Theorem dgrlem 22389

Description: Lemma for dgrcl 22393 and similar theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dgrval.1	|- A = (coeff ` F )

Assertion

Ref	Expression
dgrlem	|- ( F e. (Poly ` S ) -> ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, F, x   S, n, x

Proof of Theorem dgrlem

Dummy variables a k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elply2 22356	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) <-> ( S C_ CC /\ E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) )
2	1	simprbi 464	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) )
3		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
4		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
5		plybss 22354	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> S C_ CC )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> S C_ CC )
7		0cnd 9589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> 0 e. CC )
8	7	snssd 4172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> { 0 } C_ CC )
9	6, 8	unssd 3680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) C_ CC )
10		cnex 9573	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
11		ssexg 4593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S u. { 0 } ) C_ CC /\ CC e. _V ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( S u. { 0 } ) e. _V )
13		nn0ex 10801	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
14		elmapg 7433	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S u. { 0 } ) e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
15	12, 13, 14	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) <-> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
16	3, 15	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
17		dgrval.1	. . . . . . . 8 |- A = (coeff ` F )
18		simplrl 759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> n e. NN0 )
19		fss 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ ( S u. { 0 } ) C_ CC ) -> a : NN0 --> CC )
20	16, 9, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a : NN0 --> CC )
21		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } )
22		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
23	4, 18, 20, 21, 22	coeeq 22387	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> (coeff ` F ) = a )
24	17, 23	syl5req 2521	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a = A )
25	24	feq1d 5717	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( a : NN0 --> ( S u. { 0 } ) <-> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
26	16, 25	mpbid 210	. . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
27	26	ex 434	. . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
28	27	rexlimdvva 2962	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) ) )
29	2, 28	mpd 15	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) )
30		nn0ssz 10885	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
31		ffn 5731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a : NN0 --> CC -> a Fn NN0 )
32	20, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> a Fn NN0 )
33		elpreima 6001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a Fn NN0 -> ( x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
35	34	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( x e. NN0 /\ ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) ) )
36	35	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) )
37		eldifsni 4153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a ` x ) e. ( CC \ { 0 } ) -> ( a ` x ) =/= 0 )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( a ` x ) =/= 0 )
39	35	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x e. NN0 )
40		plyco0 22352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN0 /\ a : NN0 --> CC ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) ) )
41	18, 20, 40	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) ) )
42	21, 41	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. NN0 ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
43	42	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
44	39, 43	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> ( ( a ` x ) =/= 0 -> x <_ n ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) /\ x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) ) -> x <_ n )
46	45	ralrimiva 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
47	24	cnveqd 5178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> `' a = `' A )
48	47	imaeq1d 5336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) = ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) )
49	48	raleqdv 3064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> ( A. x e. ( `' a " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n <-> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
50	46, 49	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) /\ ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
51	50	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( n e. NN0 /\ a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ) ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
52	51	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ n e. NN0 ) -> ( a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) -> ( ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) ) )
53	52	rexlimdv 2953	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ n e. NN0 ) -> ( E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
54	53	reximdva 2938	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( E. n e. NN0 E. a e. ( ( S u. { 0 } ) ^m NN0 ) ( ( a " ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) = { 0 } /\ F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( a ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ) -> E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
55	2, 54	mpd 15	. . 3 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
56		ssrexv 3565	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n -> E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )
57	30, 55, 56	mpsyl 63	. 2 |- ( F e. (Poly ` S ) -> E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n )
58	29, 57	jca 532	1 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( A : NN0 --> ( S u. { 0 } ) /\ E. n e. ZZ A. x e. ( `' A " ( CC \ { 0 } ) ) x <_ n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   <_ cle 9629   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   ^cexp 12134   sum_csu 13471  Polycply 22344  coeffccoe 22346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-0p 21840  df-ply 22348  df-coe 22350

This theorem is referenced by:  coef  22390  dgrcl  22393  dgrub  22394  dgrlb  22396