MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Unicode version

Theorem dgrcl 23055
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
21dgrval 23050 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  =  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  ) )
3 nn0ssre 10873 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR
4 ltso 9713 . . . . 5  |-  <  Or  RR
5 soss 4793 . . . . 5  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN0
76a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  <  Or  NN0 )
8 0zd 10949 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  ZZ )
9 cnvimass 5208 . . . . 5  |-  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  dom  (coeff `  F )
101coef 23052 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
11 fdm 5750 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  (coeff `  F )  = 
NN0 )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  dom  (coeff `  F )  =  NN0 )
139, 12syl5sseq 3518 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( `' (coeff `  F ) "
( CC  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
141dgrlem 23051 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
1514simprd 464 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
16 nn0uz 11193 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1716uzsupss 11256 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  NN0  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
188, 13, 15, 17syl3anc 1264 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
197, 18supcl 7978 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
202, 19eqeltrd 2517 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002   class class class wbr 4426    Or wor 4774   `'ccnv 4853   dom cdm 4854   "cima 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601   supcsup 7960   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674    <_ cle 9675   NN0cn0 10869   ZZcz 10937  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-coe 23012  df-dgr 23013
This theorem is referenced by:  dgrub  23056  dgrub2  23057  dgrlb  23058  coeidlem  23059  plyco  23063  dgreq  23066  0dgr  23067  dgrnznn  23069  coefv0  23070  coeaddlem  23071  coemullem  23072  coemulhi  23076  dgreq0  23087  dgrlt  23088  dgradd2  23090  dgrmul  23092  dgrmulc  23093  dgrcolem2  23096  dgrco  23097  plycj  23099  coecj  23100  plymul0or  23102  dvply2g  23106  plydivlem3  23116  plydivlem4  23117  plydivex  23118  plydiveu  23119  plyrem  23126  fta1lem  23128  fta1  23129  quotcan  23130  vieta1lem1  23131  vieta1lem2  23132  elqaalem2  23141  elqaalem3  23142  aareccl  23147  aannenlem1  23149  aannenlem2  23150  aalioulem1  23153  aaliou2  23161  taylply2  23188  signsplypnf  29227  signsply0  29228  dgraa0p  35714  mpaaeu  35715  elaa2lem  37665  etransclem46  37712  etransclem47  37713  etransclem48  37714
  Copyright terms: Public domain W3C validator