Theorem dgrcolem1 21715

Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrcolem1.1	|- N = (deg ` G )
dgrcolem1.2	|- ( ph -> M e. NN )
dgrcolem1.3	|- ( ph -> N e. NN )
dgrcolem1.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrcolem1	|- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1

Dummy variables w d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrcolem1.2	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ 1 ) )
3	2	mpteq2dv 4374	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) )
4	3	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( y = 1 -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) )
5		oveq1 6093	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y x. N ) = ( 1 x. N ) )
6	4, 5	eqeq12d 2452	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) )
7	6	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = 1 -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) ) )
8		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( y = d -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
9	8	mpteq2dv 4374	. . . . . 6 |- ( y = d -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
10	9	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( y = d -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) )
11		oveq1 6093	. . . . 5 |- ( y = d -> ( y x. N ) = ( d x. N ) )
12	10, 11	eqeq12d 2452	. . . 4 |- ( y = d -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) )
13	12	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = d -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) ) )
14		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) )
15	14	mpteq2dv 4374	. . . . . 6 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
16	15	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
17		oveq1 6093	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( y x. N ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
18	16, 17	eqeq12d 2452	. . . 4 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
20		oveq2 6094	. . . . . . 7 |- ( y = M -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
21	20	mpteq2dv 4374	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
22	21	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( y = M -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
23		oveq1 6093	. . . . 5 |- ( y = M -> ( y x. N ) = ( M x. N ) )
24	22, 23	eqeq12d 2452	. . . 4 |- ( y = M -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
25	24	imbi2d 316	. . 3 |- ( y = M -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) ) )
26		dgrcolem1.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
27		plyf 21641	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
29	28	ffvelrnda 5838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
30	29	exp1d 11995	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ 1 ) = ( G ` x ) )
31	30	mpteq2dva 4373	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
32	28	feqmptd 5739	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
33	31, 32	eqtr4d 2473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = G )
34	33	fveq2d 5690	. . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = (deg ` G ) )
35		dgrcolem1.1	. . . . 5 |- N = (deg ` G )
36	34, 35	syl6eqr 2488	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = N )
37		dgrcolem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
38	37	nncnd 10330	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
39	38	mulid2d 9396	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. N ) = N )
40	36, 39	eqtr4d 2473	. . 3 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) )
41	29	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
42		nnnn0 10578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN0 )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> d e. NN0 )
45	41, 44	expp1d 12001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
47		cnex 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
49		ovex 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V )
51		eqidd 2439	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
52	32	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
53	48, 50, 41, 51, 52	offval2 6331	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
54	46, 53	eqtr4d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) )
55	54	fveq2d 5690	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
56	55	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
57		nncn 10322	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> d e. CC )
58	57	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. CC )
59		1cnd 9394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> 1 e. CC )
60	38	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. CC )
61	58, 59, 60	adddird 9403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
62	60	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( 1 x. N ) = N )
63	62	oveq2d 6102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
64	61, 63	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
65	64	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
66		eqidd 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) )
67		oveq1 6093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ d ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
68	41, 52, 66, 67	fmptco 5871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
69		ssid 3370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC C_ CC )
71		plypow 21648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ d e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
72	70, 59, 43, 71	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
73		plyssc 21643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
74	26	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
75	73, 74	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` CC ) )
76		addcl 9356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
77	76	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
78		mulcl 9358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
80	72, 75, 77, 79	plyco 21684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
81	68, 80	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) )
84		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN )
85	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. NN )
86	84, 85	nnmulcld 10361	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) e. NN )
87	86	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
88	87	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
89	83, 88	eqnetrd 2621	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 )
90		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` 0p ) )
91		dgr0 21704	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0p ) = 0
92	90, 91	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = 0 )
93	92	necon3i 2645	. . . . . . . . . . 11 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
94	89, 93	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p )
95	75	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
96	37	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
97		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = (deg ` 0p ) )
98	97, 91	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = 0p -> (deg ` G ) = 0 )
99	35, 98	syl5eq 2482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = 0p -> N = 0 )
100	99	necon3i 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> G =/= 0p )
101	96, 100	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0p )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G =/= 0p )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G =/= 0p )
104		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
105	104, 35	dgrmul 21712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0p ) /\ ( G e. (Poly ` CC ) /\ G =/= 0p ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
106	82, 94, 95, 103, 105	syl22anc 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
107		oveq1 6093	. . . . . . . . . 10 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
109	106, 108	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
110	65, 109	eqtr4d 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) oF x. G ) ) )
111	56, 110	eqtr4d 2473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
112	111	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
113	112	expcom 435	. . . 4 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
114	113	a2d 26	. . 3 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
115	7, 13, 19, 25, 40, 114	nnind 10332	. 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
116	1, 115	mpcom 36	1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   e. cmpt 4345   o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   oFcof 6313   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ^cexp 11857   0pc0p 21122  Polycply 21627  degcdgr 21630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-0p 21123  df-ply 21631  df-coe 21633  df-dgr 21634

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  21716