Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraaf Structured version   Unicode version

Theorem dgraaf 35711
Description: Degree function on algebraic numbers is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraaf  |- degAA : AA --> NN

Proof of Theorem dgraaf
Dummy variables  p  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gtso 9714 . . . 4  |-  `'  <  Or  RR
21supex 7983 . . 3  |-  sup ( { b  e.  NN  |  E. p  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0p }
) ( (deg `  p )  =  b  /\  ( p `  a )  =  0 ) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
_V
3 df-dgraa 35706 . . 3  |- degAA  =  (
a  e.  AA  |->  sup ( { b  e.  NN  |  E. p  e.  ( (Poly `  QQ )  \  { 0p } ) ( (deg
`  p )  =  b  /\  ( p `
 a )  =  0 ) } ,  RR ,  `'  <  ) )
42, 3fnmpti 5724 . 2  |- degAA  Fn  AA
5 dgraacl 35710 . . 3  |-  ( a  e.  AA  ->  (degAA `  a )  e.  NN )
65rgen 2792 . 2  |-  A. a  e.  AA  (degAA `  a )  e.  NN
7 ffnfv 6064 . 2  |-  (degAA : AA --> NN 
<->  (degAA  Fn  AA  /\  A. a  e.  AA  (degAA `  a )  e.  NN ) )
84, 6, 7mpbir2an 928 1  |- degAA : AA --> NN
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    \ cdif 3439   {csn 4002   `'ccnv 4853    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674   NNcn 10609   QQcq 11264   0pc0p 22504  Polycply 23006  degcdgr 23009   AAcaa 23135  degAAcdgraa 35704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-coe 23012  df-dgr 23013  df-aa 23136  df-dgraa 35706
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator