Theorem dfwe2 6496

Description: Alternate definition of well-ordering. Definition 6.24(2) of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfwe2	|- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, A, y

Proof of Theorem dfwe2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-we 4782	. 2 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
2		df-so 4743	. . . 4 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
3		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
4		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
6		fr2nr 4799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
7	6	3adantr3 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
8		breq2 4397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( y R x <-> y R z ) )
9	8	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R y /\ y R z ) ) )
10	9	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( -. ( x R y /\ y R x ) <-> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
11	7, 10	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
12		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( x R y /\ y R z ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14		fr3nr 6494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
15		df-3an 967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x R y /\ y R z /\ z R x ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) )
16	15	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
17	16	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
18	14, 17	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) )
19	18	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> x R z ) )
20	19	expd 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( z R x -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
21	5, 13, 20	3jaod 1283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
22		frirr 4798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
23	22	3ad2antr1 1153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. x R x )
24	21, 23	jctild 543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
25	24	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( R Fr A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
26	25	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( R Fr A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
27	26	alimdv 1676	. . . . . . . . 9 |- ( R Fr A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
28	27	2alimdv 1678	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
29		r3al 2885	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
30		r3al 2885	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
31	28, 29, 30	3imtr4g 270	. . . . . . 7 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
32		ralidm 3884	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
33		breq2 4397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x R y <-> x R z ) )
34		equequ2 1739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x = y <-> x = z ) )
35		breq1 4396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y R x <-> z R x ) )
36	33, 34, 35	3orbi123d 1289	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
37	36	cbvralv 3046	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
38	37	ralbii 2834	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
39	32, 38	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
40	39	ralbii 2834	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
41		df-po 4742	. . . . . . 7 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
42	31, 40, 41	3imtr4g 270	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> R Po A ) )
43	42	ancrd 554	. . . . 5 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) ) )
44	3, 43	impbid2 204	. . . 4 |- ( R Fr A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
45	2, 44	syl5bb 257	. . 3 |- ( R Fr A -> ( R Or A <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
46	45	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Or A ) <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
47	1, 46	bitri 249	1 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 964   /\ w3a 965   A.wal 1368   e. wcel 1758   A.wral 2795   class class class wbr 4393   Po wpo 4740   Or wor 4741   Fr wfr 4777   We wwe 4779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632  ax-un 6475

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782

This theorem is referenced by:  ordon  6497  f1oweALT  6664  dford2  7930  fpwwe2lem12  8912  fpwwe2lem13  8913  dfon2  27742  fnwe2  29547