Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraa0p Structured version   Unicode version

Theorem dgraa0p 31018
 Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraa0p Poly deg degAA

Proof of Theorem dgraa0p
StepHypRef Expression
1 simpl3 1001 . . . . . 6 Poly deg degAA deg degAA
2 simpl2 1000 . . . . . . . . 9 Poly deg degAA Poly
3 dgrcl 22498 . . . . . . . . 9 Poly deg
42, 3syl 16 . . . . . . . 8 Poly deg degAA deg
54nn0red 10865 . . . . . . 7 Poly deg degAA deg
6 simpl1 999 . . . . . . . . 9 Poly deg degAA
7 dgraacl 31015 . . . . . . . . 9 degAA
86, 7syl 16 . . . . . . . 8 Poly deg degAA degAA
98nnred 10563 . . . . . . 7 Poly deg degAA degAA
105, 9ltnled 9743 . . . . . 6 Poly deg degAA deg degAA degAA deg
111, 10mpbid 210 . . . . 5 Poly deg degAA degAA deg
12 simpl2 1000 . . . . . . 7 Poly deg degAA Poly
13 simprl 755 . . . . . . 7 Poly deg degAA
14 simpl1 999 . . . . . . . 8 Poly deg degAA
15 aacn 22580 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7 Poly deg degAA
17 simprr 756 . . . . . . 7 Poly deg degAA
18 dgraaub 31017 . . . . . . 7 Poly degAA deg
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 1229 . . . . . 6 Poly deg degAA degAA deg
2019expr 615 . . . . 5 Poly deg degAA degAA deg
2111, 20mtod 177 . . . 4 Poly deg degAA
2221ex 434 . . 3 Poly deg degAA
2322necon4ad 2687 . 2 Poly deg degAA
24 0pval 21946 . . . . 5
2515, 24syl 16 . . . 4
26 fveq1 5871 . . . . 5
2726eqeq1d 2469 . . . 4
2825, 27syl5ibrcom 222 . . 3
29283ad2ant1 1017 . 2 Poly deg degAA
3023, 29impbid 191 1 Poly deg degAA
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   class class class wbr 4453  cfv 5594  cc 9502  cc0 9504   clt 9640   cle 9641  cn 10548  cn0 10807  cq 11194  c0p 21944  Polycply 22449  degcdgr 22452  caa 22577  degAAcdgraa 31009 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-0p 21945  df-ply 22453  df-coe 22455  df-dgr 22456  df-aa 22578  df-dgraa 31011 This theorem is referenced by:  mpaaeu  31019
 Copyright terms: Public domain W3C validator