Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dftrpred3g 30474
Description: The transitive predecessors of  X are equal to the predecessors of  X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3574 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
2 predel 5397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  z  e.  A )
3 setlikespec 5401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
4 trpredpred 30469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  z ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
65expcom 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
76adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
z ) ) )
82, 7syl5 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
98ancld 556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) ) )
10 trpredeq3 30463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  =  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
1110sseq2d 3460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
1211rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) )
13 ssiun 4320 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
159, 14syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
16 eliun 4283 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  <->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
17 predel 5397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  A )
18 setlikespec 5401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
1918ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R Se  A  /\  y  e.  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2019adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )
21 trpredss 30470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2322sseld 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  A ) )
243expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2524ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2623, 25syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2726imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
29 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
30 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  R Se  A
)
31 trpredelss 30473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  -> 
TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) ) )
3332imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3428, 33sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3534exp31 609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  TrPred ( R ,  A , 
y )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3617, 35syl5 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3736reximdvai 2859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3837, 13syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3916, 38syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
4015, 39jaod 382 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
41 ssun4 3600 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4240, 41syl6 34 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
431, 42syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
4443ralrimiv 2800 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
45 ssun1 3597 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
4644, 45jctir 541 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
47 trpredmintr 30472 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4846, 47mpdan 674 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
49 setlikespec 5401 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
50 trpredpred 30469 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5149, 50syl 17 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5251sseld 3431 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )
) )
53 trpredelss 30473 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5452, 53syld 45 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5554ralrimiv 2800 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
56 iunss 4319 . . . 4  |-  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5755, 56sylibr 216 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5851, 57unssd 3610 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5948, 58eqssd 3449 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   U_ciun 4278   Se wse 4791   Predcpred 5379   TrPredctrpred 30458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-trpred 30459
This theorem is referenced by:  dftrpred4g  30475
  Copyright terms: Public domain W3C validator