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Theorem dfrhm2 17238
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Distinct variable group:    s, r

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables  v  w  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 17236 . 2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
2 ringgrp 17075 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  r  e. 
Grp )
3 ringgrp 17075 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  s  e. 
Grp )
4 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  r )
5 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  s )
6 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  r )
7 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  s )
84, 5, 6, 7isghm3 16140 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  Grp  /\  s  e.  Grp )  ->  ( f  e.  ( r  GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( r 
GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
109abbi2dv 2604 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) } )
11 df-rab 2826 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
12 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  e.  _V
13 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  e.  _V
1412, 13elmap 7459 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  <-> 
f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s ) )
1514anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) )
1615abbii 2601 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
1711, 16eqtri 2496 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) }
1810, 17syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) } )
19 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  r )
2019ringmgp 17076 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  (mulGrp `  r )  e.  Mnd )
21 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  s )  =  (mulGrp `  s )
2221ringmgp 17076 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )
2319, 4mgpbas 17019 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  (mulGrp `  r
) )
2421, 5mgpbas 17019 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  (mulGrp `  s
) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  r )  =  ( .r `  r
)
2619, 25mgpplusg 17017 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  r )  =  ( +g  `  (mulGrp `  r ) )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  s )  =  ( .r `  s
)
2821, 27mgpplusg 17017 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  s )  =  ( +g  `  (mulGrp `  s ) )
29 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 1r `  r
)
3019, 29rngidval 17027 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 0g `  (mulGrp `  r ) )
31 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 1r `  s
)
3221, 31rngidval 17027 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 0g `  (mulGrp `  s ) )
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 15841 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) )  <->  ( (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  /\  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3433baib 901 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  ->  ( f  e.  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
)  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3520, 22, 34syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3635abbi2dv 2604 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
37 df-rab 2826 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
3814anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
39 3anass 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
4038, 39bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) )
4140abbii 2601 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) }
4237, 41eqtri 2496 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }
4336, 42syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
4418, 43ineq12d 3706 . . . 4  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) ) )  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } ) )
45 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
46 r19.26-2 2995 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )
4746anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s ) )  <->  ( ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
48 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
4945, 47, 483bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  ->  ( ( ( f `  ( 1r
`  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) ) )
5150rabbiia 3107 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
52 oveq12 6304 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  ( Base `  s )  /\  v  =  ( Base `  r
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
5352ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
54 raleq 3063 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5554raleqbi1dv 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v 
( ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  s
) ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) )
5756anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) )  <-> 
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) ) )
5853, 57rabeqbidv 3113 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
5913, 12, 58csbie2 3470 . . . . 5  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }
60 inrab 3775 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  i^i  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
6151, 59, 603eqtr4i 2506 . . . 4  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } )
6244, 61syl6reqr 2527 . . 3  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
6362mpt2eq3ia 6357 . 2  |-  ( r  e.  Ring ,  s  e. 
Ring  |->  [_ ( Base `  r
)  /  v ]_ [_ ( Base `  s
)  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )  =  ( r  e. 
Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
641, 63eqtri 2496 1  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   {crab 2821   [_csb 3440    i^i cin 3480   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297    ^m cmap 7432   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   .rcmulr 14573   Mndcmnd 15793   MndHom cmhm 15837   Grpcgrp 15925    GrpHom cghm 16136  mulGrpcmgp 17013   1rcur 17025   Ringcrg 17070   RingHom crh 17233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mhm 15839  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-rnghom 17236
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