MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfsmo2 Structured version   Unicode version

Theorem dfsmo2 7015
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 7014 . 2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
2 ralcom 3022 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3 impexp 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
4 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
5 ordtr1 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F ) )
653impib 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F )
763com23 1202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  F
)
8 simp3 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
97, 8jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
) )
1093expia 1198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x ) ) )
114, 10impbid2 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  x ) )
1211imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
133, 12syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  -> 
( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
1413ralbidv2 2899 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1514ralbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
162, 15syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1716pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e. 
dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1817anbi2i 694 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e. 
dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )  <-> 
( F : dom  F --> On  /\  ( Ord 
dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
19 3anass 977 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
20 3anass 977 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4i 277 . 2  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
221, 21bitri 249 1  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1767   A.wral 2814   Ord word 4877   Oncon0 4878   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586   Smo wsmo 7013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-v 3115  df-in 3483  df-ss 3490  df-uni 4246  df-tr 4541  df-ord 4881  df-smo 7014
This theorem is referenced by:  issmo2  7017  smores2  7022  smofvon2  7024
  Copyright terms: Public domain W3C validator