Theorem dgrco 22434

Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrco	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Proof of Theorem dgrco

Dummy variables f x y d g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 22360	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2		dgrco.3	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3	1, 2	sseldi 3502	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
4		dgrco.1	. . . 4 |- M = (deg ` F )
5		dgrcl 22393	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
7	4, 6	syl5eqel 2559	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
8		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ 0 ) )
9	8	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
10	9	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
11	10	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
12		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ d ) )
13	12	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
14	13	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = d -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
15	14	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
16		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) )
17	16	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
18	17	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
19	18	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
20		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ M ) )
21	20	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
22	21	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = M -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
23	22	imbi2d 316	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
24		dgrco.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` G )
25		dgrco.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
26		dgrcl 22393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
28	24, 27	syl5eqel 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
29	28	nn0cnd 10854	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC )
31	30	mul02d 9777	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
32		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) <_ 0 )
33		dgrcl 22393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
34	33	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
35	34	nn0ge0d 10855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ (deg ` f ) )
36	34	nn0red 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
37		0re 9596	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
38		letri3 9670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
39	36, 37, 38	sylancl 662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
40	32, 35, 39	mpbir2and 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = 0 )
41	40	oveq1d 6299	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) )
42	31, 41, 40	3eqtr4d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = (deg ` f ) )
43		fconstmpt 5043	. . . . . . . . 9 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) )
44		0dgrb 22406	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
45	44	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
46	40, 45	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) )
47	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
48		plyf 22358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC )
50	49	ffvelrnda 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49	feqmptd 5920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) )
52		fconstmpt 5043	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) )
53	46, 52	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
54		eqidd 2468	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
55	50, 51, 53, 54	fmptco 6054	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
56	43, 46, 55	3eqtr4a 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) )
57	56	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
58	42, 57	eqtr2d 2509	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
59	58	expr 615	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
60	59	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
61		fveq2 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` f ) = (deg ` g ) )
62	61	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` g ) <_ d ) )
63		coeq1 5160	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) )
64	63	fveq2d 5870	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( g o. G ) ) )
65	61	oveq1d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` g ) x. N ) )
66	64, 65	eqeq12d 2489	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
67	62, 66	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) )
68	67	cbvralv 3088	. . . . . . 7 |- ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
69	33	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
70	69	nn0red 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
71		nn0p1nn 10835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
72	71	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
73	72	nnred 10551	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR )
74	70, 73	leloed 9727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) )
75		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 )
76		nn0leltp1 10921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
78		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` g ) = (deg ` f ) )
79	78	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` f ) <_ d ) )
80		coeq1 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) )
81	80	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
82	78	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
83	81, 82	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
84	79, 83	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
85	84	rspcva 3212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
86	85	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
87	77, 86	sylbird 235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
88		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` f ) = (deg ` f )
89		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. (Poly ` CC ) )
90	1, 25	sseldi 3502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
91	90	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
92		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` f ) = (coeff ` f )
93		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 )
94		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` f ) = ( d + 1 ) )
95		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
96		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` g ) = (deg ` h ) )
97	96	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` h ) <_ d ) )
98		coeq1 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) )
99	98	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( h o. G ) ) )
100	96	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` h ) x. N ) )
101	99, 100	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
102	97, 101	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) ) )
103	102	cbvralv 3088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
104	95, 103	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
105	88, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104	dgrcolem2 22433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
106	105	expr 615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) = ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
107	87, 106	jaod 380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
108	74, 107	sylbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
109	108	expr 615	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
110	109	ralrimdva 2882	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
111	68, 110	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
112	111	expcom 435	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
113	112	a2d 26	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
114	11, 15, 19, 23, 60, 113	nn0ind 10957	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
115	7, 114	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
116	7	nn0red 10853	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
117	116	leidd 10119	. 2 |- ( ph -> M <_ M )
118		fveq2 5866	. . . . . 6 |- ( f = F -> (deg ` f ) = (deg ` F ) )
119	118, 4	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` f ) = M )
120	119	breq1d 4457	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) )
121		coeq1 5160	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) )
122	121	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( F o. G ) ) )
123	119	oveq1d 6299	. . . . 5 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) )
124	122, 123	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) )
125	120, 124	imbi12d 320	. . 3 |- ( f = F -> ( ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
126	125	rspcv 3210	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
127	3, 115, 117, 126	syl3c 61	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   o. ccom 5003   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795  Polycply 22344  coeffccoe 22346  degcdgr 22347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-0p 21840  df-ply 22348  df-coe 22350  df-dgr 22351

This theorem is referenced by:  taylply2  22525  ftalem7  23108