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Theorem dfsup2OLD 7903
Description: Quantifier-free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2OLD  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )

Proof of Theorem dfsup2OLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7901 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab2 3774 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )
3 incom 3691 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
4 abeq1 2592 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) ) )
5 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 eldif 3486 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
75, 6mpbiran 916 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
8 elun 3645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
98notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <->  -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
10 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
125elima 5342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
13 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
1413, 5brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1514rexbii 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1612, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1716notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  E. y  e.  B  x R y )
18 ralnex 2910 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
1917, 18bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
205elima 5342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  y ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) ) x )
21 brdif 4497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  y
( ( `' R " B )  X.  _V ) x ) )
22 brxp 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  ( y  e.  ( `' R " B )  /\  x  e.  _V ) )
235, 22mpbiran2 917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  y  e.  ( `' R " B ) )
2413elima 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
25 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
2625, 13brcnv 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2726rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2823, 24, 273bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  E. z  e.  B  y R z )
2928notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  -.  E. z  e.  B  y R z )
3029anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y R x  /\  -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x )  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3121, 30bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3231rexbii 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3320, 32bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3433notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
35 rexanali 2917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3635con2bii 332 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3734, 36bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3819, 37anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \ 
( ( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
397, 11, 383bitrri 272 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) )
404, 39mpgbir 1605 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4140ineq2i 3697 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
42 invdif 3739 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )  =  ( A  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
4341, 42eqtri 2496 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
442, 3, 433eqtri 2500 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4544unieqi 4254 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
461, 45eqtri 2496 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   "cima 5002   supcsup 7900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-cnv 5007  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-sup 7901
This theorem is referenced by:  dfsup3OLD  7904
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