Theorem dgrlem 21696

Description: Lemma for dgrcl 21700 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	|- A = (coeff ` F )

Assertion

Ref	Expression
dgrlem	|- ( F e. (Poly ` S ) -> ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, F, x   S, n, x

Proof of Theorem dgrlem

Dummy variables a k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 21663	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
2	1	simprbi 464	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
5		plybss 21661	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> S C_ CC )
7		0cnd 9378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> 0 e. CC )
8	7	snssd 4017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> { 0 } C_ CC )
9	6, 8	unssd 3531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
10		cnex 9362	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
11		ssexg 4437	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13		nn0ex 10584	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
14		elmapg 7226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
15	12, 13, 14	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	3, 15	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
17		dgrval.1	. . . . . . . 8 |- A = (coeff ` F )
18		simplrl 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
19		fss 5566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( S u. { 0 } ) C_ CC ) -> a : NN0 --> CC )
20	16, 9, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> CC )
21		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
22		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
23	4, 18, 20, 21, 22	coeeq 21694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> (coeff ` F ) = a )
24	17, 23	syl5req 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a = A )
25	24	feq1d 5545	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
26	16, 25	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
27	26	ex 434	. . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
28	27	rexlimdvva 2847	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
29	2, 28	mpd 15	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
30		nn0ssz 10666	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
31		ffn 5558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a : NN0 --> CC -> a Fn NN0 )
32	20, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a Fn NN0 )
33		elpreima 5822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a Fn NN0 -> ( x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
35	34	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) )
36	35	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) )
37		eldifsni 4000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) -> ( a ` x ) =/= 0 )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( a ` x ) =/= 0 )
39	35	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x e. NN0 )
40		plyco0 21659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ a : NN0 --> CC ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) ) )
41	18, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) ) )
42	21, 41	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
43	42	r19.21bi 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
44	39, 43	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x <_ n )
46	45	ralrimiva 2798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
47	24	cnveqd 5014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> `' a = `' A )
48	47	imaeq1d 5167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) = ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) )
49	48	raleqdv 2922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n <-> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
50	46, 49	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
51	50	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
52	51	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ n e. NN0 ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) ) )
53	52	rexlimdv 2839	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
54	53	reximdva 2827	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
55	2, 54	mpd 15	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
56		ssrexv 3416	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n -> E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
57	30, 55, 56	mpsyl 63	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
58	29, 57	jca 532	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2605   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971   \ cdif 3324   u. cun 3325   C_ wss 3327   {csn 3876   class class class wbr 4291   e. cmpt 4349   `'ccnv 4838   "cima 4842   Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ^m cmap 7213   CCcc 9279   0cc0 9281   1c1 9282   + caddc 9284   x. cmul 9286   <_ cle 9418   NN0cn0 10578   ZZcz 10645   ZZ>=cuz 10860   ...cfz 11436   ^cexp 11864   sum_csu 13162  Polycply 21651  coeffccoe 21653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-0p 21147  df-ply 21655  df-coe 21657

This theorem is referenced by:  coef  21697  dgrcl  21700  dgrub  21701  dgrlb  21703