Theorem dftr6 27727

Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
dftr6.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dftr6	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Proof of Theorem dftr6

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr6.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	elrn 5191	. . . 4 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A )
3		brdif 4453	. . . . . 6 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) )
4		vex 3081	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	brco 5121	. . . . . . . 8 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x _E y /\ y _E A ) )
6		epel 4746	. . . . . . . . . 10 |- ( x _E y <-> x e. y )
7	1	epelc 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E A <-> y e. A )
8	6, 7	anbi12i 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( x _E y /\ y _E A ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
9	8	exbii 1635	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x _E y /\ y _E A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
10	5, 9	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
11	1	epelc 4745	. . . . . . . 8 |- ( x _E A <-> x e. A )
12	11	notbii 296	. . . . . . 7 |- ( -. x _E A <-> -. x e. A )
13	10, 12	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
14		19.41v 1932	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
15		exanali 1638	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
16	14, 15	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
17	3, 13, 16	3bitri 271	. . . . 5 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
18	17	exbii 1635	. . . 4 |- ( E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
19		exnal 1619	. . . 4 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
20	2, 18, 19	3bitri 271	. . 3 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
21	20	con2bii 332	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
22		dftr2 4498	. 2 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
23		eldif 3449	. . 3 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )
24	1, 23	mpbiran 909	. 2 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
25	21, 22, 24	3bitr4i 277	1 |- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   e. wcel 1758   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   class class class wbr 4403   Tr wtr 4496   _E cep 4741   ran crn 4952   o. ccom 4955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962

This theorem is referenced by:  eltrans  28089