Theorem diaglbN 35058

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	|- G = ( glb ` K )
diaglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
diaglb.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, I   x, K   x, S   x, W

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 457	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		hlclat 33361	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
3	2	ad2antrr 725	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
4		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2454	. . . . . . . . . 10 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	diadm 35038	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
9	8	sseq2d 3495	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	9	biimpa 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ dom I ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11	10	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
12		ssrab2 3548	. . . . . 6 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
13	11, 12	syl6ss 3479	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
14		diaglb.g	. . . . . 6 |- G = ( glb ` K )
15	4, 14	clatglbcl 15406	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
16	3, 13, 15	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
18		n0 3757	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
19	17, 18	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
20		hllat 33366	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
21	20	ad3antrrr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
22	16	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
23		ssel2 3462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ dom I /\ x e. S ) -> x e. dom I )
24	23	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
25	24	adantll 713	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 35039	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
27	26	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
28	25, 27	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
29	28	simpld 459	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
30	4, 6	lhpbase 34000	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
31	30	ad3antlr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
32	2	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
33	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
34		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
35	4, 5, 14	clatglble 15417	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
37	28	simprd 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 15350	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
39	19, 38	exlimddv 1693	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
40		eqid 2454	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
41		eqid 2454	. . . . 5 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 35036	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 1217	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
44		r19.28zv 3886	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
45	44	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
46		simpll 753	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 35036	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
48	46, 28, 47	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
49	48	ralbidva 2844	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S f e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
50	2	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. CLat )
51	4, 6, 40, 41	trlcl 34166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
52	51	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
53	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
54	4, 5, 14	clatleglb 15418	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
56	55	pm5.32da 641	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
57	45, 49, 56	3bitr4rd 286	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
58		vex 3081	. . . . 5 |- f e. _V
59		eliin 4287	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) )
61	57, 60	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
62	43, 61	bitrd 253	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
63	62	eqrdv 2451	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   (/)c0 3748   |^|_ciin 4283   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   ` cfv 5529   Basecbs 14295   lecple 14367   glbcglb 15235   Latclat 15337   CLatccla 15399   HLchlt 33353   LHypclh 33986   LTrncltrn 34103   trLctrl 34160   DIsoAcdia 35031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-poset 15238  df-plt 15250  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-p0 15331  df-p1 15332  df-lat 15338  df-clat 15400  df-oposet 33179  df-ol 33181  df-oml 33182  df-covers 33269  df-ats 33270  df-atl 33301  df-cvlat 33325  df-hlat 33354  df-lhyp 33990  df-laut 33991  df-ldil 34106  df-ltrn 34107  df-trl 34161  df-disoa 35032

This theorem is referenced by:  diameetN  35059  diaintclN  35061  dibglbN  35169