MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Unicode version

Theorem dgrcl 21723
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
21dgrval 21718 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  =  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  ) )
3 nn0ssre 10604 . . . . 5  |-  NN0  C_  RR
4 ltso 9476 . . . . 5  |-  <  Or  RR
5 soss 4680 . . . . 5  |-  ( NN0  C_  RR  ->  (  <  Or  RR  ->  <  Or  NN0 ) )
63, 4, 5mp2 9 . . . 4  |-  <  Or  NN0
76a1i 11 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  <  Or  NN0 )
8 0zd 10679 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  0  e.  ZZ )
9 cnvimass 5210 . . . . 5  |-  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  dom  (coeff `  F )
101coef 21720 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (coeff `  F
) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } ) )
11 fdm 5584 . . . . . 6  |-  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  ->  dom  (coeff `  F )  = 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  dom  (coeff `  F )  =  NN0 )
139, 12syl5sseq 3425 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( `' (coeff `  F ) "
( CC  \  {
0 } ) ) 
C_  NN0 )
141dgrlem 21719 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( (coeff `  F ) : NN0 --> ( S  u.  { 0 } )  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n ) )
1514simprd 463 . . . 4  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )
16 nn0uz 10916 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1716uzsupss 10968 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  C_  NN0  /\  E. n  e.  ZZ  A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  <_  n )  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
188, 13, 15, 17syl3anc 1218 . . 3  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  E. n  e.  NN0  ( A. x  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) )  -.  n  <  x  /\  A. x  e.  NN0  ( x  < 
n  ->  E. y  e.  ( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) x  < 
y ) ) )
197, 18supcl 7729 . 2  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  sup (
( `' (coeff `  F ) " ( CC  \  { 0 } ) ) ,  NN0 ,  <  )  e.  NN0 )
202, 19eqeltrd 2517 1  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  (deg `  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3346    u. cun 3347    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    Or wor 4661   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   "cima 4864   -->wf 5435   ` cfv 5439   supcsup 7711   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303    < clt 9439    <_ cle 9440   NN0cn0 10600   ZZcz 10667  Polycply 21674  coeffccoe 21676  degcdgr 21677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-0p 21170  df-ply 21678  df-coe 21680  df-dgr 21681
This theorem is referenced by:  dgrub  21724  dgrub2  21725  dgrlb  21726  coeidlem  21727  plyco  21731  dgreq  21734  0dgr  21735  coefv0  21737  coeaddlem  21738  coemullem  21739  coemulhi  21743  dgreq0  21754  dgrlt  21755  dgradd2  21757  dgrmul  21759  dgrmulc  21760  dgrcolem2  21763  dgrco  21764  plycj  21766  coecj  21767  plymul0or  21769  dvply2g  21773  plydivlem3  21783  plydivlem4  21784  plydivex  21785  plydiveu  21786  plyrem  21793  fta1lem  21795  fta1  21796  quotcan  21797  vieta1lem1  21798  vieta1lem2  21799  elqaalem2  21808  elqaalem3  21809  aareccl  21814  aannenlem1  21816  aannenlem2  21817  aalioulem1  21820  aaliou2  21828  taylply2  21855  signsplypnf  26973  signsply0  26974  dgrnznn  29518  dgraa0p  29532  mpaaeu  29533
  Copyright terms: Public domain W3C validator