Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfso2 Structured version   Unicode version

Theorem dfso2 29427
Description: Quantifier free definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 22-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfso2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )

Proof of Theorem dfso2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-so 4790 . 2  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2 opelxp 5018 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
3 brun 4487 . . . . . . . . . 10  |-  ( x (  _I  u.  `' R ) y  <->  ( x  _I  y  \/  x `' R y ) )
4 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
54ideq 5144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  _I  y  <->  x  =  y )
6 vex 3109 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
76, 4brcnv 5174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x `' R y  <->  y R x )
85, 7orbi12i 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  _I  y  \/  x `' R y )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
93, 8bitr2i 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x (  _I  u.  `' R ) y )
109orbi2i 517 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) )  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
11 3orass 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
( x R y  \/  ( x  =  y  \/  y R x ) ) )
12 brun 4487 . . . . . . . 8  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  ( x R y  \/  x
(  _I  u.  `' R ) y ) )
1310, 11, 123bitr4i 277 . . . . . . 7  |-  ( ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <-> 
x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y )
14 df-br 4440 . . . . . . 7  |-  ( x ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )
1513, 14bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
162, 15imbi12i 324 . . . . 5  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
17162albii 1646 . . . 4  |-  ( A. x A. y ( <.
x ,  y >.  e.  ( A  X.  A
)  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
18 relxp 5098 . . . . 5  |-  Rel  ( A  X.  A )
19 ssrel 5079 . . . . 5  |-  ( Rel  ( A  X.  A
)  ->  ( ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y >.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  ( A  X.  A )  ->  <. x ,  y
>.  e.  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
21 r2al 2832 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  \/  x  =  y  \/  y R x )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
2217, 20, 213bitr4i 277 . . 3  |-  ( ( A  X.  A ) 
C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) )
2322anbi2i 692 . 2  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A
)  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) )  <-> 
( R  Po  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  \/  x  =  y  \/  y R x ) ) )
241, 23bitr4i 252 1  |-  ( R  Or  A  <->  ( R  Po  A  /\  ( A  X.  A )  C_  ( R  u.  (  _I  u.  `' R ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    \/ w3o 970   A.wal 1396    e. wcel 1823   A.wral 2804    u. cun 3459    C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439    _I cid 4779    Po wpo 4787    Or wor 4788    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   Rel wrel 4993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator