Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrsub Structured version   Unicode version

Theorem dgrsub 22647
 Description: The degree of a difference of polynomials is at most the maximum of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrsub.1 deg
dgrsub.2 deg
Assertion
Ref Expression
dgrsub Poly Poly deg

Proof of Theorem dgrsub
StepHypRef Expression
1 plyssc 22575 . . . 4 Poly Poly
21sseli 3485 . . 3 Poly Poly
3 ssid 3508 . . . . 5
4 neg1cn 10646 . . . . 5
5 plyconst 22581 . . . . 5 Poly
63, 4, 5mp2an 672 . . . 4 Poly
71sseli 3485 . . . 4 Poly Poly
8 plymulcl 22596 . . . 4 Poly Poly Poly
96, 7, 8sylancr 663 . . 3 Poly Poly
10 dgrsub.1 . . . 4 deg
11 eqid 2443 . . . 4 deg deg
1210, 11dgradd 22642 . . 3 Poly Poly deg deg deg
132, 9, 12syl2an 477 . 2 Poly Poly deg deg deg
14 plyf 22573 . . . 4 Poly
15 plyf 22573 . . . 4 Poly
16 cnex 9576 . . . . 5
17 ofnegsub 10541 . . . . 5
1816, 17mp3an1 1312 . . . 4
1914, 15, 18syl2an 477 . . 3 Poly Poly
2019fveq2d 5860 . 2 Poly Poly deg deg
21 neg1ne0 10648 . . . . . . 7
22 dgrmulc 22646 . . . . . . 7 Poly deg deg
234, 21, 22mp3an12 1315 . . . . . 6 Poly deg deg
24 dgrsub.2 . . . . . 6 deg
2523, 24syl6eqr 2502 . . . . 5 Poly deg
2625adantl 466 . . . 4 Poly Poly deg
2726breq2d 4449 . . 3 Poly Poly deg
2827, 26ifbieq1d 3949 . 2 Poly Poly deg deg
2913, 20, 283brtr3d 4466 1 Poly Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  cvv 3095   wss 3461  cif 3926  csn 4014   class class class wbr 4437   cxp 4987  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cof 6523  cc 9493  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cmul 9500   cle 9632   cmin 9810  cneg 9811  Polycply 22559  degcdgr 22562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-0p 22055  df-ply 22563  df-coe 22565  df-dgr 22566 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  22649  plydivlem4  22670  plydiveu  22672  dgrsub2  31060
 Copyright terms: Public domain W3C validator