MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfwe2 Structured version   Unicode version

Theorem dfwe2 6616
Description: Alternate definition of well-ordering. Definition 6.24(2) of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
dfwe2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, A, y

Proof of Theorem dfwe2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-we 4849 . 2  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  R  Or  A ) )
2 df-so 4810 . . . 4  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
3 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
4 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x R z  ->  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) )
54a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x R z  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
6 fr2nr 4866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
763adantr3 1157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R x ) )
8 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
98anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  (
( x R y  /\  y R x )  <->  ( x R y  /\  y R z ) ) )
109notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  ( x R y  /\  y R x )  <->  -.  ( x R y  /\  y R z ) ) )
117, 10syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x  =  z  ->  -.  ( x R y  /\  y R z ) ) )
12 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( x R y  /\  y R z )  ->  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
x  =  z  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
14 fr3nr 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
15 df-3an 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x R y  /\  y R z  /\  z R x )  <->  ( (
x R y  /\  y R z )  /\  z R x ) )
1615biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x R y  /\  y R z )  /\  z R x )  ->  (
x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
1716ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) )  ->  (
x R y  /\  y R z  /\  z R x ) )
1814, 17nsyl 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  ( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) ) )
1918pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( z R x  /\  ( x R y  /\  y R z ) )  ->  x R z ) )
2019expd 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
z R x  -> 
( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
215, 13, 203jaod 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( (
x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) )
22 frirr 4865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Fr  A  /\  x  e.  A )  ->  -.  x R x )
23223ad2antr1 1161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  -.  x R x )
2421, 23jctild 543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Fr  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
2524ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) ) )
2625a2d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) ) )
2726alimdv 1710 . . . . . . . . 9  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) ) )
28272alimdv 1712 . . . . . . . 8  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) ) )
29 r3al 2837 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  (
x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) ) )
30 r3al 2837 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( -.  x R x  /\  ( ( x R y  /\  y R z )  ->  x R z ) ) ) )
3128, 29, 303imtr4g 270 . . . . . . 7  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) ) )
32 ralidm 3936 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
33 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
x R y  <->  x R
z ) )
34 equequ2 1800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
x  =  y  <->  x  =  z ) )
35 breq1 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
y R x  <->  z R x ) )
3633, 34, 353orbi123d 1298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) ) )
3736cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
3837ralbii 2888 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
3932, 38bitr3i 251 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
4039ralbii 2888 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( x R z  \/  x  =  z  \/  z R x ) )
41 df-po 4809 . . . . . . 7  |-  ( R  Po  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  A. z  e.  A  ( -.  x R x  /\  (
( x R y  /\  y R z )  ->  x R
z ) ) )
4231, 40, 413imtr4g 270 . . . . . 6  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  ->  R  Po  A ) )
4342ancrd 554 . . . . 5  |-  ( R  Fr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  ->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) ) )
443, 43impbid2 204 . . . 4  |-  ( R  Fr  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
452, 44syl5bb 257 . . 3  |-  ( R  Fr  A  ->  ( R  Or  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
4645pm5.32i 637 . 2  |-  ( ( R  Fr  A  /\  R  Or  A )  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
471, 46bitri 249 1  |-  ( R  We  A  <->  ( R  Fr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973   A.wal 1393    e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456    Po wpo 4807    Or wor 4808    Fr wfr 4844    We wwe 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849
This theorem is referenced by:  ordon  6617  f1oweALT  6783  dford2  8054  fpwwe2lem12  9036  fpwwe2lem13  9037  dfon2  29398  fnwe2  31161
  Copyright terms: Public domain W3C validator