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Theorem dfso2 27698
Description: Quantifier free definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfso2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )

Proof of Theorem dfso2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-so 4740 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2 opelxp 4967 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
3 brun 4438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x (  _I  u.  `' R ) y  <->  ( x  _I  y  \/  x `' R y ) )
4 vex 3071 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
54ideq 5090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
6 vex 3071 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
76, 4brcnv 5120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 7orbi12i 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  _I  y  \/  x `' R y )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
93, 8bitr2i 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x (  _I  u.  `' R ) y )
109orbi2i 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
11 3orass 968 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 brun 4438 . . . . . . . 8  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
1310, 11, 123bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y )
14 df-br 4391 . . . . . . 7  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )
1513, 14bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
162, 15imbi12i 326 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
17162albii 1612 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
18 relxp 5045 . . . . 5  |-  Rel  ( A  X.  A )
19 ssrel 5026 . . . . 5  |-  ( Rel  ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
21 r2al 2856 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2217, 20, 213bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2322anbi2i 694 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A
)  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
241, 23bitr4i 252 1  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964   A.wal 1368    e. wcel 1758   A.wral 2795    u. cun 3424    C_ wss 3426   <.cop 3981   class class class wbr 4390    _I cid 4729    Po wpo 4737    Or wor 4738    X. cxp 4936   `'ccnv 4937   Rel wrel 4943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3070  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-br 4391  df-opab 4449  df-id 4734  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946
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