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Theorem dgrcolem2 22797
Description: Lemma for dgrco 22798. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.5  |-  A  =  (coeff `  F )
dgrco.6  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
dgrco.7  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
dgrco.8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem2  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Distinct variable groups:    A, f    f, F    f, M    f, N    D, f    f, G    ph, f
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem dgrcolem2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrco.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
2 plyf 22721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
43ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
5 dgrco.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
6 plyf 22721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
87ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( G `  x )  e.  CC )  ->  ( F `  ( G `  x ) )  e.  CC )
94, 8syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `
 ( G `  x ) )  e.  CC )
10 dgrco.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  (coeff `  F )
1110coef3 22755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
125, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
13 dgrco.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  M  =  (deg `  F )
14 dgrcl 22756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
155, 14syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
1613, 15syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1712, 16ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
1916adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  M  e. 
NN0 )
204, 19expcld 12313 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ M )  e.  CC )
2118, 20mulcld 9633 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) )  e.  CC )
229, 21npcand 9954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( F `  ( G `  x )
) )
2322mpteq2dva 4543 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  +  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `
 x ) ) ) )
24 cnex 9590 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
269, 21subcld 9950 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  e.  CC )
27 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
28 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
2925, 26, 21, 27, 28offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  +  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
303feqmptd 5926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
317feqmptd 5926 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `
 y ) ) )
32 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  x ) ) )
334, 30, 31, 32fmptco 6065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G `  x ) ) ) )
3423, 29, 333eqtr4rd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
3534fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x )
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
3635adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) ) )
3725, 9, 21, 33, 28offval2 6555 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
38 plyssc 22723 . . . . . . . . 9  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
3938, 5sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4038, 1sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
41 addcl 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
4241adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  +  w
)  e.  CC )
43 mulcl 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
4443adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( z  x.  w
)  e.  CC )
4539, 40, 42, 44plyco 22764 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC ) )
46 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )
47 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ M )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
4847oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) )  =  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )
494, 30, 46, 48fmptco 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
50 ssid 3518 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  C_  CC
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
52 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )
5352ply1term 22727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  ( A `  M )  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5451, 17, 16, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5554, 40, 42, 44plyco 22764 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
5649, 55eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
57 plysubcl 22745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  G
)  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (
( F  o.  G
)  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )
)
5845, 56, 57syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G )  oF  -  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
5937, 58eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6059adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `
 x ) )  -  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
6156adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
62 dgrco.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( D  +  1 ) )
63 dgrco.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
64 nn0p1nn 10856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  +  1 )  e.  NN )
6662, 65eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
6766nngt0d 10600 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  M )
68 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg ` 
0p ) )
69 dgr0 22785 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
7068, 69syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  0 )
7170breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  ->  (
(deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  0  <  M
) )
7267, 71syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0p  -> 
(deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
73 idd 24 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
74 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
7513, 74dgrsub 22795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  (deg
`  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7639, 54, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  if ( M  <_  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ,  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  M ) )
7766nnne0d 10601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  =/=  0 )
7813, 10dgreq0 22788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
795, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  M )  =  0 ) )
80 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
8180, 69syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
8213, 81syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0p  ->  M  =  0 )
8379, 82syl6bir 229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  =  0  ->  M  =  0 ) )
8483necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  =/=  0  ->  ( A `  M
)  =/=  0 ) )
8577, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  =/=  0 )
8652dgr1term 22783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  M )
8717, 85, 16, 86syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  M )
8887ifeq1d 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M ) )
89 ifid 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( M  <_  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M ,  M )  =  M
9088, 89syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  if ( M  <_ 
(deg `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ,  (deg `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ,  M
)  =  M )
9176, 90breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M )
92 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )
9310, 92coesub 22780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  ( A  oF  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) )
9439, 54, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  =  ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) )
9594fveq1d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M ) )
96 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A : NN0 --> CC  ->  A  Fn  NN0 )
9712, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  Fn  NN0 )
9892coef3 22755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
9954, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) : NN0 --> CC )
100 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  Fn 
NN0 )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  Fn  NN0 )
102 nn0ex 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN0  e.  _V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  NN0  e.  _V )
104 inidm 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN0 
i^i  NN0 )  =  NN0
105 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  M ) )
10652coe1term 22782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  M  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
(coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) `
 M )  =  if ( M  =  M ,  ( A `
 M ) ,  0 ) )
10717, 16, 16, 106syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 ) )
108 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  M  =  M
109108iftruei 3951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( M  =  M , 
( A `  M
) ,  0 )  =  ( A `  M )
110107, 109syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) `  M
)  =  ( A `
 M ) )
111110adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) `  M )  =  ( A `  M ) )
11297, 101, 103, 103, 104, 105, 111ofval 6548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( A  oF  -  (coeff `  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) ) `
 M )  =  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
) )
11316, 112mpdan 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  oF  -  (coeff `  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  ( ( A `  M
)  -  ( A `
 M ) ) )
11417subidd 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A `  M )  -  ( A `  M )
)  =  0 )
11595, 113, 1143eqtrd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (coeff `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) ) `  M )  =  0 )
116 plysubcl 22745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  (Poly `  CC )  /\  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
11739, 54, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC ) )
118 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
119 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  =  (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )
120118, 119dgrlt 22789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
121117, 16, 120syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )  <-> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  M  /\  ( (coeff `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) `  M )  =  0 ) ) )
12291, 115, 121mpbir2and 922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  0p  \/  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M ) )
12372, 73, 122mpjaod 381 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M )
124123adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M )
125 dgrcl 22756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
126117, 125syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0 )
127126nn0red 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR )
128127adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  e.  RR )
12916nn0red 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
130129adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
131 nnre 10563 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
132131adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
133 nngt0 10585 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
134133adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  0  < 
N )
135 ltmul1 10413 . . . . . . 7  |-  ( ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
M  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
136128, 130, 132, 134, 135syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <  M  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) ) )
137124, 136mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N )  <  ( M  x.  N ) )
1387ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `
 y )  e.  CC )
13917adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( A `
 M )  e.  CC )
140 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  y  e.  CC )
141 expcl 12187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( y ^ M
)  e.  CC )
142140, 16, 141syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( y ^ M )  e.  CC )
143139, 142mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) )  e.  CC )
14425, 138, 143, 31, 46offval2 6555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( ( F `
 y )  -  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) ) )
14532, 48oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
( F `  y
)  -  ( ( A `  M )  x.  ( y ^ M ) ) )  =  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )
1464, 30, 144, 145fmptco 6065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )
147146fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) ) )
148 dgrco.8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
149123, 62breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) )
150 nn0leltp1 10943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN0 )  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  <->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
151126, 63, 150syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D 
<->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  < 
( D  +  1 ) ) )
152149, 151mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  <_  D )
153 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  f
)  =  (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) ) )
154153breq1d 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  D  <->  (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D )
)
155 coeq1 5170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( f  o.  G )  =  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )
156155fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  (deg `  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) ) )
157153oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  f )  x.  N
)  =  ( (deg
`  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
158156, 157eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N )  <->  (deg `  (
( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  o.  G ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) ) )
159154, 158imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) )  ->  ( ( (deg
`  f )  <_  D  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
160159rspcv 3206 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
y ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  D  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  <_  D  ->  (deg
`  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) ) ) )
161117, 148, 152, 160syl3c 61 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) )  o.  G
) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
162147, 161eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  ( y  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( y ^ M
) ) ) ) )  x.  N ) )
163162adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  ( (deg `  ( F  oF  -  (
y  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( y ^ M ) ) ) ) )  x.  N ) )
164 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( A `
 M ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `
 M ) )
165164a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  X.  {
( A `  M
) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( A `  M ) ) )
166 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
16725, 18, 20, 165, 166offval2 6555 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  oF  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) )
168167fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  oF  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
169 eqidd 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) ) )
1704, 30, 169, 47fmptco 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )
171 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
172 plypow 22728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  M  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )
17351, 171, 16, 172syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
174173, 40, 42, 44plyco 22764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ M ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
175170, 174eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) )  e.  (Poly `  CC ) )
176 dgrmulc 22794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  M
)  e.  CC  /\  ( A `  M )  =/=  0  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) )  e.  (Poly `  CC ) )  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `  M ) } )  oF  x.  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
17717, 85, 175, 176syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (deg `  ( ( CC  X.  { ( A `
 M ) } )  oF  x.  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
178168, 177eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) ) )
179178adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
180 dgrco.2 . . . . . . 7  |-  N  =  (deg `  G )
18166adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  NN )
182 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
1831adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
184180, 181, 182, 183dgrcolem1 22796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M
) ) )  =  ( M  x.  N
) )
185179, 184eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  ( M  x.  N
) )
186137, 163, 1853brtr4d 4486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
187 eqid 2457 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )
188 eqid 2457 . . . . 5  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) )
189187, 188dgradd2 22791 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  <  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  ->  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( F `  ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( A `  M
)  x.  ( ( G `  x ) ^ M ) ) ) ) )
19060, 61, 186, 189syl3anc 1228 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( F `
 ( G `  x ) )  -  ( ( A `  M )  x.  (
( G `  x
) ^ M ) ) ) )  oF  +  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `  M )  x.  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) ) )  =  (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( A `
 M )  x.  ( ( G `  x ) ^ M
) ) ) ) )
19136, 190, 1853eqtrd 2502 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
192 0cn 9605 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
193 ffvelrn 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1943, 192, 193sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
1957, 194ffvelrnd 6033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  0 )
)  e.  CC )
196 0dgr 22768 . . . . . 6  |-  ( ( F `  ( G `
 0 ) )  e.  CC  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  0 )
197195, 196syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  0 )
19816nn0cnd 10875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
199198mul01d 9796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  x.  0 )  =  0 )
200197, 199eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
201200adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( CC  X.  {
( F `  ( G `  0 )
) } ) )  =  ( M  x.  0 ) )
202194ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  N  =  0 )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  0
)  e.  CC )
203 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  N  =  0 )
204180, 203syl5eqr 2512 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  G )  =  0 )
205 0dgrb 22769 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (deg `  G )  =  0  <-> 
G  =  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } ) ) )
2061, 205syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( (deg `  G
)  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) ) )
207206adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (
(deg `  G )  =  0  <->  G  =  ( CC  X.  { ( G `  0 ) } ) ) )
208204, 207mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( CC  X.  { ( G ` 
0 ) } ) )
209 fconstmpt 5052 . . . . . . 7  |-  ( CC 
X.  { ( G `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 0 ) )
210208, 209syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G ` 
0 ) ) )
21131adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  F  =  ( y  e.  CC  |->  ( F `  y ) ) )
212 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( G ` 
0 )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  0 ) ) )
213202, 210, 211, 212fmptco 6065 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `  ( G `  0 ) ) ) )
214 fconstmpt 5052 . . . . 5  |-  ( CC 
X.  { ( F `
 ( G ` 
0 ) ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( F `
 ( G ` 
0 ) ) )
215213, 214syl6eqr 2516 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( F  o.  G )  =  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) )
216215fveq2d 5876 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  (deg
`  ( CC  X.  { ( F `  ( G `  0 ) ) } ) ) )
217203oveq2d 6312 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  ( M  x.  N )  =  ( M  x.  0 ) )
218201, 216, 2173eqtr4d 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  = 
0 )  ->  (deg `  ( F  o.  G
) )  =  ( M  x.  N ) )
219 dgrcl 22756 . . . . 5  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2201, 219syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
221180, 220syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
222 elnn0 10818 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
223221, 222sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0
) )
224191, 218, 223mpjaodan 786 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ifcif 3944   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   0pc0p 22202  Polycply 22707  coeffccoe 22709  degcdgr 22710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-0p 22203  df-ply 22711  df-coe 22713  df-dgr 22714
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