Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrtrcl4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfrtrcl4 36324
Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrtrcl4  |-  t*  =  ( r  e.  _V  |->  ( ( r ^r  0 )  u.  ( t+ `  r ) ) )

Proof of Theorem dfrtrcl4
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrtrcl3 36319 . 2  |-  t*  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n ) )
2 df-n0 10867 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
32equncomi 3579 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( { 0 }  u.  NN )
4 iuneq1 4291 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( { 0 }  u.  NN )  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r 
n )  =  U_ n  e.  ( {
0 }  u.  NN ) ( r ^r  n ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  ( { 0 }  u.  NN ) ( r ^r  n )
6 iunxun 4362 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( { 0 }  u.  NN ) ( r ^r  n )  =  ( U_ n  e.  { 0 }  ( r ^r  n )  u. 
U_ n  e.  NN  ( r ^r 
n ) )
75, 6eqtri 2472 . . . 4  |-  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n )  =  ( U_ n  e. 
{ 0 }  (
r ^r  n )  u.  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n ) )
8 c0ex 9634 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
9 oveq2 6296 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  0 ) )
108, 9iunxsn 4360 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  { 0 }  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  0 )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  U_ n  e.  { 0 }  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  0 ) )
12 oveq1 6295 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  r  ->  (
x ^r  n )  =  ( r ^r  n ) )
1312iuneq2d 4304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  r  ->  U_ n  e.  NN  ( x ^r  n )  = 
U_ n  e.  NN  ( r ^r 
n ) )
14 dftrcl3 36306 . . . . . . 7  |-  t+  =  ( x  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN  ( x ^r 
n ) )
15 nnex 10612 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
16 ovex 6316 . . . . . . . 8  |-  ( r ^r  n )  e.  _V
1715, 16iunex 6770 . . . . . . 7  |-  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n )  e. 
_V
1813, 14, 17fvmpt 5946 . . . . . 6  |-  ( r  e.  _V  ->  (
t+ `  r
)  =  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n ) )
1918eqcomd 2456 . . . . 5  |-  ( r  e.  _V  ->  U_ n  e.  NN  ( r ^r  n )  =  ( t+ `  r ) )
2011, 19uneq12d 3588 . . . 4  |-  ( r  e.  _V  ->  ( U_ n  e.  { 0 }  ( r ^r  n )  u. 
U_ n  e.  NN  ( r ^r 
n ) )  =  ( ( r ^r  0 )  u.  ( t+ `  r ) ) )
217, 20syl5eq 2496 . . 3  |-  ( r  e.  _V  ->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n )  =  ( ( r ^r  0 )  u.  ( t+ `  r ) ) )
2221mpteq2ia 4484 . 2  |-  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  NN0  ( r ^r  n ) )  =  ( r  e. 
_V  |->  ( ( r ^r  0 )  u.  ( t+ `  r ) ) )
231, 22eqtri 2472 1  |-  t*  =  ( r  e.  _V  |->  ( ( r ^r  0 )  u.  ( t+ `  r ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1443    e. wcel 1886   _Vcvv 3044    u. cun 3401   {csn 3967   U_ciun 4277    |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   NNcn 10606   NN0cn0 10866   t+ctcl 13042   t*crtcl 13043   ^r crelexp 13076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-trcl 13044  df-rtrcl 13045  df-relexp 13077
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator