Theorem diaglbN 34668

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	|- G = ( glb ` K )
diaglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
diaglb.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, I   x, K   x, S   x, W

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 463	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		hlclat 32969	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
3	2	ad2antrr 737	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
4		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	diadm 34648	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
9	8	sseq2d 3472	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	9	biimpa 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ dom I ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11	10	adantrr 728	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
12		ssrab2 3526	. . . . . 6 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
13	11, 12	syl6ss 3456	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
14		diaglb.g	. . . . . 6 |- G = ( glb ` K )
15	4, 14	clatglbcl 16409	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
16	3, 13, 15	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 771	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
18		n0 3753	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
19	17, 18	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
20		hllat 32974	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
21	20	ad3antrrr 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
22	16	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
23		ssel2 3439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ dom I /\ x e. S ) -> x e. dom I )
24	23	adantlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
25	24	adantll 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 34649	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
27	26	ad2antrr 737	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
28	25, 27	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
29	28	simpld 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
30	4, 6	lhpbase 33608	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
31	30	ad3antlr 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
32	2	ad3antrrr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
33	13	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
34		simpr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
35	4, 5, 14	clatglble 16420	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
37	28	simprd 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 16353	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
39	19, 38	exlimddv 1792	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
40		eqid 2462	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
41		eqid 2462	. . . . 5 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34646	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 1274	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
44		r19.28zv 3876	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
45	44	ad2antll 740	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
46		simpll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34646	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
48	46, 28, 47	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
49	48	ralbidva 2836	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S f e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
50	2	ad3antrrr 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. CLat )
51	4, 6, 40, 41	trlcl 33775	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
52	51	adantlr 726	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
53	13	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
54	4, 5, 14	clatleglb 16421	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
56	55	pm5.32da 651	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
57	45, 49, 56	3bitr4rd 294	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
58		vex 3060	. . . . 5 |- f e. _V
59		eliin 4298	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) )
61	57, 60	syl6bbr 271	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
62	43, 61	bitrd 261	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
63	62	eqrdv 2460	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057   C_ wss 3416   (/)c0 3743   |^|_ciin 4293   class class class wbr 4416   dom cdm 4853   ` cfv 5601   Basecbs 15170   lecple 15246   glbcglb 16237   Latclat 16340   CLatccla 16402   HLchlt 32961   LHypclh 33594   LTrncltrn 33711   trLctrl 33769   DIsoAcdia 34641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-map 7500  df-preset 16222  df-poset 16240  df-plt 16253  df-lub 16269  df-glb 16270  df-join 16271  df-meet 16272  df-p0 16334  df-p1 16335  df-lat 16341  df-clat 16403  df-oposet 32787  df-ol 32789  df-oml 32790  df-covers 32877  df-ats 32878  df-atl 32909  df-cvlat 32933  df-hlat 32962  df-lhyp 33598  df-laut 33599  df-ldil 33714  df-ltrn 33715  df-trl 33770  df-disoa 34642

This theorem is referenced by:  diameetN  34669  diaintclN  34671  dibglbN  34779