Theorem dfrel2 5308

Description: Alternate definition of relation. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfrel2	|- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Proof of Theorem dfrel2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5229	. . 3 |- Rel `' `' R
2		vex 3060	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 3060	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opelcnv 5038	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. y , x >. e. `' R )
5	3, 2	opelcnv 5038	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' R <-> <. x , y >. e. R )
6	4, 5	bitri 257	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. `' `' R <-> <. x , y >. e. R )
7	6	eqrelriv 4950	. . 3 |- ( ( Rel `' `' R /\ Rel R ) -> `' `' R = R )
8	1, 7	mpan 681	. 2 |- ( Rel R -> `' `' R = R )
9		releq 4939	. . 3 |- ( `' `' R = R -> ( Rel `' `' R <-> Rel R ) )
10	1, 9	mpbii 216	. 2 |- ( `' `' R = R -> Rel R )
11	8, 10	impbii 192	1 |- ( Rel R <-> `' `' R = R )

Syntax hints:   <-> wb 189   = wceq 1455   e. wcel 1898   <.cop 3986   `'ccnv 4855   Rel wrel 4861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pr 4656

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-br 4419  df-opab 4478  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864

This theorem is referenced by:  dfrel4v  5309  cnvcnv  5311  cnveqb  5314  dfrel3  5316  cnvcnvres  5322  cnvsn  5342  cores2  5371  co01  5373  coi2  5375  relcnvtr  5378  funcnvres2  5680  f1cnvcnv  5814  f1ocnv  5853  f1ocnvb  5854  f1ococnv1  5869  isores1  6255  relcnvexb  6773  cnvf1o  6927  fnwelem  6943  tposf12  7029  ssenen  7777  cantnffval2  8231  fsumcnv  13889  fprodcnv  14092  structcnvcnv  15187  imasless  15501  oppcinv  15740  cnvps  16513  cnvpsb  16514  cnvtsr  16523  gimcnv  16986  lmimcnv  18345  hmeocnv  20832  hmeocnvb  20844  cmphaushmeo  20870  ustexsym  21285  pi1xfrcnv  22143  dvlog  23652  efopnlem2  23658  fimacnvinrn  28288  gtiso  28333  f1ocan2fv  32100  ltrncnvnid  33738  relintab  36235  cnvssb  36238  relnonrel  36239  cononrel1  36246  cononrel2  36247  clrellem  36275  clcnvlem  36276  relexpaddss  36356