Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dftrpred3g Structured version   Unicode version

Theorem dftrpred3g 30060
Description: The transitive predecessors of  X are equal to the predecessors of  X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftrpred3g  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Distinct variable groups:    y, A    y, R    y, X

Proof of Theorem dftrpred3g
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3586 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  <->  ( z  e. 
Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
2 predel 5386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  z  e.  A )
3 setlikespec 5390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V )
4 trpredpred 30055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  e. 
_V  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  z ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
65expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
76adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
z ) ) )
82, 7syl5 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
98ancld 553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) ) )
10 trpredeq3 30049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  =  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
1110sseq2d 3472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y )  <->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) ) )
1211rspcev 3162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) )
13 ssiun 4315 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  /\  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
159, 14syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
16 eliun 4278 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  <->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X )
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
17 predel 5386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  A )
18 setlikespec 5390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R Se  A  /\  y  e.  A )  ->  Pred ( R ,  A , 
y )  e.  _V )
2019adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  Pred ( R ,  A ,  y )  e.  _V )
21 trpredss 30056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Pred ( R ,  A ,  y )  e. 
_V  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  A )
2322sseld 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  z  e.  A ) )
243expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R Se  A  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2524ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  A  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  e.  _V ) )
2623, 25syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  e.  _V )
2827, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  z ) )
29 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  y  e.  A )
30 simplr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  R Se  A
)
31 trpredelss 30059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  -> 
TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A , 
y ) ) )
3332imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3428, 33sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A
)  /\  y  e.  A )  /\  z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) )
3534exp31 604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  A  -> 
( z  e.  TrPred ( R ,  A , 
y )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3617, 35syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  (
z  e.  TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
3736reximdvai 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) Pred ( R ,  A , 
z )  C_  TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3837, 13syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( E. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) z  e. 
TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
3916, 38syl5bi 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
4015, 39jaod 380 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
41 ssun4 3611 . . . . . . 7  |-  ( Pred ( R ,  A ,  z )  C_  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4240, 41syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
( z  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  \/  z  e.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  ->  Pred ( R ,  A , 
z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
431, 42syl5bi 219 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  ->  Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) ) )
4443ralrimiv 2818 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) )
45 ssun1 3608 . . . 4  |-  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)
4644, 45jctir 538 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )
47 trpredmintr 30058 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  /\  ( A. z  e.  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )
Pred ( R ,  A ,  z )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) )  /\  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X
)  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y ) ) ) )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
4846, 47mpdan 668 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  C_  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
49 setlikespec 5390 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V )
50 trpredpred 30055 . . . 4  |-  ( Pred ( R ,  A ,  X )  e.  _V  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5149, 50syl 17 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  Pred ( R ,  A ,  X )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5251sseld 3443 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X )
) )
53 trpredelss 30059 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  TrPred ( R ,  A ,  X
)  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5452, 53syld 44 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  (
y  e.  Pred ( R ,  A ,  X )  ->  TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) ) )
5554ralrimiv 2818 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
56 iunss 4314 . . . 4  |-  ( U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_ 
TrPred ( R ,  A ,  X )  <->  A. y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5755, 56sylibr 214 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X ) TrPred ( R ,  A ,  y )  C_  TrPred ( R ,  A ,  X ) )
5851, 57unssd 3621 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
)  C_  TrPred ( R ,  A ,  X
) )
5948, 58eqssd 3461 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  R Se  A )  ->  TrPred ( R ,  A ,  X
)  =  ( Pred ( R ,  A ,  X )  u.  U_ y  e.  Pred  ( R ,  A ,  X
) TrPred ( R ,  A ,  y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    u. cun 3414    C_ wss 3416   U_ciun 4273   Se wse 4782   Predcpred 5368   TrPredctrpred 30044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-trpred 30045
This theorem is referenced by:  dftrpred4g  30061
  Copyright terms: Public domain W3C validator