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Theorem dfrhm2 16830
Description: The property of a ring homomorphism can be decomposed into separate homomorphic conditions for addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
dfrhm2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Distinct variable group:    s, r

Proof of Theorem dfrhm2
Dummy variables  v  w  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rnghom 16828 . 2  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
2 rnggrp 16672 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  r  e. 
Grp )
3 rnggrp 16672 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  s  e. 
Grp )
4 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  r )
5 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  s )
6 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  r )  =  ( +g  `  r )
7 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  s )  =  ( +g  `  s )
84, 5, 6, 7isghm3 15769 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  e.  Grp  /\  s  e.  Grp )  ->  ( f  e.  ( r  GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( r 
GrpHom  s )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) ) )
109abbi2dv 2564 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) } )
11 df-rab 2745 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
12 fvex 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  e.  _V
13 fvex 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  e.  _V
1412, 13elmap 7262 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  <-> 
f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s ) )
1514anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) )
1615abbii 2561 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) ) }
1711, 16eqtri 2463 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) ) }
1810, 17syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
r  GrpHom  s )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) } )
19 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  r )  =  (mulGrp `  r )
2019rngmgp 16673 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Ring  ->  (mulGrp `  r )  e.  Mnd )
21 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  (mulGrp `  s )  =  (mulGrp `  s )
2221rngmgp 16673 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Ring  ->  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )
2319, 4mgpbas 16619 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  r )  =  (
Base `  (mulGrp `  r
) )
2421, 5mgpbas 16619 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  s )  =  (
Base `  (mulGrp `  s
) )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  r )  =  ( .r `  r
)
2619, 25mgpplusg 16617 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  r )  =  ( +g  `  (mulGrp `  r ) )
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  s )  =  ( .r `  s
)
2821, 27mgpplusg 16617 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  s )  =  ( +g  `  (mulGrp `  s ) )
29 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 1r `  r
)
3019, 29rngidval 16627 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  r )  =  ( 0g `  (mulGrp `  r ) )
31 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 1r `  s
)
3221, 31rngidval 16627 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  s )  =  ( 0g `  (mulGrp `  s ) )
3323, 24, 26, 28, 30, 32ismhm 15487 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) )  <->  ( (
(mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  /\  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3433baib 896 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  r )  e.  Mnd  /\  (mulGrp `  s )  e.  Mnd )  ->  ( f  e.  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
)  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3520, 22, 34syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
f  e.  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
3635abbi2dv 2564 . . . . . 6  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  |  ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
37 df-rab 2745 . . . . . . 7  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
3814anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
39 3anass 969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : ( Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) )  <-> 
( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) ) )
4038, 39bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )  <->  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) )
4140abbii 2561 . . . . . . 7  |-  { f  |  ( f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }  =  { f  |  ( f : (
Base `  r ) --> ( Base `  s )  /\  A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) }
4237, 41eqtri 2463 . . . . . 6  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }  =  { f  |  ( f : ( Base `  r
) --> ( Base `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) }
4336, 42syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
(mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) )  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )
4418, 43ineq12d 3574 . . . 4  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  (
( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s
) ) )  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } ) )
45 ancom 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
46 r19.26-2 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )
4746anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s ) )  <->  ( ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) )
48 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
4945, 47, 483bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  ->  ( ( ( f `  ( 1r
`  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) )  <->  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) ) )
5150rabbiia 2982 . . . . 5  |-  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
52 oveq12 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  =  ( Base `  s )  /\  v  =  ( Base `  r
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
5352ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
w  ^m  v )  =  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) ) )
54 raleq 2938 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5554raleqbi1dv 2946 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( Base `  r
)  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  ( A. x  e.  v  A. y  e.  v 
( ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) )  /\  ( f `  (
x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r `  s
) ( f `  y ) ) )  <->  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) )
5756anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  (
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) )  <-> 
( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) ) )
5853, 57rabeqbidv 2988 . . . . . 6  |-  ( ( v  =  ( Base `  r )  /\  w  =  ( Base `  s
) )  ->  { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s )  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  (
( f `  (
x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( x
( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s )  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )
5913, 12, 58csbie2 3338 . . . . 5  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s )  /\  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( ( f `
 ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }
60 inrab 3643 . . . . 5  |-  ( { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s
) ( f `  y ) ) }  i^i  { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  |  ( A. x  e.  ( Base `  r
) A. y  e.  ( Base `  r
) ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r
`  s ) ) } )  =  {
f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) )  /\  ( A. x  e.  ( Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `
 ( x ( .r `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( .r
`  s ) ( f `  y ) )  /\  ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) ) }
6151, 59, 603eqtr4i 2473 . . . 4  |-  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( { f  e.  ( ( Base `  s
)  ^m  ( Base `  r ) )  | 
A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( +g  `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( +g  `  s ) ( f `  y
) ) }  i^i  { f  e.  ( (
Base `  s )  ^m  ( Base `  r
) )  |  ( A. x  e.  (
Base `  r ) A. y  e.  ( Base `  r ) ( f `  ( x ( .r `  r
) y ) )  =  ( ( f `
 x ) ( .r `  s ) ( f `  y
) )  /\  (
f `  ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
) ) } )
6244, 61syl6reqr 2494 . . 3  |-  ( ( r  e.  Ring  /\  s  e.  Ring )  ->  [_ ( Base `  r )  / 
v ]_ [_ ( Base `  s )  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) }  =  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
6362mpt2eq3ia 6172 . 2  |-  ( r  e.  Ring ,  s  e. 
Ring  |->  [_ ( Base `  r
)  /  v ]_ [_ ( Base `  s
)  /  w ]_ { f  e.  ( w  ^m  v )  |  ( ( f `
 ( 1r `  r ) )  =  ( 1r `  s
)  /\  A. x  e.  v  A. y  e.  v  ( (
f `  ( x
( +g  `  r ) y ) )  =  ( ( f `  x ) ( +g  `  s ) ( f `
 y ) )  /\  ( f `  ( x ( .r
`  r ) y ) )  =  ( ( f `  x
) ( .r `  s ) ( f `
 y ) ) ) ) } )  =  ( r  e. 
Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r ) MndHom  (mulGrp `  s ) ) ) )
641, 63eqtri 2463 1  |- RingHom  =  ( r  e.  Ring ,  s  e.  Ring  |->  ( ( r  GrpHom  s )  i^i  ( (mulGrp `  r
) MndHom  (mulGrp `  s )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2736   {crab 2740   [_csb 3309    i^i cin 3348   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114    ^m cmap 7235   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   .rcmulr 14260   Mndcmnd 15430   Grpcgrp 15431   MndHom cmhm 15483    GrpHom cghm 15765  mulGrpcmgp 16613   1rcur 16625   Ringcrg 16667   RingHom crh 16826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-mhm 15485  df-ghm 15766  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669  df-rnghom 16828
This theorem is referenced by:  rhmrcl1  16831  rhmrcl2  16832  isrhm  16833  zrhval  17961
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