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Theorem dftr6 27727
Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
dftr6.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
dftr6  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)

Proof of Theorem dftr6
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dftr6.1 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
21elrn 5191 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A )
3 brdif 4453 . . . . . 6  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A ) )
4 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
54, 1brco 5121 . . . . . . . 8  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A ) )
6 epel 4746 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
71epelc 4745 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  _E  A  <->  y  e.  A )
86, 7anbi12i 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  ( x  e.  y  /\  y  e.  A )
)
98exbii 1635 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  _E  y  /\  y  _E  A )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  y  e.  A
) )
105, 9bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( x (  _E  o.  _E  ) A  <->  E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A ) )
111epelc 4745 . . . . . . . 8  |-  ( x  _E  A  <->  x  e.  A )
1211notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  _E  A  <->  -.  x  e.  A )
1310, 12anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x (  _E  o.  _E  ) A  /\  -.  x  _E  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
14 19.41v 1932 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )
)
15 exanali 1638 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
1614, 15bitr3i 251 . . . . . 6  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  /\  -.  x  e.  A )  <->  -. 
A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
173, 13, 163bitri 271 . . . . 5  |-  ( x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A 
<->  -.  A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A
)  ->  x  e.  A ) )
1817exbii 1635 . . . 4  |-  ( E. x  x ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) A  <->  E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
19 exnal 1619 . . . 4  |-  ( E. x  -.  A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
202, 18, 193bitri 271 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )  <->  -.  A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
2120con2bii 332 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A )  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
22 dftr2 4498 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. x A. y
( ( x  e.  y  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  A ) )
23 eldif 3449 . . 3  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) ) )
241, 23mpbiran 909 . 2  |-  ( A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)  <->  -.  A  e.  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  )
)
2521, 22, 243bitr4i 277 1  |-  ( Tr  A  <->  A  e.  ( _V  \  ran  ( (  _E  o.  _E  )  \  _E  ) )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   class class class wbr 4403   Tr wtr 4496    _E cep 4741   ran crn 4952    o. ccom 4955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962
This theorem is referenced by:  eltrans  28089
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