Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dgrcolem2 23307
 Description: Lemma for dgrco 23308. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 deg
dgrco.2 deg
dgrco.3 Poly
dgrco.4 Poly
dgrco.5 coeff
dgrco.6
dgrco.7
dgrco.8 Polydeg deg deg
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2 deg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11 Poly
2 plyf 23231 . . . . . . . . . . 11 Poly
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10
43ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11 Poly
6 plyf 23231 . . . . . . . . . . 11 Poly
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10
87ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
94, 8syldan 478 . . . . . . . 8
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
1110coef3 23265 . . . . . . . . . . . 12 Poly
125, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12 deg
14 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
155, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 deg
1613, 15syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
1712, 16ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10
1817adantr 472 . . . . . . . . 9
1916adantr 472 . . . . . . . . . 10
204, 19expcld 12454 . . . . . . . . 9
2118, 20mulcld 9681 . . . . . . . 8
229, 21npcand 10009 . . . . . . 7
2322mpteq2dva 4482 . . . . . 6
24 cnex 9638 . . . . . . . 8
2524a1i 11 . . . . . . 7
269, 21subcld 10005 . . . . . . 7
27 eqidd 2472 . . . . . . 7
28 eqidd 2472 . . . . . . 7
2925, 26, 21, 27, 28offval2 6567 . . . . . 6
303feqmptd 5932 . . . . . . 7
317feqmptd 5932 . . . . . . 7
32 fveq2 5879 . . . . . . 7
334, 30, 31, 32fmptco 6072 . . . . . 6
3423, 29, 333eqtr4rd 2516 . . . . 5
3534fveq2d 5883 . . . 4 deg deg
3635adantr 472 . . 3 deg deg
3725, 9, 21, 33, 28offval2 6567 . . . . . 6
38 plyssc 23233 . . . . . . . . 9 Poly Poly
3938, 5sseldi 3416 . . . . . . . 8 Poly
4038, 1sseldi 3416 . . . . . . . 8 Poly
41 addcl 9639 . . . . . . . . 9
4241adantl 473 . . . . . . . 8
43 mulcl 9641 . . . . . . . . 9
4443adantl 473 . . . . . . . 8
4539, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . 7 Poly
46 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
47 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
4847oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
494, 30, 46, 48fmptco 6072 . . . . . . . 8
50 ssid 3437 . . . . . . . . . . 11
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
5352ply1term 23237 . . . . . . . . . 10 Poly
5451, 17, 16, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 Poly
5554, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . . 8 Poly
5649, 55eqeltrrd 2550 . . . . . . 7 Poly
57 plysubcl 23255 . . . . . . 7 Poly Poly Poly
5845, 56, 57syl2anc 673 . . . . . 6 Poly
5937, 58eqeltrrd 2550 . . . . 5 Poly
6059adantr 472 . . . 4 Poly
6156adantr 472 . . . 4 Poly
62 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11
63 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12
64 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . 12
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11
6662, 65eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10
6766nngt0d 10675 . . . . . . . . 9
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11 deg deg
69 dgr0 23295 . . . . . . . . . . 11 deg
7068, 69syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10 deg
7170breq1d 4405 . . . . . . . . 9 deg
7267, 71syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8 deg
73 idd 24 . . . . . . . 8 deg deg
74 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
7513, 74dgrsub 23305 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly deg deg deg
7639, 54, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 deg deg deg
7766nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . 14
7813, 10dgreq0 23298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly
795, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 deg deg
8180, 69syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg
8213, 81syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8379, 82syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483necon3d 2664 . . . . . . . . . . . . . 14
8577, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
8652dgr1term 23293 . . . . . . . . . . . . 13 deg
8717, 85, 16, 86syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 deg
8887ifeq1d 3890 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg
89 ifid 3909 . . . . . . . . . . 11 deg
9088, 89syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10 deg deg
9176, 90breqtrd 4420 . . . . . . . . 9 deg
92 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
9310, 92coesub 23290 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly coeff coeff
9439, 54, 93syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
9594fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10 coeff coeff
96 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13
9712, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9892coef3 23265 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly coeff
9954, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
100 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 coeff
102 nn0ex 10899 . . . . . . . . . . . . 13
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
104 inidm 3632 . . . . . . . . . . . 12
105 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12
10652coe1term 23292 . . . . . . . . . . . . . . 15 coeff
10717, 16, 16, 106syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . 14 coeff
108 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108iftruei 3879 . . . . . . . . . . . . . 14
110107, 109syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13 coeff
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 coeff
11297, 101, 103, 103, 104, 105, 111ofval 6559 . . . . . . . . . . 11 coeff
11316, 112mpdan 681 . . . . . . . . . 10 coeff
11417subidd 9993 . . . . . . . . . 10
11595, 113, 1143eqtrd 2509 . . . . . . . . 9 coeff
116 plysubcl 23255 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
11739, 54, 116syl2anc 673 . . . . . . . . . 10 Poly
118 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 deg deg
119 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 coeff coeff
120118, 119dgrlt 23299 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg coeff
121117, 16, 120syl2anc 673 . . . . . . . . 9 deg deg coeff
12291, 115, 121mpbir2and 936 . . . . . . . 8 deg
12372, 73, 122mpjaod 388 . . . . . . 7 deg
124123adantr 472 . . . . . 6 deg
125 dgrcl 23266 . . . . . . . . . 10 Poly deg
126117, 125syl 17 . . . . . . . . 9 deg
127126nn0red 10950 . . . . . . . 8 deg
128127adantr 472 . . . . . . 7 deg
12916nn0red 10950 . . . . . . . 8
130129adantr 472 . . . . . . 7
131 nnre 10638 . . . . . . . 8
132131adantl 473 . . . . . . 7
133 nngt0 10660 . . . . . . . 8
134133adantl 473 . . . . . . 7
135 ltmul1 10477 . . . . . . 7 deg deg deg
136128, 130, 132, 134, 135syl112anc 1296 . . . . . 6 deg deg
137124, 136mpbid 215 . . . . 5 deg
1387ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
13917adantr 472 . . . . . . . . . . 11
140 id 22 . . . . . . . . . . . 12
141 expcl 12328 . . . . . . . . . . . 12
142140, 16, 141syl2anr 486 . . . . . . . . . . 11
143139, 142mulcld 9681 . . . . . . . . . 10
14425, 138, 143, 31, 46offval2 6567 . . . . . . . . 9
14532, 48oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
1464, 30, 144, 145fmptco 6072 . . . . . . . 8
147146fveq2d 5883 . . . . . . 7 deg deg
148 dgrco.8 . . . . . . . 8 Polydeg deg deg
149123, 62breqtrd 4420 . . . . . . . . 9 deg
150 nn0leltp1 11019 . . . . . . . . . 10 deg deg deg
151126, 63, 150syl2anc 673 . . . . . . . . 9 deg deg
152149, 151mpbird 240 . . . . . . . 8 deg
153 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11 deg deg
154153breq1d 4405 . . . . . . . . . 10 deg deg
155 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . 12
156155fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11 deg deg
157153oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 deg deg
158156, 157eqeq12d 2486 . . . . . . . . . 10 deg deg deg deg
159154, 158imbi12d 327 . . . . . . . . 9 deg deg deg deg deg deg
160159rspcv 3132 . . . . . . . 8 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
161117, 148, 152, 160syl3c 62 . . . . . . 7 deg deg
162147, 161eqtr3d 2507 . . . . . 6 deg deg
163162adantr 472 . . . . 5 deg deg
164 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10
166 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10
16725, 18, 20, 165, 166offval2 6567 . . . . . . . . 9
168167fveq2d 5883 . . . . . . . 8 deg deg
169 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11
1704, 30, 169, 47fmptco 6072 . . . . . . . . . 10
171 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . 12
172 plypow 23238 . . . . . . . . . . . 12 Poly
17351, 171, 16, 172syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11 Poly
174173, 40, 42, 44plyco 23274 . . . . . . . . . 10 Poly
175170, 174eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9 Poly
176 dgrmulc 23304 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
17717, 85, 175, 176syl3anc 1292 . . . . . . . 8 deg deg
178168, 177eqtr3d 2507 . . . . . . 7 deg deg
179178adantr 472 . . . . . 6 deg deg
180 dgrco.2 . . . . . . 7 deg
18166adantr 472 . . . . . . 7
182 simpr 468 . . . . . . 7
1831adantr 472 . . . . . . 7 Poly
184180, 181, 182, 183dgrcolem1 23306 . . . . . 6 deg
185179, 184eqtrd 2505 . . . . 5 deg
186137, 163, 1853brtr4d 4426 . . . 4 deg deg
187 eqid 2471 . . . . 5 deg deg
188 eqid 2471 . . . . 5 deg deg
189187, 188dgradd2 23301 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg
19060, 61, 186, 189syl3anc 1292 . . 3 deg deg
19136, 190, 1853eqtrd 2509 . 2 deg
192 0cn 9653 . . . . . . . 8
193 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8
1943, 192, 193sylancl 675 . . . . . . 7
1957, 194ffvelrnd 6038 . . . . . 6
196 0dgr 23278 . . . . . 6 deg
197195, 196syl 17 . . . . 5 deg
19816nn0cnd 10951 . . . . . 6
199198mul01d 9850 . . . . 5
200197, 199eqtr4d 2508 . . . 4 deg
201200adantr 472 . . 3 deg
202194ad2antrr 740 . . . . . 6
203 simpr 468 . . . . . . . . 9
204180, 203syl5eqr 2519 . . . . . . . 8 deg
205 0dgrb 23279 . . . . . . . . . 10 Poly deg
2061, 205syl 17 . . . . . . . . 9 deg
207206adantr 472 . . . . . . . 8 deg
208204, 207mpbid 215 . . . . . . 7
209 fconstmpt 4883 . . . . . . 7
210208, 209syl6eq 2521 . . . . . 6
21131adantr 472 . . . . . 6
212 fveq2 5879 . . . . . 6
213202, 210, 211, 212fmptco 6072 . . . . 5
214 fconstmpt 4883 . . . . 5
215213, 214syl6eqr 2523 . . . 4
216215fveq2d 5883 . . 3 deg deg
217203oveq2d 6324 . . 3
218201, 216, 2173eqtr4d 2515 . 2 deg
219 dgrcl 23266 . . . . 5 Poly deg
2201, 219syl 17 . . . 4 deg
221180, 220syl5eqel 2553 . . 3
222 elnn0 10895 . . 3
223221, 222sylib 201 . 2
224191, 218, 223mpjaodan 803 1 deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  cif 3872  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cexp 12310  c0p 22706  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224 This theorem is referenced by:  dgrco  23308
 Copyright terms: Public domain W3C validator