MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftpos3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dftpos3 7009
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. Compare df-cnv 4847. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos3  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Distinct variable group:    x, y, z, F

Proof of Theorem dftpos3
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5213 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  `' dom  F
2 dmtpos 7003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
32releqd 4924 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel 
dom tpos  F  <->  Rel  `' dom  F
) )
41, 3mpbiri 241 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
dom  F  ->  Rel  dom tpos  F )
5 reltpos 6996 . . . . . . . . 9  |-  Rel tpos  F
64, 5jctil 546 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F ) )
7 relrelss 5366 . . . . . . . 8  |-  ( ( Rel tpos  F  /\  Rel  dom tpos  F )  <-> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X. 
_V ) )
86, 7sylib 201 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
98sseld 3417 . . . . . 6  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  w  e.  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
) )
10 elvvv 4899 . . . . . 6  |-  ( w  e.  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V ) 
<->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. )
119, 10syl6ib 234 . . . . 5  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  ->  E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >. ) )
1211pm4.71rd 647 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
) ) )
13 19.41vvv 1840 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <-> 
( E. x E. y E. z  w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F ) )
14 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F
) )
15 df-br 4396 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  e. tpos  F )
16 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
17 brtpos 7000 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( <. x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
x ,  y >.tpos  F z  <->  <. y ,  x >. F z )
1915, 18bitr3i 259 . . . . . . . 8  |-  ( <. <. x ,  y >. ,  z >.  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z )
2014, 19syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  -> 
( w  e. tpos  F  <->  <.
y ,  x >. F z ) )
2120pm5.32i 649 . . . . . 6  |-  ( ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  w  e. tpos  F
)  <->  ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
22213exbii 1728 . . . . 5  |-  ( E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2313, 22bitr3i 259 . . . 4  |-  ( ( E. x E. y E. z  w  =  <. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\  w  e. tpos  F )  <->  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) )
2412, 23syl6bb 269 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  ( w  e. tpos  F  <->  E. x E. y E. z ( w  =  <. <. x ,  y >. ,  z
>.  /\  <. y ,  x >. F z ) ) )
2524abbi2dv 2590 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { w  |  E. x E. y E. z
( w  =  <. <.
x ,  y >. ,  z >.  /\  <. y ,  x >. F z ) } )
26 df-oprab 6312 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  <. y ,  x >. F z }  =  { w  |  E. x E. y E. z ( w  = 
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  /\ 
<. y ,  x >. F z ) }
2725, 26syl6eqr 2523 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
<. y ,  x >. F z } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   <.cop 3965   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   {coprab 6309  tpos ctpos 6990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-fv 5597  df-oprab 6312  df-tpos 6991
This theorem is referenced by:  tposoprab  7027
  Copyright terms: Public domain W3C validator