Theorem dgrco 23308

Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrco	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Proof of Theorem dgrco

Dummy variables f x y d g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 23233	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2		dgrco.3	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3	1, 2	sseldi 3416	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
4		dgrco.1	. . . 4 |- M = (deg ` F )
5		dgrcl 23266	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
7	4, 6	syl5eqel 2553	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
8		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ 0 ) )
9	8	imbi1d 324	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
10	9	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
11	10	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
12		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ d ) )
13	12	imbi1d 324	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
14	13	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( x = d -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
15	14	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
16		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) )
17	16	imbi1d 324	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
18	17	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
19	18	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
20		breq2 4399	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ M ) )
21	20	imbi1d 324	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
22	21	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( x = M -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
23	22	imbi2d 323	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
24		dgrco.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` G )
25		dgrco.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
26		dgrcl 23266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
28	24, 27	syl5eqel 2553	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
29	28	nn0cnd 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
30	29	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC )
31	30	mul02d 9849	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
32		simprr 774	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) <_ 0 )
33		dgrcl 23266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
34	33	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
35	34	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ (deg ` f ) )
36	34	nn0red 10950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
37		0re 9661	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
38		letri3 9737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
39	36, 37, 38	sylancl 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
40	32, 35, 39	mpbir2and 936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = 0 )
41	40	oveq1d 6323	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) )
42	31, 41, 40	3eqtr4d 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = (deg ` f ) )
43		fconstmpt 4883	. . . . . . . . 9 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) )
44		0dgrb 23279	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
45	44	ad2antrl 742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
46	40, 45	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) )
47	25	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
48		plyf 23231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC )
50	49	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49	feqmptd 5932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) )
52		fconstmpt 4883	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) )
53	46, 52	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
54		eqidd 2472	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
55	50, 51, 53, 54	fmptco 6072	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
56	43, 46, 55	3eqtr4a 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) )
57	56	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
58	42, 57	eqtr2d 2506	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
59	58	expr 626	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
60	59	ralrimiva 2809	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
61		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` f ) = (deg ` g ) )
62	61	breq1d 4405	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` g ) <_ d ) )
63		coeq1 4997	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) )
64	63	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( g o. G ) ) )
65	61	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` g ) x. N ) )
66	64, 65	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
67	62, 66	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) )
68	67	cbvralv 3005	. . . . . . 7 |- ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
69	33	ad2antrl 742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
70	69	nn0red 10950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
71		nn0p1nn 10933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
72	71	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
73	72	nnred 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR )
74	70, 73	leloed 9795	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) )
75		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 )
76		nn0leltp1 11019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
78		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` g ) = (deg ` f ) )
79	78	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` f ) <_ d ) )
80		coeq1 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) )
81	80	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
82	78	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
83	81, 82	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
84	79, 83	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
85	84	rspcva 3134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
86	85	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
87	77, 86	sylbird 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
88		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` f ) = (deg ` f )
89		simprll 780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. (Poly ` CC ) )
90	1, 25	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
91	90	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
92		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` f ) = (coeff ` f )
93		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 )
94		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` f ) = ( d + 1 ) )
95		simprlr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
96		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` g ) = (deg ` h ) )
97	96	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` h ) <_ d ) )
98		coeq1 4997	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) )
99	98	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( h o. G ) ) )
100	96	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` h ) x. N ) )
101	99, 100	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
102	97, 101	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) ) )
103	102	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
104	95, 103	sylib 201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
105	88, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104	dgrcolem2 23307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
106	105	expr 626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) = ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
107	87, 106	jaod 387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
108	74, 107	sylbid 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
109	108	expr 626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
110	109	ralrimdva 2812	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
111	68, 110	syl5bi 225	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
112	111	expcom 442	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
113	112	a2d 28	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
114	11, 15, 19, 23, 60, 113	nn0ind 11053	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
115	7, 114	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
116	7	nn0red 10950	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
117	116	leidd 10201	. 2 |- ( ph -> M <_ M )
118		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( f = F -> (deg ` f ) = (deg ` F ) )
119	118, 4	syl6eqr 2523	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` f ) = M )
120	119	breq1d 4405	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) )
121		coeq1 4997	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) )
122	121	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( F o. G ) ) )
123	119	oveq1d 6323	. . . . 5 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) )
124	122, 123	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) )
125	120, 124	imbi12d 327	. . 3 |- ( f = F -> ( ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
126	125	rspcv 3132	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
127	3, 115, 117, 126	syl3c 62	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224

This theorem is referenced by:  taylply2  23402  ftalem7  24084