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Theorem diaglbN 34535
Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
diaglb.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
diaglb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
diaglb.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
diaglbN  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Distinct variable groups:    x, G    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W

Proof of Theorem diaglbN
Dummy variables  f 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 hlclat 32836 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
32ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  K  e.  CLat )
4 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
5 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6 diaglb.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
7 diaglb.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
84, 5, 6, 7diadm 34515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  dom  I  =  {
y  e.  ( Base `  K )  |  y ( le `  K
) W } )
98sseq2d 3430 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( S  C_  dom  I 
<->  S  C_  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W } ) )
109biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  S  C_  dom  I )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
1110adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_ 
{ y  e.  (
Base `  K )  |  y ( le
`  K ) W } )
12 ssrab2 3484 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( Base `  K
)  |  y ( le `  K ) W }  C_  ( Base `  K )
1311, 12syl6ss 3414 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
14 diaglb.g . . . . . 6  |-  G  =  ( glb `  K
)
154, 14clatglbcl 16298 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
163, 13, 15syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )  e.  ( Base `  K
) )
17 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  S  =/=  (/) )
18 n0 3709 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
1917, 18sylib 199 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  E. x  x  e.  S )
20 hllat 32841 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2120ad3antrrr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
2216adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
)  e.  ( Base `  K ) )
23 ssel2 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  dom  I  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2423adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
2524adantll 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  dom  I
)
264, 5, 6, 7diaeldm 34516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2726ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  dom  I 
<->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) ) )
2825, 27mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( x  e.  (
Base `  K )  /\  x ( le `  K ) W ) )
2928simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
304, 6lhpbase 33475 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
3130ad3antlr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
322ad3antrrr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
3313adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  ( Base `  K ) )
34 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
354, 5, 14clatglble 16309 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) x )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) x )
3728simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  x ( le `  K ) W )
384, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37lattrd 16242 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( G `  S
) ( le `  K ) W )
3919, 38exlimddv 1774 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( G `  S )
( le `  K
) W )
40 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( (
LTrn `  K ) `  W )  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41 eqid 2423 . . . . 5  |-  ( ( trL `  K ) `
 W )  =  ( ( trL `  K
) `  W )
424, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 34513 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G `
 S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( G `  S ) ( le
`  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
431, 16, 39, 42syl12anc 1262 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) ) ) )
44 r19.28zv 3832 . . . . . 6  |-  ( S  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  S  (
f  e.  ( (
LTrn `  K ) `  W )  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f ) ( le
`  K ) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4544ad2antll 733 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
46 simpll 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
474, 5, 6, 40, 41, 7diaelval 34513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( x  e.  ( Base `  K
)  /\  x ( le `  K ) W ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 x )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4846, 28, 47syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  x  e.  S )  ->  ( f  e.  ( I `  x )  <-> 
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
4948ralbidva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  ( A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
502ad3antrrr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  K  e.  CLat )
514, 6, 40, 41trlcl 33642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )
)  ->  ( (
( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )
)
5251adantlr 719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )  e.  ( Base `  K
) )
5313adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
544, 5, 14clatleglb 16310 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( ( trL `  K
) `  W ) `  f )  e.  (
Base `  K )  /\  S  C_  ( Base `  K ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5550, 52, 53, 54syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  ( ( LTrn `  K ) `  W ) )  -> 
( ( ( ( trL `  K ) `
 W ) `  f ) ( le
`  K ) ( G `  S )  <->  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) )
5655pm5.32da 645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  ( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  A. x  e.  S  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) x ) ) )
5745, 49, 563bitr4rd 289 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
58 vex 3020 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
59 eliin 4243 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x )  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x
) ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ x  e.  S  ( I `  x
)  <->  A. x  e.  S  f  e.  ( I `  x ) )
6157, 60syl6bbr 266 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
( f  e.  ( ( LTrn `  K
) `  W )  /\  ( ( ( trL `  K ) `  W
) `  f )
( le `  K
) ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6243, 61bitrd 256 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  ( I `
 ( G `  S ) )  <->  f  e.  |^|_
x  e.  S  ( I `  x ) ) )
6362eqrdv 2421 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  C_  dom  I  /\  S  =/=  (/) ) )  ->  (
I `  ( G `  S ) )  = 
|^|_ x  e.  S  ( I `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   {crab 2713   _Vcvv 3017    C_ wss 3374   (/)c0 3699   |^|_ciin 4238   class class class wbr 4361   dom cdm 4791   ` cfv 5539   Basecbs 15059   lecple 15135   glbcglb 16126   Latclat 16229   CLatccla 16291   HLchlt 32828   LHypclh 33461   LTrncltrn 33578   trLctrl 33636   DIsoAcdia 34508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-id 4706  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-map 7424  df-preset 16111  df-poset 16129  df-plt 16142  df-lub 16158  df-glb 16159  df-join 16160  df-meet 16161  df-p0 16223  df-p1 16224  df-lat 16230  df-clat 16292  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829  df-lhyp 33465  df-laut 33466  df-ldil 33581  df-ltrn 33582  df-trl 33637  df-disoa 34509
This theorem is referenced by:  diameetN  34536  diaintclN  34538  dibglbN  34646
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