Theorem dfwe2 6616

Description: Alternate definition of well-ordering. Definition 6.24(2) of [TakeutiZaring] p. 30. (Contributed by NM, 16-Mar-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dfwe2	|- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, A, y

Proof of Theorem dfwe2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-we 4849	. 2 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ R Or A ) )
2		df-so 4810	. . . 4 |- ( R Or A <-> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
3		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) -> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
4		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x R z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
6		fr2nr 4866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
7	6	3adantr3 1157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R x ) )
8		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( y R x <-> y R z ) )
9	8	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R y /\ y R z ) ) )
10	9	notbid 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( -. ( x R y /\ y R x ) <-> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
11	7, 10	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> -. ( x R y /\ y R z ) ) )
12		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( x R y /\ y R z ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) )
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( x = z -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
14		fr3nr 6614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
15		df-3an 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x R y /\ y R z /\ z R x ) <-> ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) )
16	15	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x R y /\ y R z ) /\ z R x ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
17	16	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> ( x R y /\ y R z /\ z R x ) )
18	14, 17	nsyl 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) )
19	18	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( z R x /\ ( x R y /\ y R z ) ) -> x R z ) )
20	19	expd 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( z R x -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
21	5, 13, 20	3jaod 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
22		frirr 4865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R Fr A /\ x e. A ) -> -. x R x )
23	22	3ad2antr1 1161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> -. x R x )
24	21, 23	jctild 543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R Fr A /\ ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
25	24	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( R Fr A -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
26	25	a2d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( R Fr A -> ( ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
27	26	alimdv 1710	. . . . . . . . 9 |- ( R Fr A -> ( A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
28	27	2alimdv 1712	. . . . . . . 8 |- ( R Fr A -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) -> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) ) )
29		r3al 2837	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
30		r3al 2837	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. A /\ z e. A ) -> ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
31	28, 29, 30	3imtr4g 270	. . . . . . 7 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) -> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) )
32		ralidm 3936	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) )
33		breq2 4460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x R y <-> x R z ) )
34		equequ2 1800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( x = y <-> x = z ) )
35		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( y R x <-> z R x ) )
36	33, 34, 35	3orbi123d 1298	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> ( x R z \/ x = z \/ z R x ) ) )
37	36	cbvralv 3084	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
38	37	ralbii 2888	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
39	32, 38	bitr3i 251	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
40	39	ralbii 2888	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( x R z \/ x = z \/ z R x ) )
41		df-po 4809	. . . . . . 7 |- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) )
42	31, 40, 41	3imtr4g 270	. . . . . 6 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> R Po A ) )
43	42	ancrd 554	. . . . 5 |- ( R Fr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) -> ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) ) )
44	3, 43	impbid2 204	. . . 4 |- ( R Fr A -> ( ( R Po A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
45	2, 44	syl5bb 257	. . 3 |- ( R Fr A -> ( R Or A <-> A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
46	45	pm5.32i 637	. 2 |- ( ( R Fr A /\ R Or A ) <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )
47	1, 46	bitri 249	1 |- ( R We A <-> ( R Fr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y \/ x = y \/ y R x ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   A.wal 1393   e. wcel 1819   A.wral 2807   class class class wbr 4456   Po wpo 4807   Or wor 4808   Fr wfr 4844   We wwe 4846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849

This theorem is referenced by:  ordon  6617  f1oweALT  6783  dford2  8054  fpwwe2lem12  9036  fpwwe2lem13  9037  dfon2  29398  fnwe2  31161