Theorem dfrecs3 7096

Description: The old definition of transfinite recursion. This version is preferred for developement, as it demonstrates the properties of transfinite recursion without relying on well-founded recursion. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dfrecs3	|- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Distinct variable group:   f, F, x, y

Proof of Theorem dfrecs3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-recs 7095	. 2 |- recs ( F ) = wrecs ( _E , On , F )
2		df-wrecs 7033	. 2 |- wrecs ( _E , On , F ) = U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) }
3		3anass 990	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) )
4		vex 3050	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
5	4	elon 5435	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On <-> Ord x )
6		ordsson 6621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> x C_ On )
7		ordtr 5440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x -> Tr x )
8	6, 7	jca 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord x -> ( x C_ On /\ Tr x ) )
9		epweon 6615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _E We On
10		wess 4824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ On -> ( _E We On -> _E We x ) )
11	9, 10	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ On -> _E We x )
12	11	anim2i 573	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Tr x /\ x C_ On ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
13	12	ancoms 455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> ( Tr x /\ _E We x ) )
14		df-ord 5429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
15	13, 14	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) -> Ord x )
16	8, 15	impbii 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord x <-> ( x C_ On /\ Tr x ) )
17		ssel2 3429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> y e. On )
18		predon 6623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> Pred ( _E , On , y ) = y )
19	18	sseq1d 3461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. On -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x C_ On /\ y e. x ) -> ( Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> y C_ x ) )
21	20	ralbidva 2826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ On -> ( A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x <-> A. y e. x y C_ x ) )
22		dftr3 4504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
23	21, 22	syl6rbbr 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ On -> ( Tr x <-> A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
24	23	pm5.32i 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x C_ On /\ Tr x ) <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
25	5, 16, 24	3bitri 275	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On <-> ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) )
26	25	anbi1i 702	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) )
27		onelon 5451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
28	18	reseq2d 5108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) = ( f |` y ) )
29	28	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) = ( F ` ( f |` y ) ) )
30	29	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. On -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
31	27, 30	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> ( ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
32	31	ralbidva 2826	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) <-> A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
33	32	pm5.32i 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
34	26, 33	bitr3i 255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
35	34	anbi2i 701	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) ) <-> ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
36		an12 807	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn x /\ ( x e. On /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
37	3, 35, 36	3bitri 275	. . . . . 6 |- ( ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
38	37	exbii 1720	. . . . 5 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
39		df-rex 2745	. . . . 5 |- ( E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) <-> E. x ( x e. On /\ ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) ) )
40	38, 39	bitr4i 256	. . . 4 |- ( E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) <-> E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) )
41	40	abbii 2569	. . 3 |- { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
42	41	unieqi 4210	. 2 |- U. { f | E. x ( f Fn x /\ ( x C_ On /\ A. y e. x Pred ( _E , On , y ) C_ x ) /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` Pred ( _E , On , y ) ) ) ) } = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
43	1, 2, 42	3eqtri 2479	1 |- recs ( F ) = U. { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }

Syntax hints:   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   E.wex 1665   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   E.wrex 2740   C_ wss 3406   U.cuni 4201   Tr wtr 4500   _E cep 4746   We wwe 4795   |` cres 4839   Predcpred 5382   Ord word 5425   Oncon0 5426   Fn wfn 5580   ` cfv 5585  wrecscwrecs 7032  recscrecs 7094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-iota 5549  df-fv 5593  df-wrecs 7033  df-recs 7095

This theorem is referenced by:  recsfval  7104  tfrlem9  7108  dfrdg2  30454  dfrecs2  30729