Theorem dgrcolem1 20144

Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrcolem1.1	|- N = (deg ` G )
dgrcolem1.2	|- ( ph -> M e. NN )
dgrcolem1.3	|- ( ph -> N e. NN )
dgrcolem1.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrcolem1	|- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, M   ph, x

Allowed substitution hints:   S( x)   N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1

Dummy variables w d y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrcolem1.2	. 2 |- ( ph -> M e. NN )
2		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( y = 1 -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ 1 ) )
3	2	mpteq2dv 4256	. . . . . 6 |- ( y = 1 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) )
4	3	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( y = 1 -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) )
5		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( y = 1 -> ( y x. N ) = ( 1 x. N ) )
6	4, 5	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( y = 1 -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) )
7	6	imbi2d 308	. . 3 |- ( y = 1 -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) ) ) )
8		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( y = d -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
9	8	mpteq2dv 4256	. . . . . 6 |- ( y = d -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
10	9	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( y = d -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) )
11		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( y = d -> ( y x. N ) = ( d x. N ) )
12	10, 11	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( y = d -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) )
13	12	imbi2d 308	. . 3 |- ( y = d -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) ) )
14		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) )
15	14	mpteq2dv 4256	. . . . . 6 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) )
16	15	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) )
17		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( y x. N ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
18	16, 17	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
19	18	imbi2d 308	. . 3 |- ( y = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
20		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( y = M -> ( ( G ` x ) ^ y ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
21	20	mpteq2dv 4256	. . . . . 6 |- ( y = M -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
22	21	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( y = M -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
23		oveq1 6047	. . . . 5 |- ( y = M -> ( y x. N ) = ( M x. N ) )
24	22, 23	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( y = M -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) <-> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
25	24	imbi2d 308	. . 3 |- ( y = M -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ y ) ) ) = ( y x. N ) ) <-> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) ) )
26		dgrcolem1.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
27		plyf 20070	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
29	28	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
30	29	exp1d 11473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ 1 ) = ( G ` x ) )
31	30	mpteq2dva 4255	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
32	28	feqmptd 5738	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
33	31, 32	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) = G )
34	33	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = (deg ` G ) )
35		dgrcolem1.1	. . . . 5 |- N = (deg ` G )
36	34, 35	syl6eqr 2454	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = N )
37		dgrcolem1.3	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
38	37	nncnd 9972	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
39	38	mulid2d 9062	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. N ) = N )
40	36, 39	eqtr4d 2439	. . 3 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ 1 ) ) ) = ( 1 x. N ) )
41	29	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
42		nnnn0 10184	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN -> d e. NN0 )
43	42	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN0 )
44	43	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> d e. NN0 )
45	41, 44	expp1d 11479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) = ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) )
46	45	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
47		cnex 9027	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC e. _V )
49		ovex 6065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ d ) e. _V )
51		eqidd 2405	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
52	32	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
53	48, 50, 41, 51, 52	offval2 6281	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) = ( x e. CC |-> ( ( ( G ` x ) ^ d ) x. ( G ` x ) ) ) )
54	46, 53	eqtr4d 2439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) = ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) )
55	54	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) )
56	55	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) )
57		nncn 9964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( d e. NN -> d e. CC )
58	57	adantl 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. CC )
59		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> 1 e. CC )
61	38	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. CC )
62	58, 60, 61	adddird 9069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) )
63	61	mulid2d 9062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( 1 x. N ) = N )
64	63	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d x. N ) + ( 1 x. N ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
65	62, 64	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
66	65	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
67		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) )
68		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ d ) = ( ( G ` x ) ^ d ) )
69	41, 52, 67, 68	fmptco 5860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
70		ssid 3327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- CC C_ CC
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> CC C_ CC )
72		plypow 20077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ d e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
73	71, 60, 43, 72	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
74		plyssc 20072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
75	26	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
76	74, 75	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G e. (Poly ` CC ) )
77		addcl 9028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
78	77	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
79		mulcl 9030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
80	79	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
81	73, 76, 78, 80	plyco 20113	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ d ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
82	69, 81	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
83	82	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) )
84		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) )
85		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> d e. NN )
86	37	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> N e. NN )
87	85, 86	nnmulcld 10003	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) e. NN )
88	87	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
89	88	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( d x. N ) =/= 0 )
90	84, 89	eqnetrd 2585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 )
91		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0 p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` 0 p ) )
92		dgr0 20133	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` 0 p ) = 0
93	91, 92	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) = 0 p -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = 0 )
94	93	necon3i 2606	. . . . . . . . . . 11 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) =/= 0 -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0 p )
95	90, 94	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0 p )
96	76	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
97	37	nnne0d 10000	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
98		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G = 0 p -> (deg ` G ) = (deg ` 0 p ) )
99	98, 92	syl6eq 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G = 0 p -> (deg ` G ) = 0 )
100	35, 99	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G = 0 p -> N = 0 )
101	100	necon3i 2606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N =/= 0 -> G =/= 0 p )
102	97, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G =/= 0 p )
103	102	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> G =/= 0 p )
104	103	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> G =/= 0 p )
105		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) )
106	105, 35	dgrmul 20141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) =/= 0 p ) /\ ( G e. (Poly ` CC ) /\ G =/= 0 p ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
107	83, 95, 96, 104, 106	syl22anc 1185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) = ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) )
108		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
109	108	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) + N ) = ( ( d x. N ) + N ) )
110	107, 109	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) = ( ( d x. N ) + N ) )
111	66, 110	eqtr4d 2439	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ( d + 1 ) x. N ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) o F x. G ) ) )
112	56, 111	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ d e. NN ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) )
113	112	ex 424	. . . . 5 |- ( ( ph /\ d e. NN ) -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) )
114	113	expcom 425	. . . 4 |- ( d e. NN -> ( ph -> ( (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
115	114	a2d 24	. . 3 |- ( d e. NN -> ( ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ d ) ) ) = ( d x. N ) ) -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ ( d + 1 ) ) ) ) = ( ( d + 1 ) x. N ) ) ) )
116	7, 13, 19, 25, 40, 115	nnind 9974	. 2 |- ( M e. NN -> ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) ) )
117	1, 116	mpcom 34	1 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   e. cmpt 4226   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ^cexp 11337   0 pc0p 19514  Polycply 20056  degcdgr 20059

This theorem is referenced by:  dgrcolem2  20145

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063