Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgradd2 Structured version   Unicode version

 Description: The degree of a sum of polynomials of unequal degrees is the degree of the larger polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression

StepHypRef Expression
1 plyaddcl 22743 . . . . . 6 Poly Poly Poly
213adant3 1016 . . . . 5 Poly Poly Poly
3 dgrcl 22756 . . . . 5 Poly deg
42, 3syl 16 . . . 4 Poly Poly deg
54nn0red 10874 . . 3 Poly Poly deg
6 dgradd.2 . . . . . . 7 deg
7 dgrcl 22756 . . . . . . 7 Poly deg
86, 7syl5eqel 2549 . . . . . 6 Poly
983ad2ant2 1018 . . . . 5 Poly Poly
109nn0red 10874 . . . 4 Poly Poly
11 dgradd.1 . . . . . . 7 deg
12 dgrcl 22756 . . . . . . 7 Poly deg
1311, 12syl5eqel 2549 . . . . . 6 Poly
14133ad2ant1 1017 . . . . 5 Poly Poly
1514nn0red 10874 . . . 4 Poly Poly
1610, 15ifcld 3987 . . 3 Poly Poly
1711, 6dgradd 22790 . . . 4 Poly Poly deg
18173adant3 1016 . . 3 Poly Poly deg
1910leidd 10140 . . . 4 Poly Poly
20 simp3 998 . . . . 5 Poly Poly
2115, 10, 20ltled 9750 . . . 4 Poly Poly
22 breq1 4459 . . . . 5
23 breq1 4459 . . . . 5
2422, 23ifboth 3980 . . . 4
2519, 21, 24syl2anc 661 . . 3 Poly Poly
265, 16, 10, 18, 25letrd 9756 . 2 Poly Poly deg
27 eqid 2457 . . . . . . . 8 coeff coeff
28 eqid 2457 . . . . . . . 8 coeff coeff
2927, 28coeadd 22774 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff coeff
30293adant3 1016 . . . . . 6 Poly Poly coeff coeff coeff
3130fveq1d 5874 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
3227coef3 22755 . . . . . . . . 9 Poly coeff
33323ad2ant1 1017 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
34 ffn 5737 . . . . . . . 8 coeff coeff
3533, 34syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
3628coef3 22755 . . . . . . . . 9 Poly coeff
37363ad2ant2 1018 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
38 ffn 5737 . . . . . . . 8 coeff coeff
3937, 38syl 16 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
40 nn0ex 10822 . . . . . . . 8
4140a1i 11 . . . . . . 7 Poly Poly
42 inidm 3703 . . . . . . 7
4315, 10ltnled 9749 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
4420, 43mpbid 210 . . . . . . . . 9 Poly Poly
45 simp1 996 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly Poly
4627, 11dgrub 22757 . . . . . . . . . . . 12 Poly coeff
47463expia 1198 . . . . . . . . . . 11 Poly coeff
4845, 9, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 Poly Poly coeff
4948necon1bd 2675 . . . . . . . . 9 Poly Poly coeff
5044, 49mpd 15 . . . . . . . 8 Poly Poly coeff
5150adantr 465 . . . . . . 7 Poly Poly coeff
52 eqidd 2458 . . . . . . 7 Poly Poly coeff coeff
5335, 39, 41, 41, 42, 51, 52ofval 6548 . . . . . 6 Poly Poly coeff coeff coeff
549, 53mpdan 668 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff coeff
5537, 9ffvelrnd 6033 . . . . . 6 Poly Poly coeff
5655addid2d 9798 . . . . 5 Poly Poly coeff coeff
5731, 54, 563eqtrd 2502 . . . 4 Poly Poly coeff coeff
58 simp2 997 . . . . 5 Poly Poly Poly
59 0red 9614 . . . . . . 7 Poly Poly
6014nn0ge0d 10876 . . . . . . 7 Poly Poly
6159, 15, 10, 60, 20lelttrd 9757 . . . . . 6 Poly Poly
6261gt0ne0d 10138 . . . . 5 Poly Poly
636, 28dgreq0 22788 . . . . . . 7 Poly coeff
64 fveq2 5872 . . . . . . . 8 deg deg
65 dgr0 22785 . . . . . . . . 9 deg
6665eqcomi 2470 . . . . . . . 8 deg
6764, 6, 663eqtr4g 2523 . . . . . . 7
6863, 67syl6bir 229 . . . . . 6 Poly coeff
6968necon3d 2681 . . . . 5 Poly coeff
7058, 62, 69sylc 60 . . . 4 Poly Poly coeff
7157, 70eqnetrd 2750 . . 3 Poly Poly coeff
72 eqid 2457 . . . 4 coeff coeff
73 eqid 2457 . . . 4 deg deg
7472, 73dgrub 22757 . . 3 Poly coeff deg
752, 9, 71, 74syl3anc 1228 . 2 Poly Poly deg
765, 10letri3d 9744 . 2 Poly Poly deg deg deg
7726, 75, 76mpbir2and 922 1 Poly Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109  cif 3944   class class class wbr 4456   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cof 6537  cc 9507  cr 9508  cc0 9509   caddc 9512   clt 9645   cle 9646  cn0 10816  c0p 22202  Polycply 22707  coeffccoe 22709  degcdgr 22710 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-0p 22203  df-ply 22711  df-coe 22713  df-dgr 22714 This theorem is referenced by:  dgrcolem2  22797  plyremlem  22826
 Copyright terms: Public domain W3C validator