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Theorem dgrle 22806
Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrle.1  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrle.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
dgrle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
dgrle.4  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrle  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Distinct variable groups:    z, A    z, k, N    ph, k, z
Allowed substitution hints:    A( k)    S( z, k)    F( z, k)

Proof of Theorem dgrle
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrle.1 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
2 dgrle.2 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 dgrle.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
4 dgrle.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  CC  |->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( A  x.  ( z ^ k
) ) ) )
51, 2, 3, 4coeeq2 22805 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
65ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
(coeff `  F )  =  ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
76fveq1d 5850 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
8 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k
m
9 nfv 1712 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  -.  m  <_  N
10 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )
1110nfeq1 2631 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0
129, 11nfim 1925 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
13 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
k  <_  N  <->  m  <_  N ) )
1413notbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  ( -.  k  <_  N  <->  -.  m  <_  N ) )
15 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  m  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m ) )
1615eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 k )  =  0  <->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
1714, 16imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  (
( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 )  <->  ( -.  m  <_  N  ->  (
( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) ) )
18 iffalse 3938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  k  <_  N  ->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 )  =  0 )
1918fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  (  _I 
`  0 ) )
20 0cn 9577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  CC
21 fvi 5905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  CC  ->  (  _I  `  0 )  =  0 )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I 
`  0 )  =  0
2319, 22syl6eq 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  k  <_  N  ->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  0 )
24 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) )
2524fvmpt2i 5938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) )
2625eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0  <->  (  _I  `  if ( k  <_  N ,  A , 
0 ) )  =  0 ) )
2723, 26syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -.  k  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  k )  =  0 ) )
288, 12, 17, 27vtoclgaf 3169 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( -.  m  <_  N  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 ) )
2928imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  -.  m  <_  N )  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `  m )  =  0 )
3029adantll 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( ( k  e. 
NN0  |->  if ( k  <_  N ,  A ,  0 ) ) `
 m )  =  0 )
317, 30eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN0 )  /\  -.  m  <_  N )  -> 
( (coeff `  F
) `  m )  =  0 )
3231ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( -.  m  <_  N  ->  (
(coeff `  F ) `  m )  =  0 ) )
3332necon1ad 2670 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( (
(coeff `  F ) `  m )  =/=  0  ->  m  <_  N )
)
3433ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) )
35 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
3635coef3 22795 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> CC )
371, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )
38 plyco0 22755 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  (coeff `  F ) : NN0 --> CC )  -> 
( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
392, 37, 38syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 }  <->  A. m  e.  NN0  ( ( (coeff `  F ) `  m
)  =/=  0  ->  m  <_  N ) ) )
4034, 39mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  F
) " ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  =  { 0 } )
41 eqid 2454 . . 3  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
4235, 41dgrlb 22799 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  N  e.  NN0  /\  ( (coeff `  F ) " ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) )  =  { 0 } )  ->  (deg `  F
)  <_  N )
431, 2, 40, 42syl3anc 1226 1  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   ifcif 3929   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    _I cid 4779   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   ^cexp 12148   sum_csu 13590  Polycply 22747  coeffccoe 22749  degcdgr 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-0p 22243  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
This theorem is referenced by:  dgreq  22807  0dgr  22808  coeaddlem  22812  coemullem  22813  taylply2  22929
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