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Theorem dgrcolem2 23307
Description: Lemma for dgrco 23308. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.5  |-  A  =  (coeff `  F )
dgrco.6  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dgrco.7  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
dgrco.8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, M    f, N    D, f    f, G    ph, f
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
2 plyf 23231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
43ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
6 plyf 23231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
87ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( G `  x )  e.  CC )  ->  ( F `  ( G `  x ) )  e.  CC )
94, 8syldan 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `
 ( G `  x ) )  e.  CC )
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (coeff `  F )
1110coef3 23265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  (deg `  F )
14 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
155, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
1613, 15syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1712, 16ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
1817adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
1916adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  M  e. 
NN0 )
204, 19expcld 12454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ M )  e.  CC )
2118, 20mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) )  e.  CC )
229, 21npcand 10009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( F `  ( G `  x )
) )
2322mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  +  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `
 x ) ) ) )
24 cnex 9638 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
269, 21subcld 10005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  e.  CC )
27 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
28 eqidd 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
2925, 26, 21, 27, 28offval2 6567 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
303feqmptd 5932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
317feqmptd 5932 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
32 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
334, 30, 31, 32fmptco 6072 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3423, 29, 333eqtr4rd 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
3534fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
3635adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) ) )
3725, 9, 21, 33, 28offval2 6567 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
38 plyssc 23233 . . . . . . . . 9  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
3938, 5sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4038, 1sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
41 addcl 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
4241adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  +  w
)  e.  CC )
43 mulcl 9641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
4443adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  x.  w
)  e.  CC )
4539, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
46 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ M )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) )  =  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )
494, 30, 46, 48fmptco 6072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
50 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )
5352ply1term 23237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( A `  M )  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5451, 17, 16, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5554, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
5649, 55eqeltrrd 2550 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
57 plysubcl 23255 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (
( F  o.  G
)  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )
)
5845, 56, 57syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5937, 58eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6059adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6156adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
62 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
63 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
64 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6662, 65eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6766nngt0d 10675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg ` 
0p ) )
69 dgr0 23295 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
7068, 69syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  0 )
7170breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (
(deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  0  <  M
) )
7267, 71syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0p  -> 
(deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
73 idd 24 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
74 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
7513, 74dgrsub 23305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  (deg
`  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7639, 54, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ,  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7766nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
7813, 10dgreq0 23298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
795, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
8180, 69syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
8213, 81syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0p  ->  M  =  0 )
8379, 82syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  =  0  ->  M  =  0 ) )
8483necon3d 2664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  =/=  0  ->  ( A `  M
)  =/=  0 ) )
8577, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =/=  0 )
8652dgr1term 23293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  M )
8717, 85, 16, 86syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  M )
8887ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M ) )
89 ifid 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M )  =  M
9088, 89syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  M )
9176, 90breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M )
92 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
9310, 92coesub 23290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  ( A  oF  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) )
9439, 54, 93syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  =  ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) )
9594fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M ) )
96 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
9712, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
9892coef3 23265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
9954, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) : NN0 --> CC )
100 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  Fn 
NN0 )
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  Fn  NN0 )
102 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
104 inidm 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
105 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  M ) )
10652coe1term 23292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) `
 M )  =  if ( M  =  M ,  ( A `
 M ) ,  0 ) )
10717, 16, 16, 106syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 ) )
108 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  M
109108iftruei 3879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 )  =  ( A `  M )
110107, 109syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  ( A `
 M ) )
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) `  M )  =  ( A `  M ) )
11297, 101, 103, 103, 104, 105, 111ofval 6559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( A  oF  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) `
 M )  =  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
) )
11316, 112mpdan 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A `  M
)  -  ( A `
 M ) ) )
11417subidd 9993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
)  =  0 )
11595, 113, 1143eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  0 )
116 plysubcl 23255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
11739, 54, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
118 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
119 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
120118, 119dgrlt 23299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
121117, 16, 120syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
12291, 115, 121mpbir2and 936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
12372, 73, 122mpjaod 388 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M )
124123adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )
125 dgrcl 23266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
126117, 125syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
127126nn0red 10950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR )
128127adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  e.  RR )
12916nn0red 10950 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
130129adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
131 nnre 10638 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
132131adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
133 nngt0 10660 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
134133adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
N )
135 ltmul1 10477 . . . . . . 7  |-  ( ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
136128, 130, 132, 134, 135syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
137124, 136mpbid 215 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) )
1387ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `
 y )  e.  CC )
13917adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
140 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
141 expcl 12328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( y ^ M
)  e.  CC )
142140, 16, 141syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ M )  e.  CC )
143139, 142mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) )  e.  CC )
14425, 138, 143, 31, 46offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( F `
 y )  -  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) )
14532, 48oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( F `  y
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )
1464, 30, 144, 145fmptco 6072 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )
147146fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
148 dgrco.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
149123, 62breqtrd 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) )
150 nn0leltp1 11019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  <->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
151126, 63, 150syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D 
<->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
152149, 151mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D )
153 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  f
)  =  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) )
154153breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  D  <->  (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D )
)
155 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( f  o.  G )  =  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )
156155fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  (deg `  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) ) )
157153oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  x.  N
)  =  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
158156, 157eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N )  <->  (deg `  (
( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) ) )
159154, 158imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
160159rspcv 3132 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  D  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
161117, 148, 152, 160syl3c 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
162147, 161eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
163162adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
164 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( A `
 M ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `
 M ) )
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  {
( A `  M
) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `  M ) ) )
166 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
16725, 18, 20, 165, 166offval2 6567 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  oF  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
168167fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  oF  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
169 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) ) )
1704, 30, 169, 47fmptco 6072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
171 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
172 plypow 23238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )
17351, 171, 16, 172syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
174173, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
175170, 174eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
176 dgrmulc 23304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  oF  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
17717, 85, 175, 176syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  oF  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
178168, 177eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
179178adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
180 dgrco.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (deg `  G )
18166adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
182 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1831adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
184180, 181, 182, 183dgrcolem1 23306 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
185179, 184eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  ( M  x.  N
) )
186137, 163, 1853brtr4d 4426 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
187 eqid 2471 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
188 eqid 2471 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )
189187, 188dgradd2 23301 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  ->  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
19060, 61, 186, 189syl3anc 1292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
19136, 190, 1853eqtrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
192 0cn 9653 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
193 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1943, 192, 193sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1957, 194ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  0 )
)  e.  CC )
196 0dgr 23278 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( G `
 0 ) )  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  0 )
197195, 196syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  0 )
19816nn0cnd 10951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
199198mul01d 9850 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
200197, 199eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
201200adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
202194ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
203 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  N  =  0 )
204180, 203syl5eqr 2519 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  G )  =  0 )
205 0dgrb 23279 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (deg `  G )  =  0  <-> 
G  =  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } ) ) )
2061, 205syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  G
)  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) ) )
207206adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
(deg `  G )  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G `  0 ) } ) ) )
208204, 207mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) )
209 fconstmpt 4883 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 0 ) )
210208, 209syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G ` 
0 ) ) )
21131adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `  y ) ) )
212 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G ` 
0 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  0 ) ) )
213202, 210, 211, 212fmptco 6072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `  0 ) ) ) )
214 fconstmpt 4883 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { ( F `
 ( G ` 
0 ) ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G ` 
0 ) ) )
215213, 214syl6eqr 2523 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )
216215fveq2d 5883 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) ) )
217203oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  0 ) )
218201, 216, 2173eqtr4d 2515 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
219 dgrcl 23266 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2201, 219syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
221180, 220syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
222 elnn0 10895 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
223221, 222sylib 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
224191, 218, 223mpjaodan 803 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   0pc0p 22706  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224
This theorem is referenced by:  dgrco  23308
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