Mathbox for Drahflow < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrtrclrec2 Structured version   Unicode version

Theorem dfrtrclrec2 29241
 Description: If two elements are connected by a reflexive, transitive closure, then they are connected via instances the relation, for some . (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.1
rtrclreclem.2
Assertion
Ref Expression
dfrtrclrec2 rec
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dfrtrclrec2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rtrclreclem.2 . . . 4
2 nn0ex 10822 . . . . 5
3 ovex 6324 . . . . 5
42, 3iunex 6779 . . . 4
5 oveq1 6303 . . . . . 6
65iuneq2d 4359 . . . . 5
7 eqid 2457 . . . . 5
86, 7fvmptg 5954 . . . 4
91, 4, 8sylancl 662 . . 3
10 breq 4458 . . . 4
11 eliun 4337 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
13 df-br 4457 . . . . 5
14 df-br 4457 . . . . . 6
1514rexbii 2959 . . . . 5
1612, 13, 153bitr4g 288 . . . 4
1710, 16sylan9bb 699 . . 3
189, 17mpancom 669 . 2
19 df-rtrclrec 29240 . . 3 rec
20 fveq1 5871 . . . . . 6 rec rec
2120breqd 4467 . . . . 5 rec rec
2221bibi1d 319 . . . 4 rec rec
2322imbi2d 316 . . 3 rec rec
2419, 23ax-mp 5 . 2 rec
2518, 24mpbir 209 1 rec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808  cvv 3109  cop 4038  ciun 4332   class class class wbr 4456   cmpt 4515   wrel 5013  cfv 5594  (class class class)co 6296  cn0 10816  crelexp 29225  reccrtrcl 29239 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-n0 10817  df-rtrclrec 29240 This theorem is referenced by:  rtrclreclem.trans  29244  rtrclind  29247
 Copyright terms: Public domain W3C validator