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Theorem dfsup2OLD 7921
Description: Quantifier-free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2OLD  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )

Proof of Theorem dfsup2OLD
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7919 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab2 3781 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )
3 incom 3687 . . . 4  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  i^i  A )  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) } )
4 abeq1 2582 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) ) )
5 vex 3112 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 eldif 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
75, 6mpbiran 918 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
8 elun 3641 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
98notbii 296 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <->  -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
10 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) )  <-> 
( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
125elima 5352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
13 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
1413, 5brcnv 5195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1514rexbii 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1612, 15bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  x R
y )
1716notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  E. y  e.  B  x R y )
18 ralnex 2903 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  -.  x R y  <->  -.  E. y  e.  B  x R
y )
1917, 18bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( `' R " B )  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
205elima 5352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  y ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) ) x )
21 brdif 4506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  y
( ( `' R " B )  X.  _V ) x ) )
22 brxp 5039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  ( y  e.  ( `' R " B )  /\  x  e.  _V ) )
235, 22mpbiran2 919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  y  e.  ( `' R " B ) )
2413elima 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
25 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
_V
2625, 13brcnv 5195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2726rexbii 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2823, 24, 273bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  E. z  e.  B  y R z )
2928notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x  <->  -.  E. z  e.  B  y R z )
3029anbi2i 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y R x  /\  -.  y ( ( `' R " B )  X.  _V ) x )  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3121, 30bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3231rexbii 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  y ( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) x  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3320, 32bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3433notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
35 rexanali 2910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3635con2bii 332 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  -.  E. y  e.  A  ( y R x  /\  -.  E. z  e.  B  y R z ) )
3734, 36bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  ( ( R  \  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A )  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3819, 37anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  ( `' R " B )  /\  -.  x  e.  ( ( R  \ 
( ( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
397, 11, 383bitrri 272 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) ) )
404, 39mpgbir 1623 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4140ineq2i 3693 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )
42 invdif 3746 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) ) )  =  ( A  \ 
( ( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
4341, 42eqtri 2486 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
442, 3, 433eqtri 2490 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
4544unieqi 4260 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( ( R 
\  ( ( `' R " B )  X.  _V ) )
" A ) ) )
461, 45eqtri 2486 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  (
( R  \  (
( `' R " B )  X.  _V ) ) " A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   "cima 5011   supcsup 7918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-cnv 5016  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-sup 7919
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