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Theorem dgrco 23308
Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dgrco.1  |-  M  =  (deg `  F )
dgrco.2  |-  N  =  (deg `  G )
dgrco.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
dgrco.4  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
Assertion
Ref Expression
dgrco  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )

Proof of Theorem dgrco
Dummy variables  f  x  y  d  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyssc 23233 . . 3  |-  (Poly `  S )  C_  (Poly `  CC )
2 dgrco.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
31, 2sseldi 3416 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  CC ) )
4 dgrco.1 . . . 4  |-  M  =  (deg `  F )
5 dgrcl 23266 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
62, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (deg `  F )  e.  NN0 )
74, 6syl5eqel 2553 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
8 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  0 ) )
98imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
109ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  0  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1110imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
12 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
1312imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1413ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1514imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  d  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
16 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  ( d  +  1 ) ) )
1716imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1817ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
1918imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
( d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
20 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (
(deg `  f )  <_  x  <->  (deg `  f )  <_  M ) )
2120imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  M  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2221ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  x  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) )  <->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
2322imbi2d 323 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  x  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )  <->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
24 dgrco.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  G )
25 dgrco.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  S ) )
26 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  G
)  e.  NN0 )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  (deg `  G )  e.  NN0 )
2824, 27syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3029adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  N  e.  CC )
3130mul02d 9849 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( 0  x.  N
)  =  0 )
32 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  <_  0 )
33 dgrcl 23266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  (deg `  f
)  e.  NN0 )
3433ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
3534nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
0  <_  (deg `  f
) )
3634nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
37 0re 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
38 letri3 9737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (deg `  f )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
(deg `  f )  =  0  <->  ( (deg `  f )  <_  0  /\  0  <_  (deg `  f ) ) ) )
3936, 37, 38sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  (
(deg `  f )  <_  0  /\  0  <_ 
(deg `  f )
) ) )
4032, 35, 39mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  0 )
4140oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  ( 0  x.  N ) )
4231, 41, 403eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  x.  N )  =  (deg `  f
) )
43 fconstmpt 4883 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
44 0dgrb 23279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  (Poly `  CC )  ->  ( (deg `  f )  =  0  <-> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) ) )
4544ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  0  <->  f  =  ( CC  X.  { ( f ` 
0 ) } ) ) )
4640, 45mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } ) )
4725adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  e.  (Poly `  S
) )
48 plyf 23231 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  (Poly `  S
)  ->  G : CC
--> CC )
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G : CC --> CC )
5049ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0
) )  /\  y  e.  CC )  ->  ( G `  y )  e.  CC )
5149feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  ->  G  =  ( y  e.  CC  |->  ( G `  y ) ) )
52 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { ( f `
 0 ) } )  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) )
5346, 52syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( x  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
54 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( G `  y )  ->  (
f `  0 )  =  ( f ` 
0 ) )
5550, 51, 53, 54fmptco 6072 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
( f  o.  G
)  =  ( y  e.  CC  |->  ( f `
 0 ) ) )
5643, 46, 553eqtr4a 2531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
f  =  ( f  o.  G ) )
5756fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  f )  =  (deg `  ( f  o.  G ) ) )
5842, 57eqtr2d 2506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  (deg `  f )  <_  0 ) )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )
5958expr 626 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  (Poly `  CC ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  0  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
6059ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
0  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
61 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  g ) )
6261breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  g )  <_  d ) )
63 coeq1 4997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f  o.  G )  =  ( g  o.  G ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( g  o.  G ) ) )
6561oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( (deg `  g )  x.  N ) )
6664, 65eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
6762, 66imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  (
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )
6867cbvralv 3005 . . . . . . 7  |-  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  g )  <_ 
d  ->  (deg `  (
g  o.  G ) )  =  ( (deg
`  g )  x.  N ) ) )
6933ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  NN0 )
7069nn0red 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
(deg `  f )  e.  RR )
71 nn0p1nn 10933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e.  NN )
7271ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  NN )
7372nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( d  +  1 )  e.  RR )
7470, 73leloed 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  <->  ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) ) ) )
75 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
d  e.  NN0 )
76 nn0leltp1 11019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (deg `  f )  e.  NN0  /\  d  e. 
NN0 )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  <->  (deg `  f )  <  ( d  +  1 ) ) )
7769, 75, 76syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  <->  (deg `  f
)  <  ( d  +  1 ) ) )
78 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  f ) )
7978breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  f )  <_  d ) )
80 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  f  ->  (
g  o.  G )  =  ( f  o.  G ) )
8180fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( f  o.  G ) ) )
8278oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
8381, 82eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  f  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8479, 83imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
8584rspcva 3134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  ->  (
(deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
8685adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
8777, 86sylbird 243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (deg `  f )  =  (deg
`  f )
89 simprll 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  f  e.  (Poly `  CC )
)
901, 25sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  (Poly `  CC ) )
9190ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  G  e.  (Poly `  CC )
)
92 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (coeff `  f )  =  (coeff `  f )
93 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
94 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) )
95 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  g )  =  (deg
`  h ) )
9796breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  <_  d  <->  (deg `  h )  <_  d ) )
98 coeq1 4997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  h  ->  (
g  o.  G )  =  ( h  o.  G ) )
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (deg `  ( g  o.  G
) )  =  (deg
`  ( h  o.  G ) ) )
10096oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  g )  x.  N )  =  ( (deg `  h )  x.  N ) )
10199, 100eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  h  ->  (
(deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10297, 101imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  (
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  ( (deg `  h )  <_  d  ->  (deg `  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) ) )
103102cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  <->  A. h  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  h )  <_ 
d  ->  (deg `  (
h  o.  G ) )  =  ( (deg
`  h )  x.  N ) ) )
10495, 103sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  A. h  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  h
)  <_  d  ->  (deg
`  ( h  o.  G ) )  =  ( (deg `  h
)  x.  N ) ) )
10588, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104dgrcolem2 23307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
( f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) )  /\  (deg `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  ( (deg `  f )  x.  N ) )
106105expr 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
10787, 106jaod 387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( ( (deg `  f )  <  (
d  +  1 )  \/  (deg `  f
)  =  ( d  +  1 ) )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
10874, 107sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  (Poly `  CC )  /\  A. g  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  g
)  <_  d  ->  (deg
`  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) ) ) )  -> 
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) )
109108expr 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  (Poly `  CC )
)  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
110109ralrimdva 2812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  g )  <_  d  ->  (deg `  ( g  o.  G ) )  =  ( (deg `  g
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
11168, 110syl5bi 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  d  ->  (deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) )
112111expcom 442 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  d  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  ( d  +  1 )  -> 
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) ) ) ) )
113112a2d 28 . . . 4  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( (
ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_ 
d  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg `  f )  <_  (
d  +  1 )  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) ) )
11411, 15, 19, 23, 60, 113nn0ind 11053 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) ) )
1157, 114mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (Poly `  CC ) ( (deg
`  f )  <_  M  ->  (deg `  (
f  o.  G ) )  =  ( (deg
`  f )  x.  N ) ) )
1167nn0red 10950 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
117116leidd 10201 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
118 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  (deg
`  F ) )
119118, 4syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  f )  =  M )
120119breq1d 4405 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  <_  M  <->  M  <_  M ) )
121 coeq1 4997 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f  o.  G )  =  ( F  o.  G ) )
122121fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (deg `  ( f  o.  G
) )  =  (deg
`  ( F  o.  G ) ) )
123119oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  f )  x.  N )  =  ( M  x.  N ) )
124122, 123eqeq12d 2486 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
(deg `  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N )  <-> 
(deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) ) )
125120, 124imbi12d 327 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  <->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
126125rspcv 3132 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  CC )  ->  ( A. f  e.  (Poly `  CC )
( (deg `  f
)  <_  M  ->  (deg
`  ( f  o.  G ) )  =  ( (deg `  f
)  x.  N ) )  ->  ( M  <_  M  ->  (deg `  ( F  o.  G )
)  =  ( M  x.  N ) ) ) )
1273, 115, 117, 126syl3c 62 1  |-  ( ph  ->  (deg `  ( F  o.  G ) )  =  ( M  x.  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   NN0cn0 10893  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224
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