MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  diag1cl Structured version   Unicode version

Theorem diag1cl 15835
Description: The constant functor of  X is a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
diagval.l  |-  L  =  ( CΔfunc D )
diagval.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
diagval.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
diag11.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
diag11.c  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
diag11.k  |-  K  =  ( ( 1st `  L
) `  X )
Assertion
Ref Expression
diag1cl  |-  ( ph  ->  K  e.  ( D 
Func  C ) )

Proof of Theorem diag1cl
StepHypRef Expression
1 diag11.k . 2  |-  K  =  ( ( 1st `  L
) `  X )
2 diag11.a . . . 4  |-  A  =  ( Base `  C
)
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( D FuncCat  C )  =  ( D FuncCat  C )
43fucbas 15573 . . . 4  |-  ( D 
Func  C )  =  (
Base `  ( D FuncCat  C ) )
5 relfunc 15475 . . . . 5  |-  Rel  ( C  Func  ( D FuncCat  C
) )
6 diagval.l . . . . . 6  |-  L  =  ( CΔfunc D )
7 diagval.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
8 diagval.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
96, 7, 8, 3diagcl 15834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  ( C 
Func  ( D FuncCat  C
) ) )
10 1st2ndbr 6833 . . . . 5  |-  ( ( Rel  ( C  Func  ( D FuncCat  C ) )  /\  L  e.  ( C  Func  ( D FuncCat  C )
) )  ->  ( 1st `  L ) ( C  Func  ( D FuncCat  C ) ) ( 2nd `  L ) )
115, 9, 10sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  L
) ( C  Func  ( D FuncCat  C ) ) ( 2nd `  L ) )
122, 4, 11funcf1 15479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st `  L
) : A --> ( D 
Func  C ) )
13 diag11.c . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  A )
1412, 13ffvelrnd 6010 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  L
) `  X )  e.  ( D  Func  C
) )
151, 14syl5eqel 2494 1  |-  ( ph  ->  K  e.  ( D 
Func  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   Rel wrel 4828   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783   Basecbs 14841   Catccat 15278    Func cfunc 15467   FuncCat cfuc 15555  Δfunccdiag 15805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-hom 14933  df-cco 14934  df-cat 15282  df-cid 15283  df-func 15471  df-nat 15556  df-fuc 15557  df-xpc 15765  df-1stf 15766  df-curf 15807  df-diag 15809
This theorem is referenced by:  curf2ndf  15840
  Copyright terms: Public domain W3C validator