Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  diaf1oN Unicode version

Theorem diaf1oN 31613
Description: The partial isomorphism A for a lattice  K is a one-to-one, onto function. Part of Lemma M of [Crawley] p. 121 line 12, with closed subspaces rather than subspaces. See diadm 31518 for the domain. (Contributed by NM, 17-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadia.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dvadia.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dvadia.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dvadia.n  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
dvadia.s  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
Assertion
Ref Expression
diaf1oN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Distinct variable groups:    x, H    x, I    x, K    x, S    x, W
Allowed substitution hints:    U( x)    ._|_ ( x)

Proof of Theorem diaf1oN
StepHypRef Expression
1 dvadia.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 dvadia.i . . . . 5  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
31, 2diaf11N 31532 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> ran  I )
4 f1of1 5632 . . . 4  |-  ( I : dom  I -1-1-onto-> ran  I  ->  I : dom  I -1-1->
ran  I )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1->
ran  I )
6 dvadia.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
7 dvadia.n . . . . 5  |-  ._|_  =  ( ( ocA `  K
) `  W )
8 dvadia.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  U )
91, 6, 2, 7, 8diarnN 31612 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ran  I  =  {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
10 f1eq3 5595 . . . 4  |-  ( ran  I  =  { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  ->  ( I : dom  I -1-1-> ran  I  <->  I : dom  I -1-1-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( I : dom  I -1-1-> ran  I  <->  I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
125, 11mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
13 dff1o5 5642 . 2  |-  ( I : dom  I -1-1-onto-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  <->  ( I : dom  I -1-1-> { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x
) )  =  x }  /\  ran  I  =  { x  e.  S  |  (  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } ) )
1412, 9, 13sylanbrc 646 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  I : dom  I -1-1-onto-> {
x  e.  S  | 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  x ) )  =  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670   dom cdm 4837   ran crn 4838   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   LSubSpclss 15963   HLchlt 29833   LHypclh 30466   DVecAcdveca 31484   DIsoAcdia 31511   ocAcocaN 31602
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-lss 15964  df-oposet 29659  df-cmtN 29660  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641  df-tendo 31237  df-edring 31239  df-dveca 31485  df-disoa 31512  df-docaN 31603
  Copyright terms: Public domain W3C validator