Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dia1dim2 Structured version   Unicode version

Theorem dia1dim2 34803
Description: Two expressions for a 1-dimensional subspace of partial vector space A (when  F is a nonzero vector i.e. non-identity translation). (Contributed by NM, 15-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dia1dim2.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
dia1dim2.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
dia1dim2.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
dva1dim2.u  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
dia1dim2.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
dva1dim2.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
Assertion
Ref Expression
dia1dim2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  ( N `  { F } ) )

Proof of Theorem dia1dim2
Dummy variables  g 
s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dia1dim2.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
3 dva1dim2.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( DVecA `  K
) `  W )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  U )  =  (Scalar `  U )
5 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( Base `  (Scalar `  U )
)
61, 2, 3, 4, 5dvabase 34747 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  (Scalar `  U ) )  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( Base `  (Scalar `  U )
)  =  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
87rexeqdv 2945 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) g  =  ( s ( .s `  U ) F )  <->  E. s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) g  =  ( s ( .s
`  U ) F ) ) )
9 dia1dim2.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .s
`  U )  =  ( .s `  U
)
111, 9, 2, 3, 10dvavsca 34757 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )  /\  F  e.  T
) )  ->  (
s ( .s `  U ) F )  =  ( s `  F ) )
1211anass1rs 805 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  ->  ( s
( .s `  U
) F )  =  ( s `  F
) )
1312eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)  ->  ( g  =  ( s ( .s `  U ) F )  <->  g  =  ( s `  F
) ) )
1413rexbidva 2753 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) g  =  ( s ( .s
`  U ) F )  <->  E. s  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) g  =  ( s `  F
) ) )
158, 14bitrd 253 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( E. s  e.  ( Base `  (Scalar `  U )
) g  =  ( s ( .s `  U ) F )  <->  E. s  e.  (
( TEndo `  K ) `  W ) g  =  ( s `  F
) ) )
1615abbidv 2563 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  { g  |  E. s  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) ) g  =  ( s ( .s
`  U ) F ) }  =  {
g  |  E. s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
g  =  ( s `
 F ) } )
171, 3dvalvec 34767 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  U  e.  LVec )
1817adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  U  e.  LVec )
19 lveclmod 17209 . . . 4  |-  ( U  e.  LVec  ->  U  e. 
LMod )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  U  e.  LMod )
21 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  T )
22 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
231, 9, 3, 22dvavbase 34753 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( Base `  U
)  =  T )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( Base `  U )  =  T )
2521, 24eleqtrrd 2520 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( Base `  U )
)
26 dva1dim2.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
274, 5, 22, 10, 26lspsn 17105 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  F  e.  ( Base `  U
) )  ->  ( N `  { F } )  =  {
g  |  E. s  e.  ( Base `  (Scalar `  U ) ) g  =  ( s ( .s `  U ) F ) } )
2820, 25, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( N `  { F } )  =  { g  |  E. s  e.  (
Base `  (Scalar `  U
) ) g  =  ( s ( .s
`  U ) F ) } )
29 dia1dim2.r . . 3  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
30 dia1dim2.i . . 3  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
311, 9, 29, 2, 30dia1dim 34802 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  {
g  |  E. s  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
g  =  ( s `
 F ) } )
3216, 28, 313eqtr4rd 2486 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( I `  ( R `  F
) )  =  ( N `  { F } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2737   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195  Scalarcsca 14262   .scvsca 14263   LModclmod 16970   LSpanclspn 17074   LVecclvec 17205   HLchlt 33091   LHypclh 33724   LTrncltrn 33841   trLctrl 33898   TEndoctendo 34492   DVecAcdveca 34742   DIsoAcdia 34769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-riotaBAD 32700
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-tpos 6766  df-undef 6813  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-0g 14401  df-poset 15137  df-plt 15149  df-lub 15165  df-glb 15166  df-join 15167  df-meet 15168  df-p0 15230  df-p1 15231  df-lat 15237  df-clat 15299  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-sbg 15568  df-cmn 16300  df-abl 16301  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-oppr 16737  df-dvdsr 16755  df-unit 16756  df-invr 16786  df-dvr 16797  df-drng 16856  df-lmod 16972  df-lss 17036  df-lsp 17075  df-lvec 17206  df-oposet 32917  df-ol 32919  df-oml 32920  df-covers 33007  df-ats 33008  df-atl 33039  df-cvlat 33063  df-hlat 33092  df-llines 33238  df-lplanes 33239  df-lvols 33240  df-lines 33241  df-psubsp 33243  df-pmap 33244  df-padd 33536  df-lhyp 33728  df-laut 33729  df-ldil 33844  df-ltrn 33845  df-trl 33899  df-tgrp 34483  df-tendo 34495  df-edring 34497  df-dveca 34743  df-disoa 34770
This theorem is referenced by:  dia1dimid  34804  dia2dimlem5  34809  dia2dimlem10  34814
  Copyright terms: Public domain W3C validator