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Theorem dftr6 30440
Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
dftr6.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dftr6  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)

Proof of Theorem dftr6
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr6.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
21elrn 5097 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A )
3 brdif 4469 . . . . . 6  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A ) )
4 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
54, 1brco 5027 . . . . . . . 8  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A ) )
6 epel 4770 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
71epelc 4769 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  A  <->  y  e.  A )
86, 7anbi12i 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A )
)
98exbii 1729 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
105, 9bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
111epelc 4769 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  A  <->  x  e.  A )
1211notbii 302 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  _E  A  <->  -.  x  e.  A )
1310, 12anbi12i 708 . . . . . 6  |-  ( ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
14 19.41v 1841 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
15 exanali 1732 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
1614, 15bitr3i 259 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
173, 13, 163bitri 279 . . . . 5  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  -.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A ) )
1817exbii 1729 . . . 4  |-  ( E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A  <->  E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
19 exnal 1710 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
202, 18, 193bitri 279 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
2120con2bii 338 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
22 dftr2 4515 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
23 eldif 3426 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) ) )
241, 23mpbiran 934 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
2521, 22, 243bitr4i 285 1  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453   E.wex 1674    e. wcel 1898   _Vcvv 3057    \ cdif 3413   class class class wbr 4418   Tr wtr 4513    _E cep 4765   ran crn 4857    o. ccom 4860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867
This theorem is referenced by:  eltrans  30708
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