Theorem diaglbN 34075

Description: Partial isomorphism A of a lattice glb. (Contributed by NM, 3-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
diaglb.g	|- G = ( glb ` K )
diaglb.h	|- H = ( LHyp ` K )
diaglb.i	|- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
diaglbN	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, H   x, I   x, K   x, S   x, W

Proof of Theorem diaglbN

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 455	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
2		hlclat 32376	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. CLat )
3	2	ad2antrr 724	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> K e. CLat )
4		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
5		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		diaglb.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( LHyp ` K )
7		diaglb.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( DIsoA ` K ) ` W )
8	4, 5, 6, 7	diadm 34055	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> dom I = { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
9	8	sseq2d 3470	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( S C_ dom I <-> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } ) )
10	9	biimpa 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S C_ dom I ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
11	10	adantrr 715	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } )
12		ssrab2 3524	. . . . . 6 |- { y e. ( Base ` K ) | y ( le ` K ) W } C_ ( Base ` K )
13	11, 12	syl6ss 3454	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
14		diaglb.g	. . . . . 6 |- G = ( glb ` K )
15	4, 14	clatglbcl 16068	. . . . 5 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
16	3, 13, 15	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
17		simprr 758	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> S =/= (/) )
18		n0 3748	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
19	17, 18	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> E. x x e. S )
20		hllat 32381	. . . . . . 7 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
21	20	ad3antrrr 728	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. Lat )
22	16	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) e. ( Base ` K ) )
23		ssel2 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S C_ dom I /\ x e. S ) -> x e. dom I )
24	23	adantlr 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
25	24	adantll 712	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. dom I )
26	4, 5, 6, 7	diaeldm 34056	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. dom I <-> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) )
28	25, 27	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) )
29	28	simpld 457	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. ( Base ` K ) )
30	4, 6	lhpbase 33015	. . . . . . 7 |- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
31	30	ad3antlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> W e. ( Base ` K ) )
32	2	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> K e. CLat )
33	13	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> S C_ ( Base ` K ) )
34		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x e. S )
35	4, 5, 14	clatglble 16079	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ S C_ ( Base ` K ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
36	32, 33, 34, 35	syl3anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) x )
37	28	simprd 461	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> x ( le ` K ) W )
38	4, 5, 21, 22, 29, 31, 36, 37	lattrd 16012	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
39	19, 38	exlimddv 1747	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( G ` S ) ( le ` K ) W )
40		eqid 2402	. . . . 5 |- ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
41		eqid 2402	. . . . 5 |- ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
42	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34053	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( G ` S ) e. ( Base ` K ) /\ ( G ` S ) ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
43	1, 16, 39, 42	syl12anc 1228	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) ) )
44		r19.28zv 3868	. . . . . 6 |- ( S =/= (/) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
45	44	ad2antll 727	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
46		simpll 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
47	4, 5, 6, 40, 41, 7	diaelval 34053	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ x ( le ` K ) W ) ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
48	46, 28, 47	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ x e. S ) -> ( f e. ( I ` x ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
49	48	ralbidva 2840	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( A. x e. S f e. ( I ` x ) <-> A. x e. S ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
50	2	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. CLat )
51	4, 6, 40, 41	trlcl 33182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
52	51	adantlr 713	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
53	13	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S C_ ( Base ` K ) )
54	4, 5, 14	clatleglb 16080	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CLat /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) /\ S C_ ( Base ` K ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
55	50, 52, 53, 54	syl3anc 1230	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) <-> A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) )
56	55	pm5.32da 639	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ A. x e. S ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) x ) ) )
57	45, 49, 56	3bitr4rd 286	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
58		vex 3062	. . . . 5 |- f e. _V
59		eliin 4277	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) <-> A. x e. S f e. ( I ` x ) )
61	57, 60	syl6bbr 263	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) ( le ` K ) ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
62	43, 61	bitrd 253	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( f e. ( I ` ( G ` S ) ) <-> f e. |^|_ x e. S ( I ` x ) ) )
63	62	eqrdv 2399	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S C_ dom I /\ S =/= (/) ) ) -> ( I ` ( G ` S ) ) = |^|_ x e. S ( I ` x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059   C_ wss 3414   (/)c0 3738   |^|_ciin 4272   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   ` cfv 5569   Basecbs 14841   lecple 14916   glbcglb 15896   Latclat 15999   CLatccla 16061   HLchlt 32368   LHypclh 33001   LTrncltrn 33118   trLctrl 33176   DIsoAcdia 34048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-p1 15994  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369  df-lhyp 33005  df-laut 33006  df-ldil 33121  df-ltrn 33122  df-trl 33177  df-disoa 34049

This theorem is referenced by:  diameetN  34076  diaintclN  34078  dibglbN  34186