Theorem dftr6 29963

Description: A potential definition of transitivity for sets. (Contributed by Scott Fenton, 18-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
dftr6.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
dftr6	|- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Proof of Theorem dftr6

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr6.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	elrn 5064	. . . 4 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A )
3		brdif 4445	. . . . . 6 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) )
4		vex 3062	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
5	4, 1	brco 4994	. . . . . . . 8 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x _E y /\ y _E A ) )
6		epel 4737	. . . . . . . . . 10 |- ( x _E y <-> x e. y )
7	1	epelc 4736	. . . . . . . . . 10 |- ( y _E A <-> y e. A )
8	6, 7	anbi12i 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( x _E y /\ y _E A ) <-> ( x e. y /\ y e. A ) )
9	8	exbii 1688	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( x _E y /\ y _E A ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
10	5, 9	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( x ( _E o. _E ) A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
11	1	epelc 4736	. . . . . . . 8 |- ( x _E A <-> x e. A )
12	11	notbii 294	. . . . . . 7 |- ( -. x _E A <-> -. x e. A )
13	10, 12	anbi12i 695	. . . . . 6 |- ( ( x ( _E o. _E ) A /\ -. x _E A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
14		19.41v 1795	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) )
15		exanali 1691	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
16	14, 15	bitr3i 251	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ -. x e. A ) <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
17	3, 13, 16	3bitri 271	. . . . 5 |- ( x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
18	17	exbii 1688	. . . 4 |- ( E. x x ( ( _E o. _E ) \ _E ) A <-> E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
19		exnal 1669	. . . 4 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
20	2, 18, 19	3bitri 271	. . 3 |- ( A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
21	20	con2bii 330	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
22		dftr2 4491	. 2 |- ( Tr A <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) )
23		eldif 3424	. . 3 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )
24	1, 23	mpbiran 919	. 2 |- ( A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) <-> -. A e. ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) )
25	21, 22, 24	3bitr4i 277	1 |- ( Tr A <-> A e. ( _V \ ran ( ( _E o. _E ) \ _E ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   E.wex 1633   e. wcel 1842   _Vcvv 3059   \ cdif 3411   class class class wbr 4395   Tr wtr 4489   _E cep 4732   ran crn 4824   o. ccom 4827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834

This theorem is referenced by:  eltrans  30229