Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrub Structured version   Unicode version

Theorem dgrub 21645
 Description: If the -th coefficient of is nonzero, then the degree of is at least . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 coeff
dgrub.2 deg
Assertion
Ref Expression
dgrub Poly

Proof of Theorem dgrub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 983 . . . 4 Poly Poly
2 simp2 984 . . . . 5 Poly
3 dgrub.1 . . . . . . . . 9 coeff
43coef3 21643 . . . . . . . 8 Poly
51, 4syl 16 . . . . . . 7 Poly
65, 2ffvelrnd 5841 . . . . . 6 Poly
7 simp3 985 . . . . . 6 Poly
8 eldifsn 3997 . . . . . 6
96, 7, 8sylanbrc 659 . . . . 5 Poly
103coef 21641 . . . . . 6 Poly
11 ffn 5556 . . . . . 6
12 elpreima 5820 . . . . . 6
131, 10, 11, 124syl 21 . . . . 5 Poly
142, 9, 13mpbir2and 908 . . . 4 Poly
15 nn0ssre 10579 . . . . . . 7
16 ltso 9451 . . . . . . 7
17 soss 4655 . . . . . . 7
1815, 16, 17mp2 9 . . . . . 6
1918a1i 11 . . . . 5 Poly
20 0zd 10654 . . . . . 6 Poly
21 cnvimass 5186 . . . . . . 7
22 fdm 5560 . . . . . . . 8
2310, 22syl 16 . . . . . . 7 Poly
2421, 23syl5sseq 3401 . . . . . 6 Poly
253dgrlem 21640 . . . . . . 7 Poly
2625simprd 460 . . . . . 6 Poly
27 nn0uz 10891 . . . . . . 7
2827uzsupss 10943 . . . . . 6
2920, 24, 26, 28syl3anc 1213 . . . . 5 Poly
3019, 29supub 7705 . . . 4 Poly
311, 14, 30sylc 60 . . 3 Poly
32 dgrub.2 . . . . . 6 deg
333dgrval 21639 . . . . . 6 Poly deg
3432, 33syl5eq 2485 . . . . 5 Poly
351, 34syl 16 . . . 4 Poly
3635breq1d 4299 . . 3 Poly
3731, 36mtbird 301 . 2 Poly
382nn0red 10633 . . 3 Poly
39 dgrcl 21644 . . . . . 6 Poly deg
4032, 39syl5eqel 2525 . . . . 5 Poly
411, 40syl 16 . . . 4 Poly
4241nn0red 10633 . . 3 Poly
4338, 42lenltd 9516 . 2 Poly
4437, 43mpbird 232 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 960   wceq 1364   wcel 1761   wne 2604  wral 2713  wrex 2714   cdif 3322   cun 3323   wss 3325  csn 3874   class class class wbr 4289   wor 4636  ccnv 4835   cdm 4836  cima 4839   wfn 5410  wf 5411  cfv 5415  csup 7686  cc 9276  cr 9277  cc0 9278   clt 9414   cle 9415  cn0 10575  cz 10642  Polycply 21595  coeffccoe 21597  degcdgr 21598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-0p 21048  df-ply 21599  df-coe 21601  df-dgr 21602 This theorem is referenced by:  dgrub2  21646  coeidlem  21648  coeid3  21651  dgreq  21655  coemullem  21660  coemulhi  21664  coemulc  21665  dgreq0  21675  dgrlt  21676  dgradd2  21678  dgrmul  21680  vieta1lem2  21720  aannenlem2  21738
 Copyright terms: Public domain W3C validator