Theorem diaglbN 34535

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	|- G = ( glb ` K )
diaglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
diaglb.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, I   x, K   x, S   x, W

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 458	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		hlclat 32836	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
3	2	ad2antrr 730	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
4		eqid 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2423	. . . . . . . . . 10 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	diadm 34515	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
9	8	sseq2d 3430	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	9	biimpa 486	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ dom I ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11	10	adantrr 721	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
12		ssrab2 3484	. . . . . 6 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
13	11, 12	syl6ss 3414	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
14		diaglb.g	. . . . . 6 |- G = ( glb ` K )
15	4, 14	clatglbcl 16298	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
16	3, 13, 15	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 764	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
18		n0 3709	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
19	17, 18	sylib 199	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
20		hllat 32841	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
21	20	ad3antrrr 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
22	16	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
23		ssel2 3397	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ dom I /\ x e. S ) -> x e. dom I )
24	23	adantlr 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
25	24	adantll 718	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 34516	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
27	26	ad2antrr 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
28	25, 27	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
29	28	simpld 460	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
30	4, 6	lhpbase 33475	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
31	30	ad3antlr 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
32	2	ad3antrrr 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
33	13	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
34		simpr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
35	4, 5, 14	clatglble 16309	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
37	28	simprd 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 16242	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
39	19, 38	exlimddv 1774	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
40		eqid 2423	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
41		eqid 2423	. . . . 5 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34513	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 1262	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
44		r19.28zv 3832	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
45	44	ad2antll 733	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
46		simpll 758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34513	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
48	46, 28, 47	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
49	48	ralbidva 2796	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S f e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
50	2	ad3antrrr 734	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. CLat )
51	4, 6, 40, 41	trlcl 33642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
52	51	adantlr 719	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
53	13	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
54	4, 5, 14	clatleglb 16310	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1264	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
56	55	pm5.32da 645	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
57	45, 49, 56	3bitr4rd 289	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
58		vex 3020	. . . . 5 |- f e. _V
59		eliin 4243	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) )
61	57, 60	syl6bbr 266	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
62	43, 61	bitrd 256	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
63	62	eqrdv 2421	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   =/= wne 2594   A.wral 2709   {crab 2713   _Vcvv 3017   C_ wss 3374   (/)c0 3699   |^|_ciin 4238   class class class wbr 4361   dom cdm 4791   ` cfv 5539   Basecbs 15059   lecple 15135   glbcglb 16126   Latclat 16229   CLatccla 16291   HLchlt 32828   LHypclh 33461   LTrncltrn 33578   trLctrl 33636   DIsoAcdia 34508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-map 7424  df-preset 16111  df-poset 16129  df-plt 16142  df-lub 16158  df-glb 16159  df-join 16160  df-meet 16161  df-p0 16223  df-p1 16224  df-lat 16230  df-clat 16292  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-disoa 34509

This theorem is referenced by:  diameetN  34536  diaintclN  34538  dibglbN  34646