Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrmul Structured version   Unicode version

Theorem dgrmul 22532
 Description: The degree of a product of nonzero polynomials is the sum of degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
dgrmul Poly Poly deg

Proof of Theorem dgrmul
StepHypRef Expression
1 dgradd.1 . . . 4 deg
2 dgradd.2 . . . 4 deg
31, 2dgrmul2 22531 . . 3 Poly Poly deg
43ad2ant2r 746 . 2 Poly Poly deg
5 plymulcl 22484 . . . 4 Poly Poly Poly
65ad2ant2r 746 . . 3 Poly Poly Poly
7 dgrcl 22496 . . . . . 6 Poly deg
81, 7syl5eqel 2533 . . . . 5 Poly
98ad2antrr 725 . . . 4 Poly Poly
10 dgrcl 22496 . . . . . 6 Poly deg
112, 10syl5eqel 2533 . . . . 5 Poly
1211ad2antrl 727 . . . 4 Poly Poly
139, 12nn0addcld 10857 . . 3 Poly Poly
14 eqid 2441 . . . . . 6 coeff coeff
15 eqid 2441 . . . . . 6 coeff coeff
1614, 15, 1, 2coemulhi 22516 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
1716ad2ant2r 746 . . . 4 Poly Poly coeff coeff coeff
1814coef3 22495 . . . . . . 7 Poly coeff
1918ad2antrr 725 . . . . . 6 Poly Poly coeff
2019, 9ffvelrnd 6013 . . . . 5 Poly Poly coeff
2115coef3 22495 . . . . . . 7 Poly coeff
2221ad2antrl 727 . . . . . 6 Poly Poly coeff
2322, 12ffvelrnd 6013 . . . . 5 Poly Poly coeff
241, 14dgreq0 22527 . . . . . . . 8 Poly coeff
2524necon3bid 2699 . . . . . . 7 Poly coeff
2625biimpa 484 . . . . . 6 Poly coeff
2726adantr 465 . . . . 5 Poly Poly coeff
282, 15dgreq0 22527 . . . . . . . 8 Poly coeff
2928necon3bid 2699 . . . . . . 7 Poly coeff
3029biimpa 484 . . . . . 6 Poly coeff
3130adantl 466 . . . . 5 Poly Poly coeff
3220, 23, 27, 31mulne0d 10202 . . . 4 Poly Poly coeff coeff
3317, 32eqnetrd 2734 . . 3 Poly Poly coeff
34 eqid 2441 . . . 4 coeff coeff
35 eqid 2441 . . . 4 deg deg
3634, 35dgrub 22497 . . 3 Poly coeff deg
376, 13, 33, 36syl3anc 1227 . 2 Poly Poly deg
38 dgrcl 22496 . . . . 5 Poly deg
396, 38syl 16 . . . 4 Poly Poly deg
4039nn0red 10854 . . 3 Poly Poly deg
4113nn0red 10854 . . 3 Poly Poly
4240, 41letri3d 9725 . 2 Poly Poly deg deg deg
434, 37, 42mpbir2and 920 1 Poly Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636   class class class wbr 4433  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277   cof 6519  cc 9488  cc0 9490   caddc 9493   cmul 9495   cle 9627  cn0 10796  c0p 21942  Polycply 22447  coeffccoe 22449  degcdgr 22450 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-pm 7421  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-fl 11903  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-rlim 13286  df-sum 13483  df-0p 21943  df-ply 22451  df-coe 22453  df-dgr 22454 This theorem is referenced by:  dgrmulc  22533  dgrcolem1  22535  plydivlem4  22557  plydiveu  22559  fta1lem  22568  quotcan  22570  vieta1lem1  22571  vieta1lem2  22572
 Copyright terms: Public domain W3C validator