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Theorem dfsup2 7906
Description: Quantifier free definition of supremum. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsup2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )

Proof of Theorem dfsup2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-sup 7904 . 2  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }
2 dfrab3 3686 . . . 4  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )
3 abeq1 2533 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )  <->  A. x ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) ) )
4 vex 3020 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5 eldif 3384 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  _V  /\  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
64, 5mpbiran 926 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
74elima 5130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  E. y  e.  B  y `' R x )
8 dfrex2 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  B  y `' R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
97, 8bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( `' R " B )  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x )
104elima 5130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  E. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) ) y R x )
11 dfrex2 2810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) ) y R x  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
1210, 11bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) )  <->  -.  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )
139, 12orbi12i 523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A 
\  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
14 elun 3544 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  ( x  e.  ( `' R " B )  \/  x  e.  ( R " ( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
15 ianor 490 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <-> 
( -.  A. y  e.  B  -.  y `' R x  \/  -.  A. y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1613, 14, 153bitr4i 280 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) )  <->  -.  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x ) )
1716con2bii 333 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  -.  x  e.  ( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
18 vex 3020 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1918, 4brcnv 4974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
2019notbii 297 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
2120ralbii 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  B  -.  x R y )
22 impexp 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <->  ( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
23 eldif 3384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( A  \ 
( `' R " B ) )  <->  ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) ) )
2423imbi1i 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( ( y  e.  A  /\  -.  y  e.  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x ) )
2518elima 5130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  z `' R y )
26 vex 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
2726, 18brcnv 4974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z `' R y  <->  y R
z )
2827rexbii 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  B  z `' R y  <->  E. z  e.  B  y R
z )
2925, 28bitri 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' R " B )  <->  E. z  e.  B  y R
z )
3029imbi2i 313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
31 con34b 293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y R x  -> 
y  e.  ( `' R " B ) )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3230, 31bitr3i 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z )  <->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) )
3332imbi2i 313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  A  -> 
( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( -.  y  e.  ( `' R " B )  ->  -.  y R x ) ) )
3422, 24, 333bitr4i 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( A 
\  ( `' R " B ) )  ->  -.  y R x )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
3534ralbii2 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x  <->  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) )
3621, 35anbi12i 701 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  y `' R x  /\  A. y  e.  ( A  \  ( `' R " B ) )  -.  y R x )  <->  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) )
376, 17, 363bitr2ri 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) )  <-> 
x  e.  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) ) )
383, 37mpgbir 1667 . . . . . 6  |-  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  (
y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( _V 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
3938ineq2i 3599 . . . . 5  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )
40 invdif 3652 . . . . 5  |-  ( A  i^i  ( _V  \ 
( ( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) ) )  =  ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
4139, 40eqtri 2445 . . . 4  |-  ( A  i^i  { x  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) } )  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
422, 41eqtri 2445 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R z ) ) }  =  ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
4342unieqi 4166 . 2  |-  U. {
x  e.  A  | 
( A. y  e.  B  -.  x R y  /\  A. y  e.  A  ( y R x  ->  E. z  e.  B  y R
z ) ) }  =  U. ( A 
\  ( ( `' R " B )  u.  ( R "
( A  \  ( `' R " B ) ) ) ) )
441, 43eqtri 2445 1  |-  sup ( B ,  A ,  R )  =  U. ( A  \  (
( `' R " B )  u.  ( R " ( A  \ 
( `' R " B ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2409   A.wral 2709   E.wrex 2710   {crab 2713   _Vcvv 3017    \ cdif 3371    u. cun 3372    i^i cin 3373   U.cuni 4157   class class class wbr 4361   `'ccnv 4790   "cima 4794   supcsup 7902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pr 4598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-rab 2718  df-v 3019  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4158  df-br 4362  df-opab 4421  df-xp 4797  df-cnv 4799  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-sup 7904
This theorem is referenced by:  nfsup  7913
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