Theorem dftrpred3g 28893

Description: The transitive predecessors of X are equal to the predecessors of X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3645	. . . . . 6 |- ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
2		predel 28840	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Pred ( R , A , X ) -> z e. A )
3		setlikespec 28844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
4		trpredpred 28888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Pred ( R , A , z ) e. _V -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
6	5	expcom 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
7	6	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
8	2, 7	syl5 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
9	8	ancld 553	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) ) )
10		trpredeq3 28882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> TrPred ( R , A , y ) = TrPred ( R , A , z ) )
11	10	sseq2d 3532	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) <-> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
12	11	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
13		ssiun 4367	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
14	12, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
15	9, 14	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
16		eliun 4330	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) <-> E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) )
17		predel 28840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. A )
18		setlikespec 28844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Se A /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
20	19	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
21		trpredss 28889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Pred ( R , A , y ) e. _V -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
23	22	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> z e. A ) )
24	3	expcom 435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
26	23, 25	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
28	27, 4	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
29		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
30		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> R Se A )
31		trpredelss 28892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
33	32	imp 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
34	28, 33	sstrd 3514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
35	34	exp31 604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. A -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
36	17, 35	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
37	36	reximdvai 2935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
38	37, 13	syl6 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
39	16, 38	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
40	15, 39	jaod 380	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
41		ssun4 3670	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
42	40, 41	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
43	1, 42	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
44	43	ralrimiv 2876	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
45		ssun1 3667	. . . 4 |- Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
46	44, 45	jctir 538	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
47		trpredmintr 28891	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
48	46, 47	mpdan 668	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
49		setlikespec 28844	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
50		trpredpred 28888	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	49, 50	syl 16	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
52	51	sseld 3503	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. TrPred ( R , A , X ) ) )
53		trpredelss 28892	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. TrPred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
54	52, 53	syld 44	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
55	54	ralrimiv 2876	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
56		iunss 4366	. . . 4 |- ( U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) <-> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
57	55, 56	sylibr 212	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
58	51, 57	unssd 3680	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
59	48, 58	eqssd 3521	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   u. cun 3474   C_ wss 3476   U_ciun 4325   Se wse 4836   Predcpred 28820   TrPredctrpred 28877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-pred 28821  df-trpred 28878

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  28894