Theorem dfrecs3 7096

Description: The old definition of transfinite recursion. This version is preferred for developement, as it demonstrates the properties of transfinite recursion without relying on well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrecs3	|- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Distinct variable group:   f, F, x, y

Proof of Theorem dfrecs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-recs 7095	. 2 |- recs ( F ) = wrecs ( _E , On , F )
2		df-wrecs 7033	. 2 |- wrecs ( _E , On , F ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) }
3		3anass 986	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) )
4		vex 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
5	4	elon 5448	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On <-> Ord x )
6		ordsson 6627	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> x C_ On )
7		ordtr 5453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
8	6, 7	jca 534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord x -> ( x C_ On /\ Tr x ) )
9		epweon 6621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _E We On
10		wess 4837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ On -> ( _E We On -> _E We x ) )
11	9, 10	mpi 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ On -> _E We x )
12	11	anim2i 571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Tr x /\ x C_ On ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
13	12	ancoms 454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
14		df-ord 5442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
15	13, 14	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> Ord x )
16	8, 15	impbii 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord x <-> ( x C_ On /\ Tr x ) )
17		ssel2 3459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> y e. On )
18		predon 6629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> Pred ( _E , On , y ) = y )
19	18	sseq1d 3491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. On -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
21	20	ralbidva 2861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ On -> ( A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> A. y e. x y C_ x ) )
22		dftr3 4519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
23	21, 22	syl6rbbr 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ On -> ( Tr x <-> A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
24	23	pm5.32i 641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
25	5, 16, 24	3bitri 274	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
26	25	anbi1i 699	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) )
27		onelon 5464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
28	18	reseq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) = ( f |` y ) )
29	28	fveq2d 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
30	29	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
32	31	ralbidva 2861	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
33	32	pm5.32i 641	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
34	26, 33	bitr3i 254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
35	34	anbi2i 698	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
36		an12 804	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
37	3, 35, 36	3bitri 274	. . . . . 6 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
38	37	exbii 1712	. . . . 5 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
39		df-rex 2781	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
40	38, 39	bitr4i 255	. . . 4 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
41	40	abbii 2556	. . 3 |- { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
42	41	unieqi 4225	. 2 |- U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
43	1, 2, 42	3eqtri 2455	1 |- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Syntax hints:   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   {cab 2407   A.wral 2775   E.wrex 2776   C_ wss 3436   U.cuni 4216   Tr wtr 4515   _E cep 4759   We wwe 4808   |` cres 4852   Predcpred 5395   Ord word 5438   Oncon0 5439   Fn wfn 5593   ` cfv 5598  wrecscwrecs 7032  recscrecs 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657  ax-un 6594

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-br 4421  df-opab 4480  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-iota 5562  df-fv 5606  df-wrecs 7033  df-recs 7095

This theorem is referenced by:  recsfval  7104  tfrlem9  7108  dfrdg2  30437  dfrecs2  30710