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Theorem dftr5 4265
Description: An alternate way of defining a transitive class. (Contributed by NM, 20-Mar-2004.)
Assertion
Ref Expression
dftr5  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem dftr5
StepHypRef Expression
1 dftr2 4264 . 2  |-  ( Tr  A  <->  A. y A. x
( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A ) )
2 alcom 1748 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A ) )
3 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  A )  <->  ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
43albii 1572 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
5 df-ral 2671 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <->  A. y ( y  e.  x  ->  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) ) )
64, 5bitr4i 244 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. y  e.  x  ( x  e.  A  ->  y  e.  A ) )
7 r19.21v 2753 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  (
x  e.  A  -> 
y  e.  A )  <-> 
( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A )
)
86, 7bitri 241 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
98albii 1572 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
10 df-ral 2671 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  x  y  e.  A ) )
119, 10bitr4i 244 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
122, 11bitri 241 . 2  |-  ( A. y A. x ( ( y  e.  x  /\  x  e.  A )  ->  y  e.  A )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
131, 12bitri 241 1  |-  ( Tr  A  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  x  y  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    e. wcel 1721   A.wral 2666   Tr wtr 4262
This theorem is referenced by:  dftr3  4266  smobeth  8417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ral 2671  df-v 2918  df-in 3287  df-ss 3294  df-uni 3976  df-tr 4263
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