MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrid Structured version   Unicode version

Theorem dgrid 22955
Description: The degree of the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrid  |-  (deg `  Xp )  =  1

Proof of Theorem dgrid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9582 . 2  |-  1  e.  CC
2 ax-1ne0 9593 . 2  |-  1  =/=  0
3 1nn0 10854 . 2  |-  1  e.  NN0
4 mptresid 5150 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  z )  =  (  _I  |`  CC )
5 exp1 12218 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
z ^ 1 )  =  z )
65oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  (
1  x.  ( z ^ 1 ) )  =  ( 1  x.  z ) )
7 mulid2 9626 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  (
1  x.  z )  =  z )
86, 7eqtrd 2445 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  (
1  x.  ( z ^ 1 ) )  =  z )
98mpteq2ia 4479 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( z ^
1 ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  z )
10 df-idp 22880 . . . 4  |-  Xp  =  (  _I  |`  CC )
114, 9, 103eqtr4ri 2444 . . 3  |-  Xp  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  x.  ( z ^ 1 ) ) )
1211dgr1term 22951 . 2  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0  /\  1  e.  NN0 )  ->  (deg `  Xp )  =  1 )
131, 2, 3, 12mp3an 1328 1  |-  (deg `  Xp )  =  1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600    |-> cmpt 4455    _I cid 4735    |` cres 4827   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524   1c1 9525    x. cmul 9529   NN0cn0 10838   ^cexp 12212   Xpcidp 22876  degcdgr 22878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-rp 11268  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-0p 22371  df-ply 22879  df-idp 22880  df-coe 22881  df-dgr 22882
This theorem is referenced by:  plyremlem  22994
  Copyright terms: Public domain W3C validator