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Theorem dgrcolem1 23306
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1 |- N = (deg ` G )
dgrcolem1.2 |- ( ph -> M e. NN )
dgrcolem1.3 |- ( ph -> N e. NN )
dgrcolem1.4 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )
Distinct variable groups:   x, G   x, M   ph, x
Allowed substitution hints:   S( x)   N( x)
Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables w d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2 |- ( ph -> M e. NN )
2 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ 1 ) )
32mpteq2dv 4483 . . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5883 . . . . 5 |- ( y = 1 -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) )
5 oveq1 6315 . . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y x. N ) = ( 1 x. N ) )
64, 5eqeq12d 2486 . . . 4 |- ( y = 1 -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) )
76imbi2d 323 . . 3 |- ( y = 1 -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) ) )
8 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( y = d -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
98mpteq2dv 4483 . . . . . 6 |- ( y = d -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5883 . . . . 5 |- ( y = d -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) )
11 oveq1 6315 . . . . 5 |- ( y = d -> ( y x. N ) = ( d x. N ) )
1210, 11eqeq12d 2486 . . . 4 |- ( y = d -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) )
1312imbi2d 323 . . 3 |- ( y = d -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) ) )
14 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) )
1514mpteq2dv 4483 . . . . . 6 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
1615fveq2d 5883 . . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
17 oveq1 6315 . . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( y x. N ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
1816, 17eqeq12d 2486 . . . 4 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
1918imbi2d 323 . . 3 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
20 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( y = M -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4483 . . . . . 6 |- ( y = M -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5883 . . . . 5 |- ( y = M -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 6315 . . . . 5 |- ( y = M -> ( y x. N ) = ( M x. N ) )
2422, 23eqeq12d 2486 . . . 4 |- ( y = M -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
2524imbi2d 323 . . 3 |- ( y = M -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
27 plyf 23231 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
2928ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
3029exp1d 12449 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ 1 ) = ( G ` x ) )
3130mpteq2dva 4482 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
3228feqmptd 5932 . . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
3331, 32eqtr4d 2508 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = G )
3433fveq2d 5883 . . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = (deg ` G ) )
35 dgrcolem1.1 . . . . 5 |- N = (deg ` G )
3634, 35syl6eqr 2523 . . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = N )
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
3837nncnd 10647 . . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
3938mulid2d 9679 . . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. N ) = N )
4036, 39eqtr4d 2508 . . 3 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) )
4129adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
42 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN0 )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> d e. NN0 )
4541, 44expp1d 12455 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) )
4645mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
47 cnex 9638 . . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
49 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V )
51 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
5232adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
5348, 50, 41, 51, 52offval2 6567 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
5446, 53eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) )
5554fveq2d 5883 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
5655adantr 472 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
57 nncn 10639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> d e. CC )
5857adantl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. CC )
59 1cnd 9677 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> 1 e. CC )
6038adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. CC )
6158, 59, 60adddird 9686 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
6260mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( 1 x. N ) = N )
6362oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
6461, 63eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
6564adantr 472 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
66 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) )
67 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ d ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
6841, 52, 66, 67fmptco 6072 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
69 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC C_ CC )
71 plypow 23238 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ d e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
7270, 59, 43, 71syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
73 plyssc 23233 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
7426adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
7573, 74sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` CC ) )
76 addcl 9639 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
78 mulcl 9641 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
8072, 75, 77, 79plyco 23274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
8168, 80eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
8281adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
83 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) )
84 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN )
8537adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. NN )
8684, 85nnmulcld 10679 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) e. NN )
8786nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
8887adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
8983, 88eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 )
90 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` 0p ) )
91 dgr0 23295 . . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
9290, 91syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = 0 )
9392necon3i 2675 . . . . . . . . . . 11 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
9575adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
9637nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
97 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = (deg ` 0p ) )
9897, 91syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = 0 )
9935, 98syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = 0p -> N = 0 )
10099necon3i 2675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> G =/= 0p )
10196, 100syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0p )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G =/= 0p )
103102adantr 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G =/= 0p )
104 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
105104, 35dgrmul 23303 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p ) /\ ( G e. (Poly ` CC ) /\ G =/= 0p ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
10682, 94, 95, 103, 105syl22anc 1293 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
108107adantl 473 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
109106, 108eqtrd 2505 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
11065, 109eqtr4d 2508 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
11156, 110eqtr4d 2508 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
112111ex 441 . . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
113112expcom 442 . . . 4 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
114113a2d 28 . . 3 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
1157, 13, 19, 25, 40, 114nnind 10649 . 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
1161, 115mpcom 36 1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   |-> cmpt 4454   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oFcof 6548   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   0pc0p 22706  Polycply 23217  degcdgr 23220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  23307
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