Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraalem Structured version   Unicode version

Theorem dgraalem 31023
 Description: Properties of the degree of an algebraic number. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraalem degAA Poly deg degAA
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem dgraalem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dgraaval 31022 . . 3 degAA Poly deg
2 ssrab2 3590 . . . . 5 Poly deg
3 nnuz 11129 . . . . 5
42, 3sseqtri 3541 . . . 4 Poly deg
5 eldifsn 4158 . . . . . . . . . . . 12 Poly Poly
65biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 Poly Poly
76ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 Poly Poly
8 simpr 461 . . . . . . . . . 10 Poly
9 simplr 754 . . . . . . . . . 10 Poly
10 dgrnznn 31013 . . . . . . . . . 10 Poly deg
117, 8, 9, 10syl12anc 1226 . . . . . . . . 9 Poly deg
12 simpll 753 . . . . . . . . 9 Poly Poly
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 deg deg
149, 13jctil 537 . . . . . . . . 9 Poly deg deg
15 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg deg
1615anbi1d 704 . . . . . . . . . 10 deg deg deg deg
17 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 deg deg
1817eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11 deg deg deg deg
19 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12
2019eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11
2118, 20anbi12d 710 . . . . . . . . . 10 deg deg deg deg
2216, 21rspc2ev 3230 . . . . . . . . 9 deg Poly deg deg Poly deg
2311, 12, 14, 22syl3anc 1228 . . . . . . . 8 Poly Poly deg
2423ex 434 . . . . . . 7 Poly Poly deg
2524rexlimiva 2955 . . . . . 6 Poly Poly deg
2625impcom 430 . . . . 5 Poly Poly deg
27 elqaa 22585 . . . . 5 Poly
28 rabn0 3810 . . . . 5 Poly deg Poly deg
2926, 27, 283imtr4i 266 . . . 4 Poly deg
30 infmssuzcl 11177 . . . 4 Poly deg Poly deg Poly deg Poly deg
314, 29, 30sylancr 663 . . 3 Poly deg Poly deg
321, 31eqeltrd 2555 . 2 degAA Poly deg
33 eqeq2 2482 . . . . 5 degAA deg deg degAA
3433anbi1d 704 . . . 4 degAA deg deg degAA
3534rexbidv 2978 . . 3 degAA Poly deg Poly deg degAA
3635elrab 3266 . 2 degAA Poly deg degAA Poly deg degAA
3732, 36sylib 196 1 degAA Poly deg degAA
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wrex 2818  crab 2821   cdif 3478   wss 3481  c0 3790  csn 4033  ccnv 5004  cfv 5594  csup 7912  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   clt 9640  cn 10548  cuz 11094  cq 11194  c0p 21944  Polycply 22449  degcdgr 22452  caa 22577  degAAcdgraa 31018 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-0p 21945  df-ply 22453  df-coe 22455  df-dgr 22456  df-aa 22578  df-dgraa 31020 This theorem is referenced by:  dgraacl  31024  mpaaeu  31028
 Copyright terms: Public domain W3C validator