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Theorem dgrco 22838
Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrco  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )

Proof of Theorem dgrco
Dummy variables  f  x  y  d  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 22763 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
2 dgrco.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
31, 2sseldi 3487 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4 dgrco.1 . . . 4  |-  M  =  (deg `  F )
5 dgrcl 22796 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
62, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
74, 6syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8 breq2 4443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  0 ) )
98imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
109ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  0  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1110imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
12 breq2 4443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
1312imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1413ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1514imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  d  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
16 breq2 4443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  ( d  +  1 ) ) )
1716imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1817ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1918imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
( d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
20 breq2 4443 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  M ) )
2120imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  M  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2221ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2322imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  G )
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
26 dgrcl 22796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
2824, 27syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3029adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  N  e.  CC )
3130mul02d 9767 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( 0  x.  N
)  =  0 )
32 simprr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  <_  0 )
33 dgrcl 22796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  f
)  e.  NN0 )
3433ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
3534nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
0  <_  (deg `  f
) )
3634nn0red 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
37 0re 9585 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
38 letri3 9659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (deg `  f )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
(deg `  f )  =  0  <->  ( (deg `  f )  <_  0  /\  0  <_  (deg `  f ) ) ) )
3936, 37, 38sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  (
(deg `  f )  <_  0  /\  0  <_ 
(deg `  f )
) ) )
4032, 35, 39mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  0 )
4140oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  ( 0  x.  N ) )
4231, 41, 403eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  (deg `  f
) )
43 fconstmpt 5032 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
44 0dgrb 22809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  ( (deg `  f )  =  0  <-> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
4544ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  f  =  ( CC  X.  { ( f ` 
0 ) } ) ) )
4640, 45mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) )
4725adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  e.  (Poly `  S
) )
48 plyf 22761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G : CC --> CC )
5049ffvelrnda 6007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0
) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5149feqmptd 5901 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  =  ( y  e.  CC  |->  ( G `  y ) ) )
52 fconstmpt 5032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
5346, 52syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
54 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G `  y )  ->  (
f `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
5550, 51, 53, 54fmptco 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( f  o.  G
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
5643, 46, 553eqtr4a 2521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( f  o.  G ) )
5756fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  (deg `  ( f  o.  G ) ) )
5842, 57eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )
5958expr 613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
6059ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
61 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  g ) )
6261breq1d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  g )  <_  d ) )
63 coeq1 5149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  G )  =  ( g  o.  G ) )
6463fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( g  o.  G ) ) )
6561oveq1d 6285 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( (deg `  g )  x.  N ) )
6664, 65eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
6762, 66imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )
6867cbvralv 3081 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  g )  <_ 
d  ->  (deg `  (
g  o.  G ) )  =  ( (deg
`  g )  x.  N ) ) )
6933ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
7069nn0red 10849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
71 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e.  NN )
7271ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
7372nnred 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  RR )
7470, 73leloed 9717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  <->  ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) ) ) )
75 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
d  e.  NN0 )
76 nn0leltp1 10918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (deg `  f )  e.  NN0  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  f )  <  ( d  +  1 ) ) )
7769, 75, 76syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  <->  (deg `  f
)  <  ( d  +  1 ) ) )
78 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  f ) )
7978breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
80 coeq1 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  f  ->  (
g  o.  G )  =  ( f  o.  G ) )
8180fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( f  o.  G ) ) )
8278oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
8381, 82eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8479, 83imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
8584rspcva 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
8685adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8777, 86sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
88 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  f )  =  (deg
`  f )
89 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  f  e.  (Poly `  CC )
)
901, 25sseldi 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
9190ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
92 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  f )  =  (coeff `  f )
93 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
94 simprr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) )
95 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
96 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  h ) )
9796breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  h )  <_  d ) )
98 coeq1 5149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  o.  G )  =  ( h  o.  G ) )
9998fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( h  o.  G ) ) )
10096oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  h )  x.  N ) )
10199, 100eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10297, 101imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  h )  <_  d  ->  (deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) ) )
103102cbvralv 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  A. h  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  h )  <_ 
d  ->  (deg `  (
h  o.  G ) )  =  ( (deg
`  h )  x.  N ) ) )
10495, 103sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. h  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  h
)  <_  d  ->  (deg
`  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10588, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104dgrcolem2 22837 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
106105expr 613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
10787, 106jaod 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
10874, 107sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
109108expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  (Poly `  CC )
)  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
110109ralrimdva 2872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
11168, 110syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
112111expcom 433 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) ) )
113112a2d 26 . . . 4  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
11411, 15, 19, 23, 60, 113nn0ind 10955 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1157, 114mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
1167nn0red 10849 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
117116leidd 10115 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
118 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  F ) )
119118, 4syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  M )
120119breq1d 4449 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  <_  M  <->  M  <_  M ) )
121 coeq1 5149 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o.  G )  =  ( F  o.  G ) )
122121fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( F  o.  G ) ) )
123119oveq1d 6285 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
124122, 123eqeq12d 2476 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) ) )
125120, 124imbi12d 318 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
126125rspcv 3203 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
1273, 115, 117, 126syl3c 61 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   NN0cn0 10791  Polycply 22747  coeffccoe 22749  degcdgr 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-0p 22243  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
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