Theorem dgrcolem1 22839

Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrcolem1.1	|- N = (deg ` G )
dgrcolem1.2	|- ( ph -> M e. NN )
dgrcolem1.3	|- ( ph -> N e. NN )
dgrcolem1.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrcolem1	|- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1

Dummy variables w d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrcolem1.2	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ 1 ) )
3	2	mpteq2dv 4526	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) )
4	3	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( y = 1 -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) )
5		oveq1 6277	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y x. N ) = ( 1 x. N ) )
6	4, 5	eqeq12d 2476	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) )
7	6	imbi2d 314	. . 3 |- ( y = 1 -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) ) )
8		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( y = d -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
9	8	mpteq2dv 4526	. . . . . 6 |- ( y = d -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
10	9	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( y = d -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) )
11		oveq1 6277	. . . . 5 |- ( y = d -> ( y x. N ) = ( d x. N ) )
12	10, 11	eqeq12d 2476	. . . 4 |- ( y = d -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) )
13	12	imbi2d 314	. . 3 |- ( y = d -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) ) )
14		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) )
15	14	mpteq2dv 4526	. . . . . 6 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
16	15	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
17		oveq1 6277	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( y x. N ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
18	16, 17	eqeq12d 2476	. . . 4 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
19	18	imbi2d 314	. . 3 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
20		oveq2 6278	. . . . . . 7 |- ( y = M -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
21	20	mpteq2dv 4526	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
22	21	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( y = M -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
23		oveq1 6277	. . . . 5 |- ( y = M -> ( y x. N ) = ( M x. N ) )
24	22, 23	eqeq12d 2476	. . . 4 |- ( y = M -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
25	24	imbi2d 314	. . 3 |- ( y = M -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) ) )
26		dgrcolem1.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
27		plyf 22764	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
29	28	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
30	29	exp1d 12290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ 1 ) = ( G ` x ) )
31	30	mpteq2dva 4525	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
32	28	feqmptd 5901	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
33	31, 32	eqtr4d 2498	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = G )
34	33	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = (deg ` G ) )
35		dgrcolem1.1	. . . . 5 |- N = (deg ` G )
36	34, 35	syl6eqr 2513	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = N )
37		dgrcolem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
38	37	nncnd 10547	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
39	38	mulid2d 9603	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. N ) = N )
40	36, 39	eqtr4d 2498	. . 3 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) )
41	29	adantlr 712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
42		nnnn0 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
43	42	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN0 )
44	43	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> d e. NN0 )
45	41, 44	expp1d 12296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
47		cnex 9562	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
49		ovex 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V )
51		eqidd 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
52	32	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
53	48, 50, 41, 51, 52	offval2 6529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
54	46, 53	eqtr4d 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) )
55	54	fveq2d 5852	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
56	55	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
57		nncn 10539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> d e. CC )
58	57	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. CC )
59		1cnd 9601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> 1 e. CC )
60	38	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. CC )
61	58, 59, 60	adddird 9610	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
62	60	mulid2d 9603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( 1 x. N ) = N )
63	62	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
64	61, 63	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
65	64	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
66		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) )
67		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ d ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
68	41, 52, 66, 67	fmptco 6040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
69		ssid 3508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC C_ CC )
71		plypow 22771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ d e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
72	70, 59, 43, 71	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
73		plyssc 22766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
74	26	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
75	73, 74	sseldi 3487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` CC ) )
76		addcl 9563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
77	76	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
78		mulcl 9565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
79	78	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
80	72, 75, 77, 79	plyco 22807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
81	68, 80	eqeltrrd 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
82	81	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
83		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) )
84		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN )
85	37	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. NN )
86	84, 85	nnmulcld 10579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) e. NN )
87	86	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
88	87	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
89	83, 88	eqnetrd 2747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 )
90		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` 0p ) )
91		dgr0 22828	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
92	90, 91	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = 0 )
93	92	necon3i 2694	. . . . . . . . . . 11 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
94	89, 93	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
95	75	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
96	37	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
97		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = (deg ` 0p ) )
98	97, 91	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = 0 )
99	35, 98	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = 0p -> N = 0 )
100	99	necon3i 2694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> G =/= 0p )
101	96, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0p )
102	101	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G =/= 0p )
103	102	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G =/= 0p )
104		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
105	104, 35	dgrmul 22836	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p ) /\ ( G e. (Poly ` CC ) /\ G =/= 0p ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
106	82, 94, 95, 103, 105	syl22anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
107		oveq1 6277	. . . . . . . . . 10 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
108	107	adantl 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
109	106, 108	eqtrd 2495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
110	65, 109	eqtr4d 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
111	56, 110	eqtr4d 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
112	111	ex 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
113	112	expcom 433	. . . 4 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
115	7, 13, 19, 25, 40, 114	nnind 10549	. 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
116	1, 115	mpcom 36	1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   |-> cmpt 4497   o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   oFcof 6511   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ^cexp 12151   0pc0p 22245  Polycply 22750  degcdgr 22753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-0p 22246  df-ply 22754  df-coe 22756  df-dgr 22757

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  22840