Theorem dfrtrcl4 36324

Description: Reflexive-transitive closure of a relation, expressed as the union of the zeroth power and the transitive closure. (Contributed by RP, 5-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrtrcl4	|- t* = ( r e. _V |-> ( ( r ^r 0 ) u. ( t+ ` r ) ) )

Proof of Theorem dfrtrcl4

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrtrcl3 36319	. 2 |- t* = ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) )
2		df-n0 10867	. . . . . . 7 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
3	2	equncomi 3579	. . . . . 6 |- NN0 = ( { 0 } u. NN )
4		iuneq1 4291	. . . . . 6 |- ( NN0 = ( { 0 } u. NN ) -> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = U_ n e. ( { 0 } u. NN ) ( r ^r n ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 |- U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = U_ n e. ( { 0 } u. NN ) ( r ^r n )
6		iunxun 4362	. . . . 5 |- U_ n e. ( { 0 } u. NN ) ( r ^r n ) = ( U_ n e. { 0 } ( r ^r n ) u. U_ n e. NN ( r ^r n ) )
7	5, 6	eqtri 2472	. . . 4 |- U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = ( U_ n e. { 0 } ( r ^r n ) u. U_ n e. NN ( r ^r n ) )
8		c0ex 9634	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
9		oveq2 6296	. . . . . . 7 |- ( n = 0 -> ( r ^r n ) = ( r ^r 0 ) )
10	8, 9	iunxsn 4360	. . . . . 6 |- U_ n e. { 0 } ( r ^r n ) = ( r ^r 0 )
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( r e. _V -> U_ n e. { 0 } ( r ^r n ) = ( r ^r 0 ) )
12		oveq1 6295	. . . . . . . 8 |- ( x = r -> ( x ^r n ) = ( r ^r n ) )
13	12	iuneq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( x = r -> U_ n e. NN ( x ^r n ) = U_ n e. NN ( r ^r n ) )
14		dftrcl3 36306	. . . . . . 7 |- t+ = ( x e. _V |-> U_ n e. NN ( x ^r n ) )
15		nnex 10612	. . . . . . . 8 |- NN e. _V
16		ovex 6316	. . . . . . . 8 |- ( r ^r n ) e. _V
17	15, 16	iunex 6770	. . . . . . 7 |- U_ n e. NN ( r ^r n ) e. _V
18	13, 14, 17	fvmpt 5946	. . . . . 6 |- ( r e. _V -> ( t+ ` r ) = U_ n e. NN ( r ^r n ) )
19	18	eqcomd 2456	. . . . 5 |- ( r e. _V -> U_ n e. NN ( r ^r n ) = ( t+ ` r ) )
20	11, 19	uneq12d 3588	. . . 4 |- ( r e. _V -> ( U_ n e. { 0 } ( r ^r n ) u. U_ n e. NN ( r ^r n ) ) = ( ( r ^r 0 ) u. ( t+ ` r ) ) )
21	7, 20	syl5eq 2496	. . 3 |- ( r e. _V -> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) = ( ( r ^r 0 ) u. ( t+ ` r ) ) )
22	21	mpteq2ia 4484	. 2 |- ( r e. _V |-> U_ n e. NN0 ( r ^r n ) ) = ( r e. _V |-> ( ( r ^r 0 ) u. ( t+ ` r ) ) )
23	1, 22	eqtri 2472	1 |- t* = ( r e. _V |-> ( ( r ^r 0 ) u. ( t+ ` r ) ) )

Syntax hints:   = wceq 1443   e. wcel 1886   _Vcvv 3044   u. cun 3401   {csn 3967   U_ciun 4277   |-> cmpt 4460   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   0cc0 9536   NNcn 10606   NN0cn0 10866   t+ctcl 13042   t*crtcl 13043   ^r crelexp 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-seq 12211  df-trcl 13044  df-rtrcl 13045  df-relexp 13077

This theorem is referenced by: (None)