Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlt Structured version   Unicode version

Theorem dgrlt 23088
 Description: Two ways to say that the degree of is strictly less than . (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgreq0.1 deg
dgreq0.2 coeff
Assertion
Ref Expression
dgrlt Poly

Proof of Theorem dgrlt
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . 7 Poly
21fveq2d 5885 . . . . . 6 Poly deg deg
3 dgreq0.1 . . . . . 6 deg
4 dgr0 23084 . . . . . . 7 deg
54eqcomi 2442 . . . . . 6 deg
62, 3, 53eqtr4g 2495 . . . . 5 Poly
7 nn0ge0 10895 . . . . . 6
87ad2antlr 731 . . . . 5 Poly
96, 8eqbrtrd 4446 . . . 4 Poly
101fveq2d 5885 . . . . . . 7 Poly coeff coeff
11 dgreq0.2 . . . . . . 7 coeff
12 coe0 23078 . . . . . . . 8 coeff
1312eqcomi 2442 . . . . . . 7 coeff
1410, 11, 133eqtr4g 2495 . . . . . 6 Poly
1514fveq1d 5883 . . . . 5 Poly
16 c0ex 9636 . . . . . . 7
1716fvconst2 6135 . . . . . 6
1817ad2antlr 731 . . . . 5 Poly
1915, 18eqtrd 2470 . . . 4 Poly
209, 19jca 534 . . 3 Poly
21 dgrcl 23055 . . . . . . . 8 Poly deg
223, 21syl5eqel 2521 . . . . . . 7 Poly
2322nn0red 10926 . . . . . 6 Poly
24 nn0re 10878 . . . . . 6
25 ltle 9721 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2an 479 . . . . 5 Poly
2726imp 430 . . . 4 Poly
2811, 3dgrub 23056 . . . . . . . 8 Poly
29283expia 1207 . . . . . . 7 Poly
30 lenlt 9711 . . . . . . . 8
3124, 23, 30syl2anr 480 . . . . . . 7 Poly
3229, 31sylibd 217 . . . . . 6 Poly
3332necon4ad 2651 . . . . 5 Poly
3433imp 430 . . . 4 Poly
3527, 34jca 534 . . 3 Poly
3620, 35jaodan 792 . 2 Poly
37 leloe 9719 . . . . . . 7
3823, 24, 37syl2an 479 . . . . . 6 Poly
3938biimpa 486 . . . . 5 Poly
4039adantrr 721 . . . 4 Poly
41 fveq2 5881 . . . . . 6
423, 11dgreq0 23087 . . . . . . . 8 Poly
4342ad2antrr 730 . . . . . . 7 Poly
44 simprr 764 . . . . . . . 8 Poly
4544eqeq2d 2443 . . . . . . 7 Poly
4643, 45bitr4d 259 . . . . . 6 Poly
4741, 46syl5ibr 224 . . . . 5 Poly
4847orim2d 848 . . . 4 Poly
4940, 48mpd 15 . . 3 Poly
5049orcomd 389 . 2 Poly
5136, 50impbida 840 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  csn 4002   class class class wbr 4426   cxp 4852  cfv 5601  cr 9537  cc0 9538   clt 9674   cle 9675  cn0 10869  c0p 22504  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-coe 23012  df-dgr 23013 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  23096  plydivlem4  23117  plydiveu  23119  dgrsub2  35700  elaa2lem  37665
 Copyright terms: Public domain W3C validator