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Theorem dgrcolem1 21866
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1  |-  N  =  (deg `  G )
dgrcolem1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dgrcolem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dgrcolem1.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables  w  d  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
1 ) )
32mpteq2dv 4480 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) ) )
5 oveq1 6200 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
64, 5eqeq12d 2473 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ 1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) )
76imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) ) )
8 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  d  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
98mpteq2dv 4480 . . . . . 6  |-  ( y  =  d  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) ) )
11 oveq1 6200 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (
y  x.  N )  =  ( d  x.  N ) )
1210, 11eqeq12d 2473 . . . 4  |-  ( y  =  d  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  d  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) ) )
14 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4480 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) ) )
1615fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq1 6200 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
y  x.  N )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) )
1816, 17eqeq12d 2473 . . . 4  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) )
1918imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
20 oveq2 6201 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4480 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 6200 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (
y  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
2422, 23eqeq12d 2473 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
2524imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
27 plyf 21792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
2928ffvelrnda 5945 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
3029exp1d 12113 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ 1 )  =  ( G `  x
) )
3130mpteq2dva 4479 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
3228feqmptd 5846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
3331, 32eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  G )
3433fveq2d 5796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  (deg `  G
) )
35 dgrcolem1.1 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
3634, 35syl6eqr 2510 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  N )
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 10442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3938mulid2d 9508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
4036, 39eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) )
4129adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
42 nnnn0 10690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e. 
NN0 )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  d  e.  NN0 )
4541, 44expp1d 12119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) )  =  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) )
4645mpteq2dva 4479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) ) )
47 cnex 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
49 ovex 6218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) ^ d )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ d )  e.  _V )
51 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
5232adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
5348, 50, 41, 51, 52offval2 6439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5446, 53eqtr4d 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  oF  x.  G
) )
5554fveq2d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
57 nncn 10434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  CC )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  CC )
59 1cnd 9506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6038adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6158, 59, 60adddird 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
6260mulid2d 9508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
6362oveq2d 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6461, 63eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6564adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
66 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
d ) ) )
67 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ d )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
6841, 52, 66, 67fmptco 5978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
69 ssid 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  C_  CC )
71 plypow 21799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
7270, 59, 43, 71syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
73 plyssc 21794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
7426adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
7573, 74sseldi 3455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
76 addcl 9468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  +  w )  e.  CC )
78 mulcl 9470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  x.  w )  e.  CC )
8072, 75, 77, 79plyco 21835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
8168, 80eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN )
8537adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
8684, 85nnmulcld 10473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  e.  NN )
8786nnne0d 10470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  =/=  0 )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
d  x.  N )  =/=  0 )
8983, 88eqnetrd 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =/=  0 )
90 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  (deg
`  0p ) )
91 dgr0 21855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0p )  =  0
9290, 91syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  0 )
9392necon3i 2688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9575adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
9637nnne0d 10470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
97 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  (deg `  0p
) )
9897, 91syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  0 )
9935, 98syl5eq 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  =  0p  ->  N  =  0 )
10099necon3i 2688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  G  =/=  0p )
10196, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =/=  0p )
103102adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  =/=  0p )
104 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
105104, 35dgrmul 21863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  =/=  0p )  /\  ( G  e.  (Poly `  CC )  /\  G  =/=  0p ) )  -> 
(deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  +  N
) )
10682, 94, 95, 103, 105syl22anc 1220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N ) )
107 oveq1 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
108107adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
109106, 108eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
11065, 109eqtr4d 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  oF  x.  G ) ) )
11156, 110eqtr4d 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) )
112111ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) ) )
113112expcom 435 . . . 4  |-  ( d  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
)  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
114113a2d 26 . . 3  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
1157, 13, 19, 25, 40, 114nnind 10444 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
1161, 115mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071    C_ wss 3429    |-> cmpt 4451    o. ccom 4945   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    oFcof 6421   CCcc 9384   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ^cexp 11975   0pc0p 21273  Polycply 21778  degcdgr 21781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-0p 21274  df-ply 21782  df-coe 21784  df-dgr 21785
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  21867
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