syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  b )  .<_  X )
6919, 20, 54latjle12 14446 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  e.  B  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7046, 51, 53, 57, 69syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  ( x `  a
) )  .<_  X  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )  .<_  X )  <->  ( (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( x `  a
) ) ( join `  K ) ( ( ( trL `  K
) `  W ) `  b ) )  .<_  X ) )
7166, 68, 70mpbi2and 888 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  ( x `  a ) ) (
join `  K )
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  b )
)  .<_  X )
7219, 20, 46, 49, 56, 57, 59, 71lattrd 14442 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X )
7319, 20, 2, 10, 47, 21diaelval 31516 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7473adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( ( x `  a )  o.  b
)  e.  ( I `
 X )  <->  ( (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W
)  /\  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  ( ( x `  a )  o.  b
) )  .<_  X ) ) )
7544, 72, 74mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x `  a
)  o.  b )  e.  ( I `  X ) )
7642, 75eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  /\  ( x  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  a  e.  (
I `  X )  /\  b  e.  (
I `  X )
) )  ->  (
( x ( .s
`  U ) a ) ( +g  `  U
) b )  e.  ( I `  X
) )
771, 9, 14, 15, 16, 18, 22, 23, 76islssd 15967 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  X  .<_  W ) )  ->  (
I `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    o. ccom 4841   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   lecple 13491   joincjn 14356   Latclat 14429   LSubSpclss 15963   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640   TEndoctendo 31234   DVecAcdveca 31484   DIsoAcdia 31511
This theorem is referenced by:  diasslssN  31542  dia2dimlem5  31551  dia2dimlem7  31553  dia2dimlem9  31555  dia2dimlem10  31556  dia2dimlem13  31559  diblsmopel  31654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-lss 15964  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512
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