Theorem dgrcolem1 21866

Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrcolem1.1	|- N = (deg ` G )
dgrcolem1.2	|- ( ph -> M e. NN )
dgrcolem1.3	|- ( ph -> N e. NN )
dgrcolem1.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrcolem1	|- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1

Dummy variables w d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrcolem1.2	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		oveq2 6201	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ 1 ) )
3	2	mpteq2dv 4480	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) )
4	3	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( y = 1 -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) )
5		oveq1 6200	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y x. N ) = ( 1 x. N ) )
6	4, 5	eqeq12d 2473	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) )
7	6	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = 1 -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) ) )
8		oveq2 6201	. . . . . . 7 |- ( y = d -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
9	8	mpteq2dv 4480	. . . . . 6 |- ( y = d -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
10	9	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( y = d -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) )
11		oveq1 6200	. . . . 5 |- ( y = d -> ( y x. N ) = ( d x. N ) )
12	10, 11	eqeq12d 2473	. . . 4 |- ( y = d -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) )
13	12	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = d -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) ) )
14		oveq2 6201	. . . . . . 7 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) )
15	14	mpteq2dv 4480	. . . . . 6 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
16	15	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
17		oveq1 6200	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( y x. N ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
18	16, 17	eqeq12d 2473	. . . 4 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
20		oveq2 6201	. . . . . . 7 |- ( y = M -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
21	20	mpteq2dv 4480	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
22	21	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( y = M -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
23		oveq1 6200	. . . . 5 |- ( y = M -> ( y x. N ) = ( M x. N ) )
24	22, 23	eqeq12d 2473	. . . 4 |- ( y = M -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
25	24	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = M -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) ) )
26		dgrcolem1.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
27		plyf 21792	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
29	28	ffvelrnda 5945	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
30	29	exp1d 12113	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ 1 ) = ( G ` x ) )
31	30	mpteq2dva 4479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
32	28	feqmptd 5846	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
33	31, 32	eqtr4d 2495	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = G )
34	33	fveq2d 5796	. . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = (deg ` G ) )
35		dgrcolem1.1	. . . . 5 |- N = (deg ` G )
36	34, 35	syl6eqr 2510	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = N )
37		dgrcolem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
38	37	nncnd 10442	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
39	38	mulid2d 9508	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. N ) = N )
40	36, 39	eqtr4d 2495	. . 3 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) )
41	29	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
42		nnnn0 10690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN0 )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> d e. NN0 )
45	41, 44	expp1d 12119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
47		cnex 9467	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
49		ovex 6218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V )
51		eqidd 2452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
52	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
53	48, 50, 41, 51, 52	offval2 6439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
54	46, 53	eqtr4d 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) )
55	54	fveq2d 5796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
57		nncn 10434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> d e. CC )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. CC )
59		1cnd 9506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> 1 e. CC )
60	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. CC )
61	58, 59, 60	adddird 9515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
62	60	mulid2d 9508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( 1 x. N ) = N )
63	62	oveq2d 6209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
64	61, 63	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
65	64	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
66		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) )
67		oveq1 6200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ d ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
68	41, 52, 66, 67	fmptco 5978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
69		ssid 3476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC C_ CC )
71		plypow 21799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ d e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
72	70, 59, 43, 71	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
73		plyssc 21794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
74	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
75	73, 74	sseldi 3455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` CC ) )
76		addcl 9468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
77	76	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
78		mulcl 9470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
80	72, 75, 77, 79	plyco 21835	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
81	68, 80	eqeltrrd 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) )
84		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN )
85	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. NN )
86	84, 85	nnmulcld 10473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) e. NN )
87	86	nnne0d 10470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
89	83, 88	eqnetrd 2741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 )
90		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` 0p ) )
91		dgr0 21855	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
92	90, 91	syl6eq 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = 0 )
93	92	necon3i 2688	. . . . . . . . . . 11 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
94	89, 93	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
95	75	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
96	37	nnne0d 10470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
97		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = (deg ` 0p ) )
98	97, 91	syl6eq 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = 0 )
99	35, 98	syl5eq 2504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = 0p -> N = 0 )
100	99	necon3i 2688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> G =/= 0p )
101	96, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0p )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G =/= 0p )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G =/= 0p )
104		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
105	104, 35	dgrmul 21863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p ) /\ ( G e. (Poly ` CC ) /\ G =/= 0p ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
106	82, 94, 95, 103, 105	syl22anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
107		oveq1 6200	. . . . . . . . . 10 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
109	106, 108	eqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
110	65, 109	eqtr4d 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
111	56, 110	eqtr4d 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
112	111	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
113	112	expcom 435	. . . 4 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
115	7, 13, 19, 25, 40, 114	nnind 10444	. 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
116	1, 115	mpcom 36	1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3071   C_ wss 3429   |-> cmpt 4451   o. ccom 4945   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   oFcof 6421   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ^cexp 11975   0pc0p 21273  Polycply 21778  degcdgr 21781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-0p 21274  df-ply 21782  df-coe 21784  df-dgr 21785

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  21867