MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcolem1 Structured version   Unicode version

Theorem dgrcolem1 22839
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1  |-  N  =  (deg `  G )
dgrcolem1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dgrcolem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dgrcolem1.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables  w  d  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
1 ) )
32mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) ) )
5 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
64, 5eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ 1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) )
76imbi2d 314 . . 3  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) ) )
8 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( y  =  d  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
98mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( y  =  d  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) ) )
11 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (
y  x.  N )  =  ( d  x.  N ) )
1210, 11eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( y  =  d  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) )
1312imbi2d 314 . . 3  |-  ( y  =  d  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) ) )
14 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) ) )
1615fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
y  x.  N )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) )
1816, 17eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) )
1918imbi2d 314 . . 3  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
20 oveq2 6278 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4526 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (
y  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
2422, 23eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
2524imbi2d 314 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
27 plyf 22764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
2928ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
3029exp1d 12290 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ 1 )  =  ( G `  x
) )
3130mpteq2dva 4525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
3228feqmptd 5901 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
3331, 32eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  G )
3433fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  (deg `  G
) )
35 dgrcolem1.1 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
3634, 35syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  N )
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 10547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3938mulid2d 9603 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
4036, 39eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) )
4129adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
42 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
4342adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e. 
NN0 )
4443adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  d  e.  NN0 )
4541, 44expp1d 12296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) )  =  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) )
4645mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) ) )
47 cnex 9562 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
49 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) ^ d )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ d )  e.  _V )
51 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
5232adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
5348, 50, 41, 51, 52offval2 6529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5446, 53eqtr4d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  oF  x.  G
) )
5554fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
5655adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
57 nncn 10539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  CC )
5857adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  CC )
59 1cnd 9601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6038adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6158, 59, 60adddird 9610 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
6260mulid2d 9603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
6362oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6461, 63eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6564adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
66 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
d ) ) )
67 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ d )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
6841, 52, 66, 67fmptco 6040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
69 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  C_  CC )
71 plypow 22771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
7270, 59, 43, 71syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
73 plyssc 22766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
7426adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
7573, 74sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
76 addcl 9563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
7776adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  +  w )  e.  CC )
78 mulcl 9565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
7978adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  x.  w )  e.  CC )
8072, 75, 77, 79plyco 22807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
8168, 80eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
8281adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
83 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )
84 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN )
8537adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
8684, 85nnmulcld 10579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  e.  NN )
8786nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  =/=  0 )
8887adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
d  x.  N )  =/=  0 )
8983, 88eqnetrd 2747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =/=  0 )
90 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  (deg
`  0p ) )
91 dgr0 22828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0p )  =  0
9290, 91syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  0 )
9392necon3i 2694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9575adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
9637nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
97 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  (deg `  0p
) )
9897, 91syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  0 )
9935, 98syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  =  0p  ->  N  =  0 )
10099necon3i 2694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  G  =/=  0p )
10196, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
102101adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =/=  0p )
103102adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  =/=  0p )
104 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
105104, 35dgrmul 22836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  =/=  0p )  /\  ( G  e.  (Poly `  CC )  /\  G  =/=  0p ) )  -> 
(deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  +  N
) )
10682, 94, 95, 103, 105syl22anc 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N ) )
107 oveq1 6277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
108107adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
109106, 108eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
11065, 109eqtr4d 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  oF  x.  G ) ) )
11156, 110eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) )
112111ex 432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) ) )
113112expcom 433 . . . 4  |-  ( d  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
)  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
114113a2d 26 . . 3  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
1157, 13, 19, 25, 40, 114nnind 10549 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
1161, 115mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oFcof 6511   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ^cexp 12151   0pc0p 22245  Polycply 22750  degcdgr 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-0p 22246  df-ply 22754  df-coe 22756  df-dgr 22757
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  22840
  Copyright terms: Public domain W3C validator