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Theorem dgrlem 23262
Description: Lemma for dgrcl 23266 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dgrval.1  |-  A  =  (coeff `  F )
Assertion
Ref Expression
dgrlem  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, F, x    S, n, x

Proof of Theorem dgrlem
Dummy variables  a 
k  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elply2 23229 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  <->  ( S  C_  CC  /\  E. n  e. 
NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) ) )
21simprbi 471 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) ) )
3 simplrr 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) )
4 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
5 plybss 23227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  S  C_  CC )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  S  C_  CC )
7 0cnd 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
0  e.  CC )
87snssd 4108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  { 0 }  C_  CC )
96, 8unssd 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( S  u.  {
0 } )  C_  CC )
10 cnex 9638 . . . . . . . . 9  |-  CC  e.  _V
11 ssexg 4542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  ( S  u.  { 0 } )  e. 
_V )
129, 10, 11sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( S  u.  {
0 } )  e. 
_V )
13 nn0ex 10899 . . . . . . . 8  |-  NN0  e.  _V
14 elmapg 7503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  u.  {
0 } )  e. 
_V  /\  NN0  e.  _V )  ->  ( a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
1512, 13, 14sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a  e.  ( ( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 )  <->  a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
163, 15mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
17 dgrval.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  (coeff `  F )
18 simplrl 778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
1916, 9fssd 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a : NN0 --> CC )
20 simprl 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a " ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )
21 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )
224, 18, 19, 20, 21coeeq 23260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
(coeff `  F )  =  a )
2317, 22syl5req 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
a  =  A )
2423feq1d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( a : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  <->  A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } ) ) )
2516, 24mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
2625ex 441 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
2726rexlimdvva 2878 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) ) )
282, 27mpd 15 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> ( S  u.  {
0 } ) )
29 nn0ssz 10982 . . 3  |-  NN0  C_  ZZ
30 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a : NN0 --> CC  ->  a  Fn  NN0 )
31 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  Fn  NN0  ->  ( x  e.  ( `' a
" ( CC  \  { 0 } ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( a `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
3219, 30, 313syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( a `
 x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) ) ) )
3332biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
x  e.  NN0  /\  ( a `  x
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
3433simprd 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
a `  x )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
35 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a `  x )  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  ( a `  x )  =/=  0
)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
a `  x )  =/=  0 )
3733simpld 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
38 plyco0 23225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  a : NN0 --> CC )  ->  ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  <->  A. x  e.  NN0  ( ( a `
 x )  =/=  0  ->  x  <_  n ) ) )
3918, 19, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. x  e.  NN0  ( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
) )
4020, 39mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
)
4140r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( a `  x )  =/=  0  ->  x  <_  n )
)
4237, 41syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  (
( a `  x
)  =/=  0  ->  x  <_  n ) )
4336, 42mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  /\  x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) )  ->  x  <_  n )
4443ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' a " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
4523cnveqd 5015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  `' a  =  `' A )
4645imaeq1d 5173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( `' a "
( CC  \  {
0 } ) )  =  ( `' A " ( CC  \  {
0 } ) ) )
4746raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  -> 
( A. x  e.  ( `' a "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n  <->  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
)
4844, 47mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  /\  ( ( a "
( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k
)  x.  ( z ^ k ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n )
4948ex 441 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (
n  e.  NN0  /\  a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ) )  -> 
( ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
5049expr 626 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 )  ->  ( ( ( a " ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  =  { 0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) ) )
5150rexlimdv 2870 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( E. a  e.  (
( S  u.  {
0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
5251reximdva 2858 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( E. n  e.  NN0  E. a  e.  ( ( S  u.  { 0 } )  ^m  NN0 ) ( ( a
" ( ZZ>= `  (
n  +  1 ) ) )  =  {
0 }  /\  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( a `  k )  x.  (
z ^ k ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A " ( CC 
\  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
532, 52mpd 15 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
54 ssrexv 3480 . . 3  |-  ( NN0  C_  ZZ  ->  ( E. n  e.  NN0  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
5529, 53, 54mpsyl 64 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A "
( CC  \  {
0 } ) ) x  <_  n )
5628, 55jca 541 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( A : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' A " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310   sum_csu 13829  Polycply 23217  coeffccoe 23219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223
This theorem is referenced by:  coef  23263  dgrcl  23266  dgrub  23267  dgrlb  23269
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