MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Unicode version

Theorem dgrcl 22457
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
21dgrval 22452 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  =  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  ) )
3 nn0ssre 10800 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR
4 ltso 9666 . . . . 5  |-  <  Or  RR
5 soss 4818 . . . . 5  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN0
76a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  <  Or  NN0 )
8 0zd 10877 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  ZZ )
9 cnvimass 5357 . . . . 5  |-  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  dom  (coeff `  F )
101coef 22454 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
11 fdm 5735 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  (coeff `  F )  = 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  dom  (coeff `  F )  =  NN0 )
139, 12syl5sseq 3552 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( `' (coeff `  F ) "
( CC  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
141dgrlem 22453 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
1514simprd 463 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
16 nn0uz 11117 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1716uzsupss 11175 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  NN0  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
188, 13, 15, 17syl3anc 1228 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
197, 18supcl 7919 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
202, 19eqeltrd 2555 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   class class class wbr 4447    Or wor 4799   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588   supcsup 7901   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    < clt 9629    <_ cle 9630   NN0cn0 10796   ZZcz 10865  Polycply 22408  coeffccoe 22410  degcdgr 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-0p 21904  df-ply 22412  df-coe 22414  df-dgr 22415
This theorem is referenced by:  dgrub  22458  dgrub2  22459  dgrlb  22460  coeidlem  22461  plyco  22465  dgreq  22468  0dgr  22469  coefv0  22471  coeaddlem  22472  coemullem  22473  coemulhi  22477  dgreq0  22488  dgrlt  22489  dgradd2  22491  dgrmul  22493  dgrmulc  22494  dgrcolem2  22497  dgrco  22498  plycj  22500  coecj  22501  plymul0or  22503  dvply2g  22507  plydivlem3  22517  plydivlem4  22518  plydivex  22519  plydiveu  22520  plyrem  22527  fta1lem  22529  fta1  22530  quotcan  22531  vieta1lem1  22532  vieta1lem2  22533  elqaalem2  22542  elqaalem3  22543  aareccl  22548  aannenlem1  22550  aannenlem2  22551  aalioulem1  22554  aaliou2  22562  taylply2  22589  signsplypnf  28258  signsply0  28259  dgrnznn  30916  dgraa0p  30930  mpaaeu  30931
  Copyright terms: Public domain W3C validator