Theorem dgrco 20146

Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrco	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Proof of Theorem dgrco

Dummy variables f x y d g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 20072	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2		dgrco.3	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3	1, 2	sseldi 3306	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
4		dgrco.1	. . . 4 |- M = (deg ` F )
5		dgrcl 20105	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
7	4, 6	syl5eqel 2488	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
8		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ 0 ) )
9	8	imbi1d 309	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
10	9	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
11	10	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
12		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ d ) )
13	12	imbi1d 309	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
14	13	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = d -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
15	14	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
16		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) )
17	16	imbi1d 309	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
18	17	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
19	18	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
20		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ M ) )
21	20	imbi1d 309	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
22	21	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = M -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
23	22	imbi2d 308	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
24		dgrco.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` G )
25		dgrco.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
26		dgrcl 20105	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
28	24, 27	syl5eqel 2488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
29	28	nn0cnd 10232	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC )
31	30	mul02d 9220	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
32		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) <_ 0 )
33		dgrcl 20105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
34	33	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
35	34	nn0ge0d 10233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ (deg ` f ) )
36	34	nn0red 10231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
37		0re 9047	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
38		letri3 9116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
39	36, 37, 38	sylancl 644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
40	32, 35, 39	mpbir2and 889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = 0 )
41	40	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) )
42	31, 41, 40	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = (deg ` f ) )
43		fconstmpt 4880	. . . . . . . . 9 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) )
44		0dgrb 20118	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
45	44	ad2antrl 709	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
46	40, 45	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) )
47	25	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
48		plyf 20070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
49	47, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC )
50	49	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49	feqmptd 5738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) )
52		fconstmpt 4880	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) )
53	46, 52	syl6eq 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
54		eqidd 2405	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
55	50, 51, 53, 54	fmptco 5860	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
56	43, 46, 55	3eqtr4a 2462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) )
57	56	fveq2d 5691	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
58	42, 57	eqtr2d 2437	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
59	58	expr 599	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
60	59	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
61		fveq2 5687	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` f ) = (deg ` g ) )
62	61	breq1d 4182	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` g ) <_ d ) )
63		coeq1 4989	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) )
64	63	fveq2d 5691	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( g o. G ) ) )
65	61	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` g ) x. N ) )
66	64, 65	eqeq12d 2418	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
67	62, 66	imbi12d 312	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) )
68	67	cbvralv 2892	. . . . . . 7 |- ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
69	33	ad2antrl 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
70	69	nn0red 10231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
71		nn0p1nn 10215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
72	71	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
73	72	nnred 9971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR )
74	70, 73	leloed 9172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) )
75		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 )
76		nn0leltp1 10289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
78		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` g ) = (deg ` f ) )
79	78	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` f ) <_ d ) )
80		coeq1 4989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) )
81	80	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
82	78	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
83	81, 82	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
84	79, 83	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
85	84	rspcva 3010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
86	85	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
87	77, 86	sylbird 227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
88		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` f ) = (deg ` f )
89		simprll 739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. (Poly ` CC ) )
90	1, 25	sseldi 3306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
91	90	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
92		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` f ) = (coeff ` f )
93		simplr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 )
94		simprr 734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` f ) = ( d + 1 ) )
95		simprlr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
96		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` g ) = (deg ` h ) )
97	96	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` h ) <_ d ) )
98		coeq1 4989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) )
99	98	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( h o. G ) ) )
100	96	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` h ) x. N ) )
101	99, 100	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
102	97, 101	imbi12d 312	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) ) )
103	102	cbvralv 2892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
104	95, 103	sylib 189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
105	88, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104	dgrcolem2 20145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
106	105	expr 599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) = ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
107	87, 106	jaod 370	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
108	74, 107	sylbid 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
109	108	expr 599	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
110	109	ralrimdva 2756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
111	68, 110	syl5bi 209	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
112	111	expcom 425	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
113	112	a2d 24	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
114	11, 15, 19, 23, 60, 113	nn0ind 10322	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
115	7, 114	mpcom 34	. 2 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
116	7	nn0red 10231	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
117	116	leidd 9549	. 2 |- ( ph -> M <_ M )
118		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( f = F -> (deg ` f ) = (deg ` F ) )
119	118, 4	syl6eqr 2454	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` f ) = M )
120	119	breq1d 4182	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) )
121		coeq1 4989	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) )
122	121	fveq2d 5691	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( F o. G ) ) )
123	119	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) )
124	122, 123	eqeq12d 2418	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) )
125	120, 124	imbi12d 312	. . 3 |- ( f = F -> ( ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
126	125	rspcv 3008	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
127	3, 115, 117, 126	syl3c 59	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   X. cxp 4835   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   NNcn 9956   NN0cn0 10177  Polycply 20056  coeffccoe 20058  degcdgr 20059

This theorem is referenced by:  taylply2  20237  ftalem7  20814

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-0p 19515  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063