Theorem dfrtrcl5 36307

Description: Definition of reflexive-transitive closure as a standard closure. (Contributed by RP, 1-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl5	|- t* = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem dfrtrcl5

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rtrcl 13127	. 2 |- t* = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
2		ancom 457	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) <-> ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) )
3	2	anbi2i 708	. . . . . 6 |- ( ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) <-> ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) )
4	3	abbii 2587	. . . . 5 |- { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } = { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
5	4	inteqi 4230	. . . 4 |- |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
6	5	mpteq2i 4479	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
7		vex 3034	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	rtrclexi 36299	. . . . 5 |- |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } e. _V
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } e. _V )
10		dmexg 6743	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> dom x e. _V )
11		rnexg 6744	. . . . . . . . 9 |- ( x e. _V -> ran x e. _V )
12		unexg 6611	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom x e. _V /\ ran x e. _V ) -> ( dom x u. ran x ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V -> ( dom x u. ran x ) e. _V )
14		resiexg 6748	. . . . . . . 8 |- ( ( dom x u. ran x ) e. _V -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V )
15	7, 13, 14	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V
16	7, 15	unex 6608	. . . . . 6 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V
17	16	trclexi 36298	. . . . 5 |- |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } e. _V
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } e. _V )
19		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) -> ( z o. z ) C_ z )
20	19	cotrintab 36292	. . . . 5 |- ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
21	20	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
22	7	dmex 6745	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom x e. _V
23	7	rnex 6746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ran x e. _V
24	12	resiexd 6147	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom x e. _V /\ ran x e. _V ) -> ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V )
25	22, 23, 24	mp2an 686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) e. _V
26	7, 25	unex 6608	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V
27		dmtrcl 36305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V -> dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
29		dmun 5047	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
30		dmresi 5166	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
31	30	uneq2i 3576	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom x u. dom ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ( dom x u. ran x ) )
32		ssun1 3588	. . . . . . . . . . . 12 |- dom x C_ ( dom x u. ran x )
33		ssequn1 3595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom x C_ ( dom x u. ran x ) <-> ( dom x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x ) )
34	32, 33	mpbi 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( dom x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
35	29, 31, 34	3eqtri 2497	. . . . . . . . . 10 |- dom ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ran x )
36	28, 35	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( dom x u. ran x )
37		rntrcl 36306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) e. _V -> ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) )
38	26, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
39		rnun 5250	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( ran x u. ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
40		rnresi 5187	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
41	40	uneq2i 3576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran x u. ran ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( ran x u. ( dom x u. ran x ) )
42		ssun2 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ran x C_ ( dom x u. ran x )
43		ssequn1 3595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ran x C_ ( dom x u. ran x ) <-> ( ran x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x ) )
44	42, 43	mpbi 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran x u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
45	39, 41, 44	3eqtri 2497	. . . . . . . . . 10 |- ran ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) = ( dom x u. ran x )
46	38, 45	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = ( dom x u. ran x )
47	36, 46	uneq12i 3577	. . . . . . . 8 |- ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( ( dom x u. ran x ) u. ( dom x u. ran x ) )
48		unidm 3568	. . . . . . . 8 |- ( ( dom x u. ran x ) u. ( dom x u. ran x ) ) = ( dom x u. ran x )
49	47, 48	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( dom x u. ran x )
50	49	reseq2i 5108	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) = ( _I |` ( dom x u. ran x ) )
51		ssun2 3589	. . . . . . 7 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) )
52		ssmin 4245	. . . . . . 7 |- ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
53	51, 52	sstri 3427	. . . . . 6 |- ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
54	50, 53	eqsstri 3448	. . . . 5 |- ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
55	54	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
56		simprl 772	. . . . . 6 |- ( ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) -> ( y o. y ) C_ y )
57	56	cotrintab 36292	. . . . 5 |- ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) }
58	57	a1i 11	. . . 4 |- ( x e. _V -> ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
59		id 22	. . . . . 6 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
60	59, 59	coeq12d 5004	. . . . 5 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( y o. y ) = ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
61	60, 59	sseq12d 3447	. . . 4 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( y o. y ) C_ y <-> ( |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } o. |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
62		dmeq 5040	. . . . . . 7 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> dom y = dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
63		rneq 5066	. . . . . . 7 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ran y = ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
64	62, 63	uneq12d 3580	. . . . . 6 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( dom y u. ran y ) = ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
65	64	reseq2d 5111	. . . . 5 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) = ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) )
66	65, 59	sseq12d 3447	. . . 4 |- ( y = |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } -> ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y <-> ( _I |` ( dom |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } u. ran |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) ) C_ |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) )
67		id 22	. . . . . 6 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } )
68	67, 67	coeq12d 5004	. . . . 5 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> ( z o. z ) = ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) )
69	68, 67	sseq12d 3447	. . . 4 |- ( z = |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } -> ( ( z o. z ) C_ z <-> ( |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } o. |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) C_ |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) )
70	9, 18, 21, 55, 58, 61, 66, 69	mptrcllem 36291	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( y o. y ) C_ y /\ ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
71		df-3an 1009	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) /\ ( z o. z ) C_ z ) )
72		ancom 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) <-> ( x C_ z /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z ) )
73		unss 3599	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ z /\ ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z ) <-> ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z )
74	72, 73	bitri 257	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) <-> ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z )
75	74	anbi1i 709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z ) /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) )
76	71, 75	bitr2i 258	. . . . . 6 |- ( ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) <-> ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) )
77	76	abbii 2587	. . . . 5 |- { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
78	77	inteqi 4230	. . . 4 |- |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } = |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) }
79	78	mpteq2i 4479	. . 3 |- ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( x u. ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) ) C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
80	6, 70, 79	3eqtri 2497	. 2 |- ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } ) = ( x e. _V |-> |^| { z | ( ( _I |` ( dom x u. ran x ) ) C_ z /\ x C_ z /\ ( z o. z ) C_ z ) } )
81	1, 80	eqtr4i 2496	1 |- t* = ( x e. _V |-> |^| { y | ( x C_ y /\ ( ( _I |` ( dom y u. ran y ) ) C_ y /\ ( y o. y ) C_ y ) ) } )

Syntax hints:   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   |^|cint 4226   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840   |` cres 4841   o. ccom 4843   t*crtcl 13125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-rtrcl 13127

This theorem is referenced by: (None)