Theorem dgrco 23229

Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrco	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Proof of Theorem dgrco

Dummy variables f x y d g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 23154	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2		dgrco.3	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3	1, 2	sseldi 3430	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
4		dgrco.1	. . . 4 |- M = (deg ` F )
5		dgrcl 23187	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
7	4, 6	syl5eqel 2533	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
8		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ 0 ) )
9	8	imbi1d 319	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
10	9	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
11	10	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
12		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ d ) )
13	12	imbi1d 319	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
14	13	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = d -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
15	14	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
16		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) )
17	16	imbi1d 319	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
18	17	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
19	18	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
20		breq2 4406	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ M ) )
21	20	imbi1d 319	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
22	21	ralbidv 2827	. . . . 5 |- ( x = M -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
23	22	imbi2d 318	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
24		dgrco.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` G )
25		dgrco.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
26		dgrcl 23187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
28	24, 27	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
29	28	nn0cnd 10927	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
30	29	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC )
31	30	mul02d 9831	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
32		simprr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) <_ 0 )
33		dgrcl 23187	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
34	33	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
35	34	nn0ge0d 10928	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ (deg ` f ) )
36	34	nn0red 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
37		0re 9643	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
38		letri3 9719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
39	36, 37, 38	sylancl 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
40	32, 35, 39	mpbir2and 933	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = 0 )
41	40	oveq1d 6305	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) )
42	31, 41, 40	3eqtr4d 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = (deg ` f ) )
43		fconstmpt 4878	. . . . . . . . 9 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) )
44		0dgrb 23200	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
45	44	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
46	40, 45	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) )
47	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
48		plyf 23152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC )
50	49	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49	feqmptd 5918	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) )
52		fconstmpt 4878	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) )
53	46, 52	syl6eq 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
54		eqidd 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
55	50, 51, 53, 54	fmptco 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
56	43, 46, 55	3eqtr4a 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) )
57	56	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
58	42, 57	eqtr2d 2486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
59	58	expr 620	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
60	59	ralrimiva 2802	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
61		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` f ) = (deg ` g ) )
62	61	breq1d 4412	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` g ) <_ d ) )
63		coeq1 4992	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) )
64	63	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( g o. G ) ) )
65	61	oveq1d 6305	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` g ) x. N ) )
66	64, 65	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
67	62, 66	imbi12d 322	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) )
68	67	cbvralv 3019	. . . . . . 7 |- ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
69	33	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
70	69	nn0red 10926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
71		nn0p1nn 10909	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
72	71	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
73	72	nnred 10624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR )
74	70, 73	leloed 9778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) )
75		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 )
76		nn0leltp1 10995	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
78		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` g ) = (deg ` f ) )
79	78	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` f ) <_ d ) )
80		coeq1 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) )
81	80	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
82	78	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
83	81, 82	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
84	79, 83	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
85	84	rspcva 3148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
86	85	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
87	77, 86	sylbird 239	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
88		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` f ) = (deg ` f )
89		simprll 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. (Poly ` CC ) )
90	1, 25	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
91	90	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
92		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` f ) = (coeff ` f )
93		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 )
94		simprr 766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` f ) = ( d + 1 ) )
95		simprlr 773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
96		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` g ) = (deg ` h ) )
97	96	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` h ) <_ d ) )
98		coeq1 4992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) )
99	98	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( h o. G ) ) )
100	96	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` h ) x. N ) )
101	99, 100	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
102	97, 101	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) ) )
103	102	cbvralv 3019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
104	95, 103	sylib 200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
105	88, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104	dgrcolem2 23228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
106	105	expr 620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) = ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
107	87, 106	jaod 382	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
108	74, 107	sylbid 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
109	108	expr 620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
110	109	ralrimdva 2806	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
111	68, 110	syl5bi 221	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
112	111	expcom 437	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
113	112	a2d 29	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
114	11, 15, 19, 23, 60, 113	nn0ind 11030	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
115	7, 114	mpcom 37	. 2 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
116	7	nn0red 10926	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
117	116	leidd 10180	. 2 |- ( ph -> M <_ M )
118		fveq2 5865	. . . . . 6 |- ( f = F -> (deg ` f ) = (deg ` F ) )
119	118, 4	syl6eqr 2503	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` f ) = M )
120	119	breq1d 4412	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) )
121		coeq1 4992	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) )
122	121	fveq2d 5869	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( F o. G ) ) )
123	119	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) )
124	122, 123	eqeq12d 2466	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) )
125	120, 124	imbi12d 322	. . 3 |- ( f = F -> ( ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
126	125	rspcv 3146	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
127	3, 115, 117, 126	syl3c 63	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {csn 3968   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869  Polycply 23138  coeffccoe 23140  degcdgr 23141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-0p 22628  df-ply 23142  df-coe 23144  df-dgr 23145

This theorem is referenced by:  taylply2  23323  ftalem7  24005