Theorem dftr6 30440

Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
dftr6.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dftr6	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Proof of Theorem dftr6

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr6.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	elrn 5097	. . . 4 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A )
3		brdif 4469	. . . . . 6 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) )
4		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	brco 5027	. . . . . . . 8 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x _E y /\ y _E A ) )
6		epel 4770	. . . . . . . . . 10 |- ( x _E y <-> x e. y )
7	1	epelc 4769	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E A <-> y e. A )
8	6, 7	anbi12i 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( x _E y /\ y _E A ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
9	8	exbii 1729	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x _E y /\ y _E A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
10	5, 9	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
11	1	epelc 4769	. . . . . . . 8 |- ( x _E A <-> x e. A )
12	11	notbii 302	. . . . . . 7 |- ( -. x _E A <-> -. x e. A )
13	10, 12	anbi12i 708	. . . . . 6 |- ( ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
14		19.41v 1841	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
15		exanali 1732	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
16	14, 15	bitr3i 259	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
17	3, 13, 16	3bitri 279	. . . . 5 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
18	17	exbii 1729	. . . 4 |- ( E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
19		exnal 1710	. . . 4 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
20	2, 18, 19	3bitri 279	. . 3 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
21	20	con2bii 338	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
22		dftr2 4515	. 2 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
23		eldif 3426	. . 3 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )
24	1, 23	mpbiran 934	. 2 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
25	21, 22, 24	3bitr4i 285	1 |- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1453   E.wex 1674   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   class class class wbr 4418   Tr wtr 4513   _E cep 4765   ran crn 4857   o. ccom 4860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867

This theorem is referenced by:  eltrans  30708