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Theorem dfrhm2 16794
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Distinct variable group:    s, r

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables  v  w  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 16792 . 2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
2 rnggrp 16636 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  r  e. 
Grp )
3 rnggrp 16636 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  s  e. 
Grp )
4 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  r )
5 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  s )
6 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  r )
7 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  s )
84, 5, 6, 7isghm3 15737 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  Grp  /\  s  e.  Grp )  ->  ( f  e.  ( r  GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( r 
GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
109abbi2dv 2552 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) } )
11 df-rab 2718 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
12 fvex 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  e.  _V
13 fvex 5694 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  e.  _V
1412, 13elmap 7233 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  <-> 
f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s ) )
1514anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) )
1615abbii 2549 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
1711, 16eqtri 2457 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) }
1810, 17syl6eqr 2487 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) } )
19 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  r )
2019rngmgp 16637 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  (mulGrp `  r )  e.  Mnd )
21 eqid 2437 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  s )  =  (mulGrp `  s )
2221rngmgp 16637 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )
2319, 4mgpbas 16583 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  (mulGrp `  r
) )
2421, 5mgpbas 16583 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  (mulGrp `  s
) )
25 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  r )  =  ( .r `  r
)
2619, 25mgpplusg 16581 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  r )  =  ( +g  `  (mulGrp `  r ) )
27 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  s )  =  ( .r `  s
)
2821, 27mgpplusg 16581 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  s )  =  ( +g  `  (mulGrp `  s ) )
29 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 1r `  r
)
3019, 29rngidval 16591 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 0g `  (mulGrp `  r ) )
31 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 1r `  s
)
3221, 31rngidval 16591 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 0g `  (mulGrp `  s ) )
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 15458 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) )  <->  ( (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  /\  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3433baib 896 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  ->  ( f  e.  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
)  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3520, 22, 34syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3635abbi2dv 2552 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
37 df-rab 2718 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
3814anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
39 3anass 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
4038, 39bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) )
4140abbii 2549 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) }
4237, 41eqtri 2457 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }
4336, 42syl6eqr 2487 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
4418, 43ineq12d 3546 . . . 4  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) ) )  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } ) )
45 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
46 r19.26-2 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )
4746anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s ) )  <->  ( ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
48 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
4945, 47, 483bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  ->  ( ( ( f `  ( 1r
`  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) ) )
5150rabbiia 2955 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
52 oveq12 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  ( Base `  s )  /\  v  =  ( Base `  r
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
5352ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
54 raleq 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5554raleqbi1dv 2919 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v 
( ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  s
) ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) )
5756anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) )  <-> 
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) ) )
5853, 57rabeqbidv 2961 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
5913, 12, 58csbie2 3310 . . . . 5  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }
60 inrab 3615 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  i^i  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
6151, 59, 603eqtr4i 2467 . . . 4  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } )
6244, 61syl6reqr 2488 . . 3  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
6362mpt2eq3ia 6146 . 2  |-  ( r  e.  Ring ,  s  e. 
Ring  |->  [_ ( Base `  r
)  /  v ]_ [_ ( Base `  s
)  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )  =  ( r  e. 
Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
641, 63eqtri 2457 1  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2423   A.wral 2709   {crab 2713   [_csb 3281    i^i cin 3320   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088    ^m cmap 7206   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   Mndcmnd 15401   Grpcgrp 15402   MndHom cmhm 15454    GrpHom cghm 15733  mulGrpcmgp 16577   1rcur 16589   Ringcrg 16631   RingHom crh 16790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-0g 14372  df-mhm 15456  df-ghm 15734  df-mgp 16578  df-ur 16590  df-rng 16633  df-rnghom 16792
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