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Theorem dgrlem 23059
Description: Lemma for dgrcl 23063 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1  |-  A  =  (coeff `  F )
Assertion
Ref Expression
dgrlem  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, F, x    S, n, x

Proof of Theorem dgrlem
Dummy variables  a 
k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 23026 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
21simprbi 465 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
3 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
4 simpll 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
5 plybss 23024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  S  C_  CC )
7 0cnd 9635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
0  e.  CC )
87snssd 4148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  { 0 }  C_  CC )
96, 8unssd 3648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
10 cnex 9619 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
11 ssexg 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
13 nn0ex 10875 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
14 elmapg 7493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1512, 13, 14sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
163, 15mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
17 dgrval.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  (coeff `  F )
18 simplrl 768 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
1916, 9fssd 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a : NN0 --> CC )
20 simprl 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
224, 18, 19, 20, 21coeeq 23057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
(coeff `  F )  =  a )
2317, 22syl5req 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a  =  A )
2423feq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  <->  A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } ) ) )
2516, 24mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
2625ex 435 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2726rexlimdvva 2931 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
282, 27mpd 15 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } ) )
29 nn0ssz 10958 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
30 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a : NN0 --> CC  ->  a  Fn  NN0 )
31 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  Fn  NN0  ->  ( x  e.  ( `' a
" ( CC  \  { 0 } ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( a `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
3219, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( a `
 x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) )
3332biimpa 486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
x  e.  NN0  /\  ( a `  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
3433simprd 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
a `  x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
35 eldifsni 4129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( a `  x )  =/=  0
)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
a `  x )  =/=  0 )
3733simpld 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
38 plyco0 23022 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  a : NN0 --> CC )  ->  ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. x  e.  NN0  ( ( a `
 x )  =/=  0  ->  x  <_  n ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. x  e.  NN0  ( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
) )
4020, 39mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
)
4140r19.21bi 2801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
)
4237, 41syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
( a `  x
)  =/=  0  ->  x  <_  n ) )
4336, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x  <_  n )
4443ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
4523cnveqd 5030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  `' a  =  `' A )
4645imaeq1d 5187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( `' a "
( CC  \  {
0 } ) )  =  ( `' A " ( CC  \  {
0 } ) ) )
4746raleqdv 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  ( `' a "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n  <->  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
)
4844, 47mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n )
4948ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
5049expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) ) )
5150rexlimdv 2922 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
5251reximdva 2907 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
532, 52mpd 15 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
54 ssrexv 3532 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
5529, 53, 54mpsyl 65 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
5628, 55jca 534 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   `'ccnv 4853   "cima 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   CCcc 9536   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    <_ cle 9675   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   ^cexp 12269   sum_csu 13730  Polycply 23014  coeffccoe 23016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22513  df-ply 23018  df-coe 23020
This theorem is referenced by:  coef  23060  dgrcl  23063  dgrub  23064  dgrlb  23066
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