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Theorem dgrcolem1 20144
Description: The degree of a composition of a monomial with a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrcolem1.1  |-  N  =  (deg `  G )
dgrcolem1.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dgrcolem1.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dgrcolem1.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrcolem1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Distinct variable groups:    x, G    x, M    ph, x
Allowed substitution hints:    S( x)    N( x)

Proof of Theorem dgrcolem1
Dummy variables  w  d  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgrcolem1.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
1 ) )
32mpteq2dv 4256 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) ) )
43fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) ) )
5 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( y  =  1  ->  (
y  x.  N )  =  ( 1  x.  N ) )
64, 5eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( y  =  1  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ 1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) )
76imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  1  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) ) ) )
8 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( y  =  d  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
98mpteq2dv 4256 . . . . . 6  |-  ( y  =  d  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) ) )
109fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) ) )
11 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( y  =  d  ->  (
y  x.  N )  =  ( d  x.  N ) )
1210, 11eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( y  =  d  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) )
1312imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  d  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N ) ) ) )
14 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) )
1514mpteq2dv 4256 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) ) )
1615fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) ) )
17 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
y  x.  N )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) )
1816, 17eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) )
1918imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
20 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( y  =  M  ->  (
( G `  x
) ^ y )  =  ( ( G `
 x ) ^ M ) )
2120mpteq2dv 4256 . . . . . 6  |-  ( y  =  M  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ y ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ M ) ) )
2221fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) ) )
23 oveq1 6047 . . . . 5  |-  ( y  =  M  ->  (
y  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
2422, 23eqeq12d 2418 . . . 4  |-  ( y  =  M  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
y ) ) )  =  ( y  x.  N )  <->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
2524imbi2d 308 . . 3  |-  ( y  =  M  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ y
) ) )  =  ( y  x.  N
) )  <->  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) ) )
26 dgrcolem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
27 plyf 20070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : CC --> CC )
2928ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `
 x )  e.  CC )
3029exp1d 11473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( G `  x ) ^ 1 )  =  ( G `  x
) )
3130mpteq2dva 4255 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
3228feqmptd 5738 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `
 x ) ) )
3331, 32eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ 1 ) )  =  G )
3433fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  (deg `  G
) )
35 dgrcolem1.1 . . . . 5  |-  N  =  (deg `  G )
3634, 35syl6eqr 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  N )
37 dgrcolem1.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3837nncnd 9972 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3938mulid2d 9062 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  N
)  =  N )
4036, 39eqtr4d 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
1 ) ) )  =  ( 1  x.  N ) )
4129adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
42 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
4342adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e. 
NN0 )
4443adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  d  e.  NN0 )
4541, 44expp1d 11479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) )  =  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) )
4645mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d )  x.  ( G `  x
) ) ) )
47 cnex 9027 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
49 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G `  x ) ^ d )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( G `  x
) ^ d )  e.  _V )
51 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
5232adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( G `  x ) ) )
5348, 50, 41, 51, 52offval2 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( ( G `  x ) ^ d
)  x.  ( G `
 x ) ) ) )
5446, 53eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ ( d  +  1 ) ) )  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  o F  x.  G
) )
5554fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  (deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) ) )
57 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  CC )
5857adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  CC )
59 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
6138adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
6258, 60, 61adddird 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) ) )
6361mulid2d 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( 1  x.  N )  =  N )
6463oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6562, 64eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
6665adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
67 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y ^
d ) ) )
68 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  ->  (
y ^ d )  =  ( ( G `
 x ) ^
d ) )
6941, 52, 67, 68fmptco 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
70 ssid 3327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  CC  C_  CC
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  CC  C_  CC )
72 plypow 20077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  1  e.  CC  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
7371, 60, 43, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
74 plyssc 20072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
7526adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  S )
)
7674, 75sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
77 addcl 9028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  +  w
)  e.  CC )
7877adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  +  w )  e.  CC )
79 mulcl 9030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC )  ->  ( z  x.  w
)  e.  CC )
8079adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (
z  e.  CC  /\  w  e.  CC )
)  ->  ( z  x.  w )  e.  CC )
8173, 76, 78, 80plyco 20113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  |->  ( y ^ d ) )  o.  G )  e.  (Poly `  CC ) )
8269, 81eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
8382adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  e.  (Poly `  CC ) )
84 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )
85 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN )
8637adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
8785, 86nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  e.  NN )
8887nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  x.  N )  =/=  0 )
8988adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
d  x.  N )  =/=  0 )
9084, 89eqnetrd 2585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =/=  0 )
91 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0 p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  (deg
`  0 p ) )
92 dgr0 20133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
9391, 92syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =  0 p  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  =  0 )
9493necon3i 2606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0 p )
9590, 94syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  =/=  0 p )
9676adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
9737nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
98 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  =  0 p  -> 
(deg `  G )  =  (deg `  0 p
) )
9998, 92syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  =  0 p  -> 
(deg `  G )  =  0 )
10035, 99syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  =  0 p  ->  N  =  0 )
101100necon3i 2606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =/=  0  ->  G  =/=  0 p )
10297, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  =/=  0 p )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  G  =/=  0 p )
104103adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  G  =/=  0 p )
105 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )
106105, 35dgrmul 20141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  e.  (Poly `  CC )  /\  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  =/=  0 p )  /\  ( G  e.  (Poly `  CC )  /\  G  =/=  0 p ) )  -> 
(deg `  ( (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ d ) ) )  +  N
) )
10783, 95, 96, 104, 106syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N ) )
108 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
109108adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
(deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  +  N )  =  ( ( d  x.  N )  +  N
) )
110107, 109eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) )  o F  x.  G ) )  =  ( ( d  x.  N )  +  N ) )
11166, 110eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (
( d  +  1 )  x.  N )  =  (deg `  (
( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) )  o F  x.  G ) ) )
11256, 111eqtr4d 2439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN )  /\  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) )
113112ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN )  ->  ( (deg
`  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^
d ) ) )  =  ( d  x.  N )  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ (
d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N
) ) )
114113expcom 425 . . . 4  |-  ( d  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
)  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
115114a2d 24 . . 3  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `  x ) ^ d
) ) )  =  ( d  x.  N
) )  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ ( d  +  1 ) ) ) )  =  ( ( d  +  1 )  x.  N ) ) ) )
1167, 13, 19, 25, 40, 115nnind 9974 . 2  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (deg `  (
x  e.  CC  |->  ( ( G `  x
) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) ) )
1171, 116mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( x  e.  CC  |->  ( ( G `
 x ) ^ M ) ) )  =  ( M  x.  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    e. cmpt 4226    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ^cexp 11337   0 pc0p 19514  Polycply 20056  degcdgr 20059
This theorem is referenced by:  dgrcolem2  20145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063
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