Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrco Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dgrco 23308
 Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1 deg
dgrco.2 deg
dgrco.3 Poly
dgrco.4 Poly
Assertion
Ref Expression
dgrco deg

Proof of Theorem dgrco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 23233 . . 3 Poly Poly
2 dgrco.3 . . 3 Poly
31, 2sseldi 3416 . 2 Poly
4 dgrco.1 . . . 4 deg
5 dgrcl 23266 . . . . 5 Poly deg
62, 5syl 17 . . . 4 deg
74, 6syl5eqel 2553 . . 3
8 breq2 4399 . . . . . . 7 deg deg
98imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
109ralbidv 2829 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1110imbi2d 323 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
12 breq2 4399 . . . . . . 7 deg deg
1312imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1413ralbidv 2829 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1514imbi2d 323 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
16 breq2 4399 . . . . . . 7 deg deg
1716imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1817ralbidv 2829 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
1918imbi2d 323 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
20 breq2 4399 . . . . . . 7 deg deg
2120imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
2221ralbidv 2829 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
2322imbi2d 323 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12 deg
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
26 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 deg
2824, 27syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11
2928nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10
3029adantr 472 . . . . . . . . 9 Poly deg
3130mul02d 9849 . . . . . . . 8 Poly deg
32 simprr 774 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
33 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
3433ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
3534nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
3634nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
37 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
38 letri3 9737 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg deg
3936, 37, 38sylancl 675 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg deg deg
4032, 35, 39mpbir2and 936 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
4140oveq1d 6323 . . . . . . . 8 Poly deg deg
4231, 41, 403eqtr4d 2515 . . . . . . 7 Poly deg deg deg
43 fconstmpt 4883 . . . . . . . . 9
44 0dgrb 23279 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
4544ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10 Poly deg deg
4640, 45mpbid 215 . . . . . . . . 9 Poly deg
4725adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly
48 plyf 23231 . . . . . . . . . . . 12 Poly
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
5049ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10 Poly deg
5149feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10 Poly deg
52 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11
5346, 52syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10 Poly deg
54 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10
5550, 51, 53, 54fmptco 6072 . . . . . . . . 9 Poly deg
5643, 46, 553eqtr4a 2531 . . . . . . . 8 Poly deg
5756fveq2d 5883 . . . . . . 7 Poly deg deg deg
5842, 57eqtr2d 2506 . . . . . 6 Poly deg deg deg
5958expr 626 . . . . 5 Poly deg deg deg
6059ralrimiva 2809 . . . 4 Polydeg deg deg
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 deg deg
6261breq1d 4405 . . . . . . . . 9 deg deg
63 coeq1 4997 . . . . . . . . . . 11
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10 deg deg
6561oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 deg deg
6664, 65eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9 deg deg deg deg
6762, 66imbi12d 327 . . . . . . . 8 deg deg deg deg deg deg
6867cbvralv 3005 . . . . . . 7 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
6933ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg
7069nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg
71 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . 13
7271ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg
7372nnred 10646 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg
7470, 73leloed 9795 . . . . . . . . . 10 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
75 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg
76 nn0leltp1 11019 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg deg
7769, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
7978breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg
80 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
8278oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
8381, 82eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg
8479, 83imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14 deg deg deg deg deg deg
8584rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
8777, 86sylbird 243 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 deg deg
89 simprll 780 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Poly
901, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly
9190ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Poly
92 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 coeff coeff
93 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg
94 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg deg
95 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly Polydeg deg deg deg Polydeg deg deg
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
9796breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg
98 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
10096oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
10199, 100eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg deg deg deg
10297, 101imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15 deg deg deg deg deg deg
103102cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . 14 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
10495, 103sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13 Poly Polydeg deg deg deg Polydeg deg deg
10588, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104dgrcolem2 23307 . . . . . . . . . . . 12 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
106105expr 626 . . . . . . . . . . 11 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
10787, 106jaod 387 . . . . . . . . . 10 Poly Polydeg deg deg deg deg deg deg
10874, 107sylbid 223 . . . . . . . . 9 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
109108expr 626 . . . . . . . 8 Poly Polydeg deg deg deg deg deg
110109ralrimdva 2812 . . . . . . 7 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
11168, 110syl5bi 225 . . . . . 6 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
112111expcom 442 . . . . 5 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
113112a2d 28 . . . 4 Polydeg deg deg Polydeg deg deg
11411, 15, 19, 23, 60, 113nn0ind 11053 . . 3 Polydeg deg deg
1157, 114mpcom 36 . 2 Polydeg deg deg
1167nn0red 10950 . . 3
117116leidd 10201 . 2
118 fveq2 5879 . . . . . 6 deg deg
119118, 4syl6eqr 2523 . . . . 5 deg
120119breq1d 4405 . . . 4 deg
121 coeq1 4997 . . . . . 6
122121fveq2d 5883 . . . . 5 deg deg
123119oveq1d 6323 . . . . 5 deg
124122, 123eqeq12d 2486 . . . 4 deg deg deg
125120, 124imbi12d 327 . . 3 deg deg deg deg
126125rspcv 3132 . 2 Poly Polydeg deg deg deg
1273, 115, 117, 126syl3c 62 1 deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cn0 10893  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224 This theorem is referenced by:  taylply2  23402  ftalem7  24084
 Copyright terms: Public domain W3C validator