Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrlb Structured version   Unicode version

Theorem dgrlb 22923
 Description: If all the coefficients above are zero, then the degree of is at most . (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrub.1 coeff
dgrub.2 deg
Assertion
Ref Expression
dgrlb Poly

Proof of Theorem dgrlb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . 4 Poly
2 dgrub.1 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff
32dgrlem 22916 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
43simpld 457 . . . . . . . . . . . 12 Poly
543ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 Poly
6 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11
7 elpreima 5984 . . . . . . . . . . 11
85, 6, 73syl 20 . . . . . . . . . 10 Poly
98biimpa 482 . . . . . . . . 9 Poly
109simprd 461 . . . . . . . 8 Poly
11 eldifsni 4097 . . . . . . . 8
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 Poly
139simpld 457 . . . . . . . 8 Poly
14 simp3 999 . . . . . . . . . 10 Poly
152coef3 22919 . . . . . . . . . . . 12 Poly
16153ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11 Poly
17 plyco0 22879 . . . . . . . . . . 11
181, 16, 17syl2anc 659 . . . . . . . . . 10 Poly
1914, 18mpbid 210 . . . . . . . . 9 Poly
2019r19.21bi 2772 . . . . . . . 8 Poly
2113, 20syldan 468 . . . . . . 7 Poly
2212, 21mpd 15 . . . . . 6 Poly
2313nn0red 10893 . . . . . . 7 Poly
241nn0red 10893 . . . . . . . 8 Poly
2524adantr 463 . . . . . . 7 Poly
2623, 25lenltd 9762 . . . . . 6 Poly
2722, 26mpbid 210 . . . . 5 Poly
2827ralrimiva 2817 . . . 4 Poly
29 nn0ssre 10839 . . . . . . 7
30 ltso 9695 . . . . . . 7
31 soss 4761 . . . . . . 7
3229, 30, 31mp2 9 . . . . . 6
3332a1i 11 . . . . 5 Poly
34 0zd 10916 . . . . . . 7 Poly
35 cnvimass 5176 . . . . . . . 8
36 fdm 5717 . . . . . . . . 9
374, 36syl 17 . . . . . . . 8 Poly
3835, 37syl5sseq 3489 . . . . . . 7 Poly
393simprd 461 . . . . . . 7 Poly
40 nn0uz 11160 . . . . . . . 8
4140uzsupss 11218 . . . . . . 7
4234, 38, 39, 41syl3anc 1230 . . . . . 6 Poly
43423ad2ant1 1018 . . . . 5 Poly
4433, 43supnub 7954 . . . 4 Poly
451, 28, 44mp2and 677 . . 3 Poly
46 dgrub.2 . . . . . 6 deg
472dgrval 22915 . . . . . 6 Poly deg
4846, 47syl5eq 2455 . . . . 5 Poly
49483ad2ant1 1018 . . . 4 Poly
5049breq2d 4406 . . 3 Poly
5145, 50mtbird 299 . 2 Poly
52 dgrcl 22920 . . . . . 6 Poly deg
5346, 52syl5eqel 2494 . . . . 5 Poly
54533ad2ant1 1018 . . . 4 Poly
5554nn0red 10893 . . 3 Poly
5655, 24lenltd 9762 . 2 Poly
5751, 56mpbird 232 1 Poly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  wrex 2754   cdif 3410   cun 3411   wss 3413  csn 3971   class class class wbr 4394   wor 4742  ccnv 4821   cdm 4822  cima 4825   wfn 5563  wf 5564  cfv 5568  (class class class)co 6277  csup 7933  cc 9519  cr 9520  cc0 9521  c1 9522   caddc 9524   clt 9657   cle 9658  cn0 10835  cz 10904  cuz 11126  Polycply 22871  coeffccoe 22873  degcdgr 22874 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-0p 22367  df-ply 22875  df-coe 22877  df-dgr 22878 This theorem is referenced by:  coeidlem  22924  dgrle  22930  dgreq0  22952
 Copyright terms: Public domain W3C validator