Theorem dftrpred3g 30060

Description: The transitive predecessors of X are equal to the predecessors of X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3586	. . . . . 6 |- ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
2		predel 5386	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Pred ( R , A , X ) -> z e. A )
3		setlikespec 5390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
4		trpredpred 30055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Pred ( R , A , z ) e. _V -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
6	5	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
8	2, 7	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
9	8	ancld 553	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) ) )
10		trpredeq3 30049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> TrPred ( R , A , y ) = TrPred ( R , A , z ) )
11	10	sseq2d 3472	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) <-> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
12	11	rspcev 3162	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
13		ssiun 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
15	9, 14	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
16		eliun 4278	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) <-> E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) )
17		predel 5386	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. A )
18		setlikespec 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Se A /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
20	19	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
21		trpredss 30056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Pred ( R , A , y ) e. _V -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
23	22	sseld 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> z e. A ) )
24	3	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
26	23, 25	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
30		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> R Se A )
31		trpredelss 30059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
33	32	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
34	28, 33	sstrd 3454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. A -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
36	17, 35	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
37	36	reximdvai 2878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
38	37, 13	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
39	16, 38	syl5bi 219	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
40	15, 39	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
41		ssun4 3611	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
42	40, 41	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
43	1, 42	syl5bi 219	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
44	43	ralrimiv 2818	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
45		ssun1 3608	. . . 4 |- Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
46	44, 45	jctir 538	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
47		trpredmintr 30058	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
48	46, 47	mpdan 668	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
49		setlikespec 5390	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
50		trpredpred 30055	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	49, 50	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
52	51	sseld 3443	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. TrPred ( R , A , X ) ) )
53		trpredelss 30059	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. TrPred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
54	52, 53	syld 44	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
55	54	ralrimiv 2818	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
56		iunss 4314	. . . 4 |- ( U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) <-> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
57	55, 56	sylibr 214	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
58	51, 57	unssd 3621	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
59	48, 58	eqssd 3461	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1407   e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   u. cun 3414   C_ wss 3416   U_ciun 4273   Se wse 4782   Predcpred 5368   TrPredctrpred 30044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-trpred 30045

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  30061