Theorem dftrpred3g 30474

Description: The transitive predecessors of X are equal to the predecessors of X together with their transitive predecessors. (Contributed by Scott Fenton, 26-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftrpred3g	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, R   y, X

Proof of Theorem dftrpred3g

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3574	. . . . . 6 |- ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) <-> ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
2		predel 5397	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. Pred ( R , A , X ) -> z e. A )
3		setlikespec 5401	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
4		trpredpred 30469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Pred ( R , A , z ) e. _V -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
6	5	expcom 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
7	6	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
8	2, 7	syl5 33	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
9	8	ancld 556	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) ) )
10		trpredeq3 30463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> TrPred ( R , A , y ) = TrPred ( R , A , z ) )
11	10	sseq2d 3460	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) <-> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) )
12	11	rspcev 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
13		ssiun 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. Pred ( R , A , X ) /\ Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
15	9, 14	syl6 34	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. Pred ( R , A , X ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
16		eliun 4283	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) <-> E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) )
17		predel 5397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. A )
18		setlikespec 5401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
19	18	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( R Se A /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
20	19	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> Pred ( R , A , y ) e. _V )
21		trpredss 30470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Pred ( R , A , y ) e. _V -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ A )
23	22	sseld 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> z e. A ) )
24	3	expcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
26	23, 25	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
27	26	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
28	27, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , z ) )
29		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
30		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> R Se A )
31		trpredelss 30473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. A /\ R Se A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
33	32	imp 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> TrPred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
34	28, 33	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ y e. A ) /\ z e. TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) )
35	34	exp31 609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. A -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
36	17, 35	syl5 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> ( z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) ) )
37	36	reximdvai 2859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> E. y e. Pred ( R , A , X ) Pred ( R , A , z ) C_ TrPred ( R , A , y ) ) )
38	37, 13	syl6 34	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. y e. Pred ( R , A , X ) z e. TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
39	16, 38	syl5bi 221	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
40	15, 39	jaod 382	. . . . . . 7 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
41		ssun4 3600	. . . . . . 7 |- ( Pred ( R , A , z ) C_ U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
42	40, 41	syl6 34	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( z e. Pred ( R , A , X ) \/ z e. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
43	1, 42	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) -> Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
44	43	ralrimiv 2800	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
45		ssun1 3597	. . . 4 |- Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) )
46	44, 45	jctir 541	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) )
47		trpredmintr 30472	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ ( A. z e. ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) Pred ( R , A , z ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) /\ Pred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) ) ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
48	46, 47	mpdan 674	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) C_ ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )
49		setlikespec 5401	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
50		trpredpred 30469	. . . 4 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	49, 50	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
52	51	sseld 3431	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> y e. TrPred ( R , A , X ) ) )
53		trpredelss 30473	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. TrPred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
54	52, 53	syld 45	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( y e. Pred ( R , A , X ) -> TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) ) )
55	54	ralrimiv 2800	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
56		iunss 4319	. . . 4 |- ( U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) <-> A. y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
57	55, 56	sylibr 216	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
58	51, 57	unssd 3610	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
59	48, 58	eqssd 3449	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> TrPred ( R , A , X ) = ( Pred ( R , A , X ) u. U_ y e. Pred ( R , A , X ) TrPred ( R , A , y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   u. cun 3402   C_ wss 3404   U_ciun 4278   Se wse 4791   Predcpred 5379   TrPredctrpred 30458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-trpred 30459

This theorem is referenced by:  dftrpred4g  30475