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Theorem dgrcolem1 21715
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1  |-  N  =  (deg `  G )
dgrcolem1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dgrcolem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dgrcolem1.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables  w  d  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
1 ) )
32mpteq2dv 4374 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) ) )
5 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
64, 5eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ 1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) )
76imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) ) )
8 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( y  =  d  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
98mpteq2dv 4374 . . . . . 6  |-  ( y  =  d  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) ) )
11 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (
y  x.  N )  =  ( d  x.  N ) )
1210, 11eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( y  =  d  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) )
1312imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  d  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) ) )
14 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4374 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) ) )
1615fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
y  x.  N )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) )
1816, 17eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) )
1918imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
20 oveq2 6094 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4374 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 6093 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (
y  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
2422, 23eqeq12d 2452 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
2524imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
27 plyf 21641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
2928ffvelrnda 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
3029exp1d 11995 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ 1 )  =  ( G `  x
) )
3130mpteq2dva 4373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
3228feqmptd 5739 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
3331, 32eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  G )
3433fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  (deg `  G
) )
35 dgrcolem1.1 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
3634, 35syl6eqr 2488 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  N )
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 10330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3938mulid2d 9396 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
4036, 39eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) )
4129adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
42 nnnn0 10578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e. 
NN0 )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  d  e.  NN0 )
4541, 44expp1d 12001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) )  =  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) )
4645mpteq2dva 4373 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) ) )
47 cnex 9355 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
49 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) ^ d )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ d )  e.  _V )
51 eqidd 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
5232adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
5348, 50, 41, 51, 52offval2 6331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5446, 53eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  oF  x.  G
) )
5554fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) ) )
57 nncn 10322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  CC )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  CC )
59 1cnd 9394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6038adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6158, 59, 60adddird 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
6260mulid2d 9396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
6362oveq2d 6102 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6461, 63eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6564adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
66 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
d ) ) )
67 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ d )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
6841, 52, 66, 67fmptco 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
69 ssid 3370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  C_  CC )
71 plypow 21648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
7270, 59, 43, 71syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
73 plyssc 21643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
7426adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
7573, 74sseldi 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
76 addcl 9356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
7776adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  +  w )  e.  CC )
78 mulcl 9358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  x.  w )  e.  CC )
8072, 75, 77, 79plyco 21684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
8168, 80eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )
84 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN )
8537adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
8684, 85nnmulcld 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  e.  NN )
8786nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  =/=  0 )
8887adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
d  x.  N )  =/=  0 )
8983, 88eqnetrd 2621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =/=  0 )
90 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  (deg
`  0p ) )
91 dgr0 21704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0p )  =  0
9290, 91syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  0 )
9392necon3i 2645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9489, 93syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0p )
9575adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
9637nnne0d 10358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
97 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  (deg `  0p
) )
9897, 91syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  =  0p  -> 
(deg `  G )  =  0 )
9935, 98syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  =  0p  ->  N  =  0 )
10099necon3i 2645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  G  =/=  0p )
10196, 100syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =/=  0p )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =/=  0p )
103102adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  =/=  0p )
104 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
105104, 35dgrmul 21712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  =/=  0p )  /\  ( G  e.  (Poly `  CC )  /\  G  =/=  0p ) )  -> 
(deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  +  N
) )
10682, 94, 95, 103, 105syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N ) )
107 oveq1 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
108107adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
109106, 108eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  oF  x.  G ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
11065, 109eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  oF  x.  G ) ) )
11156, 110eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) )
112111ex 434 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) ) )
113112expcom 435 . . . 4  |-  ( d  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
)  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
114113a2d 26 . . 3  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
1157, 13, 19, 25, 40, 114nnind 10332 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
1161, 115mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    C_ wss 3323    e. cmpt 4345    o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ^cexp 11857   0pc0p 21122  Polycply 21627  degcdgr 21630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-0p 21123  df-ply 21631  df-coe 21633  df-dgr 21634
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  21716
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