MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dftpos2 Structured version   Unicode version

Theorem dftpos2 6864
Description: Alternate definition of tpos when  F has relational domain. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos2  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos2
StepHypRef Expression
1 dmtpos 6859 . . 3  |-  ( Rel 
dom  F  ->  dom tpos  F  =  `' dom  F )
21reseq2d 5210 . 2  |-  ( Rel 
dom  F  ->  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  =  (tpos 
F  |`  `' dom  F
) )
3 reltpos 6852 . . 3  |-  Rel tpos  F
4 resdm 5248 . . 3  |-  ( Rel tpos  F  ->  (tpos  F  |`  dom tpos  F )  = tpos  F
)
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  (tpos  F  |` 
dom tpos  F )  = tpos  F
6 df-tpos 6847 . . . 4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
76reseq1i 5206 . . 3  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )
8 resco 5442 . . 3  |-  ( ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )
9 ssun1 3619 . . . . 5  |-  `' dom  F 
C_  ( `' dom  F  u.  { (/) } )
10 resmpt 5256 . . . . 5  |-  ( `' dom  F  C_  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F )  =  ( x  e.  `' dom  F  |->  U. `' { x } )
1211coeq2i 5100 . . 3  |-  ( F  o.  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  |`  `' dom  F ) )  =  ( F  o.  ( x  e.  `' dom  F  |-> 
U. `' { x } ) )
137, 8, 123eqtri 2484 . 2  |-  (tpos  F  |`  `' dom  F )  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) )
142, 5, 133eqtr3g 2515 1  |-  ( Rel 
dom  F  -> tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  `' dom  F 
|->  U. `' { x } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    u. cun 3426    C_ wss 3428   (/)c0 3737   {csn 3977   U.cuni 4191    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   dom cdm 4940    |` cres 4942    o. ccom 4944   Rel wrel 4945  tpos ctpos 6846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-fv 5526  df-tpos 6847
This theorem is referenced by:  tposf12  6872
  Copyright terms: Public domain W3C validator