Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmulc Structured version   Unicode version

Theorem dgrmulc 22395
 Description: Scalar multiplication by a nonzero constant does not change the degree of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrmulc Poly deg deg

Proof of Theorem dgrmulc
StepHypRef Expression
1 oveq2 6283 . . . 4
21fveq2d 5861 . . 3 deg deg
3 fveq2 5857 . . . 4 deg deg
4 dgr0 22386 . . . 4 deg
53, 4syl6eq 2517 . . 3 deg
62, 5eqeq12d 2482 . 2 deg deg deg
7 ssid 3516 . . . . 5
8 simpl1 994 . . . . 5 Poly
9 plyconst 22331 . . . . 5 Poly
107, 8, 9sylancr 663 . . . 4 Poly Poly
11 0cn 9577 . . . . 5
12 fvconst2g 6105 . . . . . . 7
138, 11, 12sylancl 662 . . . . . 6 Poly
14 simpl2 995 . . . . . 6 Poly
1513, 14eqnetrd 2753 . . . . 5 Poly
16 ne0p 22332 . . . . 5
1711, 15, 16sylancr 663 . . . 4 Poly
18 plyssc 22325 . . . . 5 Poly Poly
19 simpl3 996 . . . . 5 Poly Poly
2018, 19sseldi 3495 . . . 4 Poly Poly
21 simpr 461 . . . 4 Poly
22 eqid 2460 . . . . 5 deg deg
23 eqid 2460 . . . . 5 deg deg
2422, 23dgrmul 22394 . . . 4 Poly Poly deg deg deg
2510, 17, 20, 21, 24syl22anc 1224 . . 3 Poly deg deg deg
26 0dgr 22370 . . . . 5 deg
278, 26syl 16 . . . 4 Poly deg
2827oveq1d 6290 . . 3 Poly deg deg deg
29 dgrcl 22358 . . . . . 6 Poly deg
3019, 29syl 16 . . . . 5 Poly deg
3130nn0cnd 10843 . . . 4 Poly deg
3231addid2d 9769 . . 3 Poly deg deg
3325, 28, 323eqtrd 2505 . 2 Poly deg deg
34 cnex 9562 . . . . . . . 8
3534a1i 11 . . . . . . 7 Poly
36 simp1 991 . . . . . . 7 Poly
3711a1i 11 . . . . . . 7 Poly
3835, 36, 37ofc12 6540 . . . . . 6 Poly
3936mul01d 9767 . . . . . . . 8 Poly
4039sneqd 4032 . . . . . . 7 Poly
4140xpeq2d 5016 . . . . . 6 Poly
4238, 41eqtrd 2501 . . . . 5 Poly
43 df-0p 21805 . . . . . 6
4443oveq2i 6286 . . . . 5
4542, 44, 433eqtr4g 2526 . . . 4 Poly
4645fveq2d 5861 . . 3 Poly deg deg
4746, 4syl6eq 2517 . 2 Poly deg
486, 33, 47pm2.61ne 2775 1 Poly deg deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762   wne 2655  cvv 3106   wss 3469  csn 4020   cxp 4990  cfv 5579  (class class class)co 6275   cof 6513  cc 9479  cc0 9481   caddc 9484   cmul 9486  cn0 10784  c0p 21804  Polycply 22309  degcdgr 22312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-0p 21805  df-ply 22313  df-coe 22315  df-dgr 22316 This theorem is referenced by:  dgrsub  22396  dgrcolem2  22398  mpaaeu  30693
 Copyright terms: Public domain W3C validator