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Theorem dfsmo2 7010
Description: Alternate definition of a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfsmo2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Distinct variable group:    x, F, y

Proof of Theorem dfsmo2
StepHypRef Expression
1 df-smo 7009 . 2  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
2 ralcom 3015 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )
3 impexp 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  F  ->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )
4 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
5 ordtr1 4910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F ) )
653impib 1192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  y  e.  x  /\  x  e.  dom  F )  ->  y  e.  dom  F )
763com23 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  F
)
8 simp3 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  x )
97, 8jca 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
) )
1093expia 1196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( y  e.  x  ->  ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x ) ) )
114, 10impbid2 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x )  <->  y  e.  x ) )
1211imbi1d 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( ( y  e.  dom  F  /\  y  e.  x
)  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
133, 12syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( ( y  e.  dom  F  -> 
( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
1413ralbidv2 2889 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1514ralbidva 2890 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. x  e.  dom  F A. y  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
162, 15syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( Ord 
dom  F  ->  ( A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) )  <->  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1716pm5.32i 635 . . . 4  |-  ( ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e. 
dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
1817anbi2i 692 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e. 
dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  x
) ) ) )  <-> 
( F : dom  F --> On  /\  ( Ord 
dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
19 3anass 975 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) ) ) )
20 3anass 975 . . 3  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  ( Ord  dom  F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) ) )
2118, 19, 203bitr4i 277 . 2  |-  ( ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom  F  /\  A. y  e.  dom  F A. x  e.  dom  F ( y  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F `
 x ) ) )  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
221, 21bitri 249 1  |-  ( Smo 
F  <->  ( F : dom  F --> On  /\  Ord  dom 
F  /\  A. x  e.  dom  F A. y  e.  x  ( F `  y )  e.  ( F `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    e. wcel 1823   A.wral 2804   Ord word 4866   Oncon0 4867   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570   Smo wsmo 7008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ral 2809  df-v 3108  df-in 3468  df-ss 3475  df-uni 4236  df-tr 4533  df-ord 4870  df-smo 7009
This theorem is referenced by:  issmo2  7012  smores2  7017  smofvon2  7019
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