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Theorem dfrtrcl5 36307
Description: Definition of reflexive-transitive closure as a standard closure. (Contributed by RP, 1-Nov-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrtrcl5  |-  t*  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  /\  ( y  o.  y )  C_  y
) ) } )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem dfrtrcl5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rtrcl 13127 . 2  |-  t*  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } )
2 ancom 457 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  /\  ( y  o.  y )  C_  y
)  <->  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) )
32anbi2i 708 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  /\  ( y  o.  y )  C_  y
) )  <->  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y ) 
C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) ) 
C_  y ) ) )
43abbii 2587 . . . . 5  |-  { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) ) 
C_  y  /\  (
y  o.  y ) 
C_  y ) ) }  =  { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }
54inteqi 4230 . . . 4  |-  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) ) 
C_  y  /\  (
y  o.  y ) 
C_  y ) ) }  =  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }
65mpteq2i 4479 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) ) 
C_  y  /\  (
y  o.  y ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )
7 vex 3034 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87rtrclexi 36299 . . . . 5  |-  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  e.  _V )
10 dmexg 6743 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  dom  x  e.  _V )
11 rnexg 6744 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  ran  x  e.  _V )
12 unexg 6611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  x  e.  _V  /\ 
ran  x  e.  _V )  ->  ( dom  x  u.  ran  x )  e. 
_V )
1310, 11, 12syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  e.  _V )
14 resiexg 6748 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  e.  _V )
157, 13, 14mp2b 10 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  e.  _V
167, 15unex 6608 . . . . . 6  |-  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  e. 
_V
1716trclexi 36298 . . . . 5  |-  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  e.  _V
1817a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  e.  _V )
19 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z )  ->  ( z  o.  z
)  C_  z )
2019cotrintab 36292 . . . . 5  |-  ( |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  o.  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  ( |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  o.  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } )
227dmex 6745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  x  e.  _V
237rnex 6746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  x  e.  _V
2412resiexd 6147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  e.  _V  /\ 
ran  x  e.  _V )  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  e.  _V )
2522, 23, 24mp2an 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  e.  _V
267, 25unex 6608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  e. 
_V
27 dmtrcl 36305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  e.  _V  ->  dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  dom  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) ) )
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  dom  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )
29 dmun 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  =  ( dom  x  u.  dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )
30 dmresi 5166 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3130uneq2i 3576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  x  u.  dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  =  ( dom  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )
32 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  x  C_  ( dom  x  u. 
ran  x )
33 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  x  C_  ( dom  x  u.  ran  x )  <-> 
( dom  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
3432, 33mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3529, 31, 343eqtri 2497 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
3628, 35eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  ( dom  x  u.  ran  x )
37 rntrcl 36306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  e.  _V  ->  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  ran  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) ) )
3826, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  ran  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )
39 rnun 5250 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  =  ( ran  x  u.  ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )
40 rnresi 5187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
4140uneq2i 3576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  x  u.  ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  =  ( ran  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )
42 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  x  C_  ( dom  x  u. 
ran  x )
43 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  x  C_  ( dom  x  u.  ran  x )  <-> 
( ran  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
4442, 43mpbi 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  x  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
4539, 41, 443eqtri 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
4638, 45eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  =  ( dom  x  u.  ran  x )
4736, 46uneq12i 3577 . . . . . . . 8  |-  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  u.  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  =  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
48 unidm 3568 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
4947, 48eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  u.  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  =  ( dom  x  u. 
ran  x )
5049reseq2i 5108 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  u.  ran  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )  =  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )
51 ssun2 3589 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )
52 ssmin 4245 . . . . . . 7  |-  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }
5351, 52sstri 3427 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }
5450, 53eqsstri 3448 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  u.  ran  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  u.  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } ) ) 
C_  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )
56 simprl 772 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) )  -> 
( y  o.  y
)  C_  y )
5756cotrintab 36292 . . . . 5  |-  ( |^| { y  |  ( x 
C_  y  /\  (
( y  o.  y
)  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y
) )  C_  y
) ) }  o.  |^|
{ y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )  C_  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }
5857a1i 11 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  ( |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  o.  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )  C_  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )
59 id 22 . . . . . 6  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )
6059, 59coeq12d 5004 . . . . 5  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  (
y  o.  y )  =  ( |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  o.  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )
6160, 59sseq12d 3447 . . . 4  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  (
( y  o.  y
)  C_  y  <->  ( |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) }  o.  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )
62 dmeq 5040 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  dom  y  =  dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )
63 rneq 5066 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  ran  y  =  ran  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )
6462, 63uneq12d 3580 . . . . . 6  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  ( dom  y  u.  ran  y )  =  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  u.  ran  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )
6564reseq2d 5111 . . . . 5  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  =  (  _I  |`  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  u.  ran  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) ) )
6665, 59sseq12d 3447 . . . 4  |-  ( y  =  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  ->  (
(  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y 
<->  (  _I  |`  ( dom  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  u.  ran  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )  C_  |^|
{ z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } ) )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( z  =  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  ->  z  =  |^| { y  |  ( x 
C_  y  /\  (
( y  o.  y
)  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y
) )  C_  y
) ) } )
6867, 67coeq12d 5004 . . . . 5  |-  ( z  =  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  ->  ( z  o.  z )  =  (
|^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  o.  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } ) )
6968, 67sseq12d 3447 . . . 4  |-  ( z  =  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  ->  ( ( z  o.  z )  C_  z 
<->  ( |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) }  o.  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )  C_  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } ) )
709, 18, 21, 55, 58, 61, 66, 69mptrcllem 36291 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( ( y  o.  y )  C_  y  /\  (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )
71 df-3an 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z )  <->  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z )  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) )
72 ancom 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z )  <-> 
( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z
) )
73 unss 3599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z
)  <->  ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z )
7472, 73bitri 257 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z )  <-> 
( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z )
7574anbi1i 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z )  /\  ( z  o.  z )  C_  z
)  <->  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) )
7671, 75bitr2i 258 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z )  <->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z )
)
7776abbii 2587 . . . . 5  |-  { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  =  {
z  |  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  (
z  o.  z ) 
C_  z ) }
7877inteqi 4230 . . . 4  |-  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) }  =  |^| { z  |  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  (
z  o.  z ) 
C_  z ) }
7978mpteq2i 4479 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( ( x  u.  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )  C_  z  /\  ( z  o.  z )  C_  z
) } )  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ z  |  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } )
806, 70, 793eqtri 2497 . 2  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u. 
ran  y ) ) 
C_  y  /\  (
y  o.  y ) 
C_  y ) ) } )  =  ( x  e.  _V  |->  |^|
{ z  |  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  C_  z  /\  x  C_  z  /\  ( z  o.  z
)  C_  z ) } )
811, 80eqtr4i 2496 1  |-  t*  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { y  |  ( x  C_  y  /\  ( (  _I  |`  ( dom  y  u.  ran  y ) )  C_  y  /\  ( y  o.  y )  C_  y
) ) } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   |^|cint 4226    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841    o. ccom 4843   t*crtcl 13125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-rtrcl 13127
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