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Theorem dfrdg4 29572
Description: A quantifier-free definition of the recursive definition generator. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg4  |-  rec ( F ,  A )  =  U. ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )

Proof of Theorem dfrdg4
Dummy variables  a 
b  f  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrdg3 29201 . 2  |-  rec ( F ,  A )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
2 an12 795 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
3 df-fn 5578 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  x  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  =  x ) )
4 ancom 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  =  x )  <->  ( dom  f  =  x  /\  Fun  f ) )
5 eqcom 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  x  <->  x  =  dom  f )
65anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  f  =  x  /\  Fun  f )  <-> 
( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
73, 4, 63bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  x  <->  ( x  =  dom  f  /\  Fun  f ) )
87anbi1i 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  x  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
9 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  =  dom  f  /\  Fun  f )  /\  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) ) )
102, 8, 93bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) ) )
1110exbii 1652 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )  <->  E. x
( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) ) )
12 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
1312dmex 6715 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
14 eleq1 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( x  e.  On  <->  dom  f  e.  On ) )
15 raleq 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1614, 15anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
1716anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( ( Fun  f  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) ) )
1813, 17ceqsexv 3130 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  ( Fun  f  /\  (
x  e.  On  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
1911, 18bitri 249 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
20 df-rex 2797 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x ( x  e.  On  /\  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
21 eldif 3469 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) ) )
22 elin 3670 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) ) )
2312elfuns 29537 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  Funs  <->  Fun  f )
2412elima 5329 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  E. x  e.  On  x `'Domain f )
25 df-rex 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  On  x `'Domain f  <->  E. x ( x  e.  On  /\  x `'Domain f ) )
26 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  On  /\  x `'Domain f )  <->  ( x `'Domain f  /\  x  e.  On ) )
27 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
2827, 12brcnv 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x `'Domain f  <->  fDomain x )
2912, 27brdomain 29555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( fDomain
x  <->  x  =  dom  f )
3028, 29bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x `'Domain f  <->  x  =  dom  f )
3130anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x `'Domain f  /\  x  e.  On )  <->  ( x  =  dom  f  /\  x  e.  On ) )
3226, 31bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  On  /\  x `'Domain f )  <->  ( x  =  dom  f  /\  x  e.  On ) )
3332exbii 1652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  x `'Domain
f )  <->  E. x
( x  =  dom  f  /\  x  e.  On ) )
3413, 14ceqsexv 3130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  x  e.  On )  <->  dom  f  e.  On )
3533, 34bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x ( x  e.  On  /\  x `'Domain
f )  <->  dom  f  e.  On )
3624, 25, 353bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( `'Domain " On ) 
<->  dom  f  e.  On )
3723, 36anbi12i 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  Funs  /\  f  e.  ( `'Domain " On ) )  <->  ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
3822, 37bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  <-> 
( Fun  f  /\  dom  f  e.  On ) )
3938anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  -.  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) ) )
40 brdif 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y  <->  ( f
( `'  _E  o. Domain ) y  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) ) y ) )
41 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
4212, 41brco 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f ( `'  _E  o. Domain ) y  <->  E. x ( fDomain
x  /\  x `'  _E  y ) )
4329anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( fDomain x  /\  x `'  _E  y )  <->  ( x  =  dom  f  /\  x `'  _E  y ) )
4443exbii 1652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
)  <->  E. x ( x  =  dom  f  /\  x `'  _E  y
) )
45 breq1 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  dom  f  -> 
( x `'  _E  y 
<->  dom  f `'  _E  y ) )
4613, 45ceqsexv 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x ( x  =  dom  f  /\  x `'  _E  y )  <->  dom  f `'  _E  y )
4744, 46bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x ( fDomain x  /\  x `'  _E  y
)  <->  dom  f `'  _E  y )
4813, 41brcnv 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  f `'  _E  y  <->  y  _E  dom  f )
4913epelc 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  _E  dom  f  <->  y  e.  dom  f )
5048, 49bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  f `'  _E  y  <->  y  e.  dom  f )
5142, 47, 503bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f ( `'  _E  o. Domain ) y  <->  y  e.  dom  f )
5251anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f ( `'  _E  o. Domain ) y  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y ) )
5340, 52bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y ) )
54 onelon 4890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f
)  ->  y  e.  On )
55543adant1 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
y  e.  On )
56 brun 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  <-> 
( <. f ,  y
>. ( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } ) x  \/ 
<. f ,  y >.
( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) x ) )
57 brxp 5017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } ) x  <->  ( <. f ,  y >.  e.  ( _V  X.  { (/) } )  /\  x  e. 
{ U. { A } } ) )
58 opelxp 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  { (/)
} )  <->  ( f  e.  _V  /\  y  e. 
{ (/) } ) )
5912, 58mpbiran 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  { (/)
} )  <->  y  e.  {
(/) } )
60 elsn 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  e.  { (/) }  <->  y  =  (/) )
6159, 60bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  { (/)
} )  <->  y  =  (/) )
62 elsn 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  { U. { A } }  <->  x  =  U. { A } )
6361, 62anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. f ,  y >.  e.  ( _V  X.  { (/)
} )  /\  x  e.  { U. { A } } )  <->  ( y  =  (/)  /\  x  = 
U. { A }
) )
6457, 63bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } ) x  <->  ( y  =  (/)  /\  x  = 
U. { A }
) )
65 brun 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) x  <->  ( <. f ,  y >. (
( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) ) x  \/  <. f ,  y
>. ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) x ) )
6627brres 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) ) x  <->  ( <. f ,  y >. ( Bigcup  o. Img ) x  /\  <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  Limits ) ) )
67 opex 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  <. f ,  y >.  e.  _V
6867, 27brco 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( <.
f ,  y >.
( Bigcup  o. Img ) x  <->  E. z ( <. f ,  y >.Img z  /\  z Bigcup x ) )
69 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  z  e. 
_V
7012, 41, 69brimg 29559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( <.
f ,  y >.Img z 
<->  z  =  ( f
" y ) )
7127brbigcup 29520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z
Bigcup x  <->  U. z  =  x )
7270, 71anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
<. f ,  y >.Img z  /\  z Bigcup x )  <-> 
( z  =  ( f " y )  /\  U. z  =  x ) )
7372exbii 1652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. z ( <. f ,  y >.Img z  /\  z Bigcup x )  <->  E. z
( z  =  ( f " y )  /\  U. z  =  x ) )
74 imaexg 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " y )  e.  _V )
7512, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f
" y )  e. 
_V
76 unieq 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  =  ( f "
y )  ->  U. z  =  U. ( f "
y ) )
7776eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  =  ( f "
y )  ->  ( U. z  =  x  <->  U. ( f " y
)  =  x ) )
7875, 77ceqsexv 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( E. z ( z  =  ( f " y
)  /\  U. z  =  x )  <->  U. (
f " y )  =  x )
79 eqcom 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( U. ( f " y
)  =  x  <->  x  =  U. ( f " y
) )
8078, 79bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. z ( z  =  ( f " y
)  /\  U. z  =  x )  <->  x  =  U. ( f " y
) )
8168, 73, 803bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
f ,  y >.
( Bigcup  o. Img ) x  <->  x  =  U. ( f
" y ) )
82 opelxp 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  Limits )  <-> 
( f  e.  _V  /\  y  e.  Limits ) )
8312, 82mpbiran 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  Limits )  <-> 
y  e.  Limits )
8441ellimits 29532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  Limits 
<->  Lim  y )
8583, 84bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  Limits )  <->  Lim  y )
8681, 85anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
<. f ,  y >.
( Bigcup  o. Img ) x  /\  <. f ,  y
>.  e.  ( _V  X.  Limits ) )  <->  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) ) )
8766, 86bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) ) x  <->  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) ) )
8827brres 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( <.
f ,  y >.
( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) x  <->  ( <. f ,  y >. (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) ) x  /\  <. f ,  y >.  e.  ( _V  X.  ran Succ )
) )
8967, 27brco 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun F  o.  (Apply  o. pprod
(  _I  ,  Bigcup ) ) ) x  <->  E. a
( <. f ,  y
>. (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) a  /\  aFullFun F x ) )
90 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  a  e. 
_V
9167, 90brco 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( <.
f ,  y >.
(Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) a  <->  E. z
( <. f ,  y
>.pprod (  _I  ,  Bigcup ) z  /\  zApply a
) )
9212, 41, 69brpprod3a 29508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( <.
f ,  y >.pprod (  _I  ,  Bigcup ) z  <->  E. a E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  f  _I  a  /\  y Bigcup b ) )
93 3anrot 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( z  =  <. a ,  b >.  /\  f  _I  a  /\  y Bigcup b )  <->  ( f  _I  a  /\  y Bigcup b  /\  z  = 
<. a ,  b >.
) )
9490ideq 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( f  _I  a  <->  f  =  a )
95 equcom 1778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( f  =  a  <->  a  =  f )
9694, 95bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( f  _I  a  <->  a  =  f )
97 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  b  e. 
_V
9897brbigcup 29520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( y
Bigcup b  <->  U. y  =  b )
99 eqcom 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( U. y  =  b  <->  b  =  U. y )
10098, 99bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( y
Bigcup b  <->  b  =  U. y )
101 biid 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( z  =  <. a ,  b
>. 
<->  z  =  <. a ,  b >. )
10296, 100, 1013anbi123i 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( f  _I  a  /\  y Bigcup b  /\  z  =  <. a ,  b
>. )  <->  ( a  =  f  /\  b  = 
U. y  /\  z  =  <. a ,  b
>. ) )
10393, 102bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( z  =  <. a ,  b >.  /\  f  _I  a  /\  y Bigcup b )  <->  ( a  =  f  /\  b  =  U. y  /\  z  =  <. a ,  b
>. ) )
1041032exbii 1653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( E. a E. b ( z  =  <. a ,  b >.  /\  f  _I  a  /\  y Bigcup b )  <->  E. a E. b ( a  =  f  /\  b  = 
U. y  /\  z  =  <. a ,  b
>. ) )
10541uniex 6578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  U. y  e.  _V
106 opeq1 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( a  =  f  ->  <. a ,  b >.  =  <. f ,  b >. )
107106eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( a  =  f  ->  (
z  =  <. a ,  b >.  <->  z  =  <. f ,  b >.
) )
108 opeq2 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( b  =  U. y  ->  <. f ,  b >.  =  <. f ,  U. y >. )
109108eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( b  =  U. y  -> 
( z  =  <. f ,  b >.  <->  z  =  <. f ,  U. y >. ) )
11012, 105, 107, 109ceqsex2v 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( E. a E. b ( a  =  f  /\  b  =  U. y  /\  z  =  <. a ,  b >. )  <->  z  =  <. f ,  U. y >. )
11192, 104, 1103bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( <.
f ,  y >.pprod (  _I  ,  Bigcup ) z  <-> 
z  =  <. f ,  U. y >. )
112111anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
<. f ,  y >.pprod (  _I  ,  Bigcup ) z  /\  zApply a )  <-> 
( z  =  <. f ,  U. y >.  /\  zApply a ) )
113112exbii 1652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. z ( <. f ,  y >.pprod (  _I  ,  Bigcup ) z  /\  zApply a )  <->  E. z
( z  =  <. f ,  U. y >.  /\  zApply a ) )
114 opex 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  <. f ,  U. y >.  e.  _V
115 breq1 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( z  =  <. f ,  U. y >.  ->  ( zApply a 
<-> 
<. f ,  U. y >.Apply a ) )
116114, 115ceqsexv 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( E. z ( z  = 
<. f ,  U. y >.  /\  zApply a )  <->  <. f ,  U. y >.Apply a )
11712, 105, 90brapply 29560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( <.
f ,  U. y >.Apply a  <->  a  =  ( f `  U. y
) )
118116, 117bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( E. z ( z  = 
<. f ,  U. y >.  /\  zApply a )  <-> 
a  =  ( f `
 U. y ) )
11991, 113, 1183bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( <.
f ,  y >.
(Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) a  <->  a  =  ( f `  U. y ) )
12090, 27brfullfun 29570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( aFullFun
F x  <->  x  =  ( F `  a ) )
121119, 120anbi12i 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
<. f ,  y >.
(Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) a  /\  aFullFun F x )  <->  ( a  =  ( f `  U. y )  /\  x  =  ( F `  a ) ) )
122121exbii 1652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. a ( <. f ,  y >. (Apply  o. pprod
(  _I  ,  Bigcup ) ) a  /\  aFullFun F x )  <->  E. a
( a  =  ( f `  U. y
)  /\  x  =  ( F `  a ) ) )
123 fvex 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f `
 U. y )  e.  _V
124 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( a  =  ( f `  U. y )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) )
125124eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  =  ( f `  U. y )  ->  (
x  =  ( F `
 a )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )
126123, 125ceqsexv 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. a ( a  =  ( f `  U. y )  /\  x  =  ( F `  a ) )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) )
12789, 122, 1263bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
f ,  y >.
(FullFun F  o.  (Apply  o. pprod
(  _I  ,  Bigcup ) ) ) x  <->  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) )
128 opelxp 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  ran Succ )  <-> 
( f  e.  _V  /\  y  e.  ran Succ )
)
12912, 128mpbiran 916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  ran Succ )  <-> 
y  e.  ran Succ )
13041elrn 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  e.  ran Succ  <->  E. z  zSucc y )
13169, 41brsuccf 29563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( zSucc y  <->  y  =  suc  z )
132131exbii 1652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. z  zSucc y  <->  E. z 
y  =  suc  z
)
133129, 130, 1323bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  ran Succ )  <->  E. z  y  =  suc  z )
134127, 133anbi12ci 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
<. f ,  y >.
(FullFun F  o.  (Apply  o. pprod
(  _I  ,  Bigcup ) ) ) x  /\  <.
f ,  y >.  e.  ( _V  X.  ran Succ ) )  <->  ( E. z 
y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )
13588, 134bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( <.
f ,  y >.
( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) x  <->  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )
13687, 135orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
<. f ,  y >.
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) ) x  \/  <. f ,  y >. (
(FullFun F  o.  (Apply  o. pprod
(  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) )
x )  <->  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
13765, 136bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) x  <->  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
13864, 137orbi12i 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. f ,  y >.
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } ) x  \/ 
<. f ,  y >.
( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) x )  <-> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
13956, 138bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <.
f ,  y >.
( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  <-> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
140 onzsl 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  On  <->  ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  ( y  e.  _V  /\  Lim  y
) ) )
141 nlim0 4923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  Lim  (/)
142 limeq 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  ( Lim  y  <->  Lim  (/) ) )
143141, 142mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  Lim  y )
144143intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) ) )
145 nsuceq0 4945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  suc  z  =/=  (/)
146 neeq2 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  =  (/)  ->  ( suc  z  =/=  y  <->  suc  z  =/=  (/) ) )
147145, 146mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y  =  (/)  ->  suc  z  =/=  y )
148147necomd 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  =  (/)  ->  y  =/= 
suc  z )
149148neneqd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  y  =  suc  z )
150149nexdv 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  E. z  y  =  suc  z )
151150intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )
152 ioran 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( -.  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  <->  ( -.  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  /\  -.  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
153144, 151, 152sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
154 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  ->  ( (
( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  ->  ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } ) ) )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  ->  ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } ) ) )
156 iftrue 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  =  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) )
157 unisnif 29547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  U. { A }  =  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) )
158156, 157syl6eqr 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  (/)  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  = 
U. { A }
)
159158eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  x  =  U. { A } ) )
160159biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  U. { A }  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
161160adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
162155, 161syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
163159biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  ->  x  =  U. { A } ) )
164163anc2li 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } ) ) )
165 orc 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  ->  ( (
y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
166164, 165syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
167162, 166impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
168 neeq1 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =/=  (/)  <->  suc  z  =/=  (/) ) )
169145, 168mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  suc  z  -> 
y  =/=  (/) )
170169neneqd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  suc  z  ->  -.  y  =  (/) )
171170intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( y  =  suc  z  ->  -.  ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } ) )
172171rexlimivw 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  -.  ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } ) )
173 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  ->  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
174172, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  ->  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
175 nlimsucg 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  z )
17669, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  Lim  suc  z
177 limeq 4877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( Lim  y  <->  Lim  suc  z
) )
178176, 177mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( y  =  suc  z  ->  -.  Lim  y )
179178rexlimivw 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  -.  Lim  y )
180179intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  -.  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) ) )
181 orel1 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( -.  ( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  ->  ( (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
182180, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  ->  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
183145neii 2640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  -.  suc  z  =  (/)
184183iffalsei 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) )
185 iffalse 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -. 
Lim  suc  z  ->  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
18669, 175, 185mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) )
187184, 186eqtri 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  if ( suc  z  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) )  =  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) )
188 eqeq1 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( y  =  (/)  <->  suc  z  =  (/) ) )
189 unieq 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( y  =  suc  z  ->  U. y  =  U. suc  z )
190189fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( f `  U. y )  =  ( f `  U. suc  z ) )
191190fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( F `  (
f `  U. y ) )  =  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) )
192177, 191ifbieq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( Lim  y , 
U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) )  =  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. suc  z
) ) ) )
193188, 192ifbieq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( suc  z  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  suc  z ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. suc  z ) ) ) ) )
194187, 193, 1913eqtr4a 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. y ) ) )
195194rexlimivw 2930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  ( F `
 ( f `  U. y ) ) )
196195eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )
197196biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  U. y ) )  ->  x  =  if (
y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
198197adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
199174, 182, 1983syld 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
200 rexex 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  E. z 
y  =  suc  z
)
201196biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  ->  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )
202 olc 384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  ->  ( ( Lim  y  /\  x  = 
U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
203202olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  ->  ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
204200, 201, 203syl6an 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
205199, 204impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( E. z  e.  On  y  =  suc  z  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
206143con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Lim  y  ->  -.  y  =  (/) )
207206intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  y  ->  -.  (
y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
) )
208207, 173syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Lim  y  ->  ( (
( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  ->  ( ( Lim  y  /\  x  = 
U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
209178exlimiv 1707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( E. z  y  =  suc  z  ->  -.  Lim  y )
210209con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Lim  y  ->  -.  E. z 
y  =  suc  z
)
211210intnanrd 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  y  ->  -.  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )
212 orel2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( -.  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  ->  ( ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) )  ->  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) ) ) )
213211, 212syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Lim  y  ->  ( (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) ) ) )
214206iffalsed 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  =  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )
215 iftrue 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( Lim  y  ->  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) )  =  U. ( f
" y ) )
216214, 215eqtrd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( Lim  y  ->  if (
y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  = 
U. ( f "
y ) )
217216eqeq2d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( Lim  y  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  <->  x  =  U. ( f " y
) ) )
218217biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  y  ->  ( x  =  U. ( f "
y )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
219218adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Lim  y  ->  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  ->  x  =  if (
y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
220208, 213, 2193syld 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Lim  y  ->  ( (
( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  (
( Lim  y  /\  x  =  U. (
f " y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
221220adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Lim  y )  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  ->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
222217biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Lim  y  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  ->  x  =  U. ( f " y
) ) )
223222anc2li 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Lim  y  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  ->  ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) ) ) )
224 orc 385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  -> 
( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )
225224olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  -> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
226223, 225syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Lim  y  ->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  ->  ( (
y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
227226adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Lim  y )  ->  (
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  -> 
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
228221, 227impbid 191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  _V  /\  Lim  y )  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
229167, 205, 2283jaoi 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  =  (/)  \/  E. z  e.  On  y  =  suc  z  \/  (
y  e.  _V  /\  Lim  y ) )  -> 
( ( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A }
)  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f "
y ) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
230140, 229sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  On  ->  (
( ( y  =  (/)  /\  x  =  U. { A } )  \/  ( ( Lim  y  /\  x  =  U. ( f " y
) )  \/  ( E. z  y  =  suc  z  /\  x  =  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
231139, 230syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  e.  On  ->  ( <. f ,  y >.
( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  <-> 
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
23255, 231syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( <. f ,  y
>. ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  <-> 
x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
23327, 67brcnv 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<-> 
<. f ,  y >.Apply x )
23412, 41, 27brapply 29560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <.
f ,  y >.Apply x 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
235233, 234bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x `'Apply <. f ,  y
>. 
<->  x  =  ( f `
 y ) )
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( x `'Apply <. f ,  y >.  <->  x  =  ( f `  y
) ) )
237232, 236anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( <. f ,  y >. (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  /\  x  =  ( f `  y
) ) ) )
238 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  /\  x  =  ( f `  y ) )  <->  ( x  =  ( f `  y )  /\  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
239237, 238syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( ( <. f ,  y >. (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y
>. )  <->  ( x  =  ( f `  y
)  /\  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
240239exbidv 1699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( E. x (
<. f ,  y >.
( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )  <->  E. x ( x  =  ( f `  y
)  /\  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
241 df-br 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y  <->  <. f ,  y
>.  e.  Fix ( `'Apply 
o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) )
24267elfix 29525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
f ,  y >.  e.  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) )  <->  <. f ,  y >.
( `'Apply  o.  (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) ) <. f ,  y >. )
24367, 67brco 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <.
f ,  y >.
( `'Apply  o.  (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) ) <. f ,  y >.  <->  E. x
( <. f ,  y
>. ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )
)
244241, 242, 2433bitri 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y  <->  E. x ( <.
f ,  y >.
( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) x  /\  x `'Apply <. f ,  y >. )
)
245 fvex 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f `
 y )  e. 
_V
246245eqvinc 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  E. x
( x  =  ( f `  y )  /\  x  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
247240, 244, 2463bitr4g 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
248247notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On  /\  y  e.  dom  f )  -> 
( -.  f Fix ( `'Apply  o.  (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) ) y  <->  -.  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
2492483expia 1197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( y  e.  dom  f  ->  ( -.  f Fix ( `'Apply  o.  (
( ( _V  X.  { (/) } )  X. 
{ U. { A } } )  u.  (
( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun
F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ ) ) ) ) ) y  <->  -.  (
f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
250249pm5.32d 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
dom  f  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y )  <->  ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
251 annim 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  dom  f  /\  -.  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  -.  (
y  e.  dom  f  ->  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
252250, 251syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( ( y  e. 
dom  f  /\  -.  f Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) y )  <->  -.  (
y  e.  dom  f  ->  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
25353, 252syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( f ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y  <->  -.  (
y  e.  dom  f  ->  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
254253exbidv 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( E. y  f ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y  <->  E. y  -.  ( y  e.  dom  f  ->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
255 exnal 1633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  -.  ( y  e.  dom  f  -> 
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  -.  A. y ( y  e.  dom  f  -> 
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
256254, 255syl6rbb 262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( -.  A. y
( y  e.  dom  f  ->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  E. y 
f ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y ) )
25712eldm 5187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) )  <->  E. y  f ( ( `'  _E  o. Domain ) 
\  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V 
X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( ( Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) y )
258256, 257syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( -.  A. y
( y  e.  dom  f  ->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  f  e.  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) ) )
259258con1bid 330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) )  <->  A. y ( y  e.  dom  f  -> 
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
260 df-ral 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y
( y  e.  dom  f  ->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
261259, 260syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  ->  ( -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) )  <->  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
262261pm5.32i 637 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e.  dom  f ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) )
263 anass 649 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  A. y  e. 
dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
264262, 263bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  f  /\  dom  f  e.  On )  /\  -.  f  e. 
dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
26521, 39, 2643bitri 271 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( dom  f  e.  On  /\  A. y  e.  dom  f ( f `
 y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) ) )
26619, 20, 2653bitr4ri 278 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
267266abbi2i 2574 . . 3  |-  ( (
Funs  i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  =  {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e. 
_V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }
268267unieqi 4240 . 2  |-  U. (
( Funs  i^i  ( `'Domain " On ) ) 
\  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( A  e.  _V ,  A ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
2691, 268eqtr4i 2473 1  |-  rec ( F ,  A )  =  U. ( ( Funs 
i^i  ( `'Domain " On ) )  \  dom  ( ( `'  _E  o. Domain )  \  Fix ( `'Apply  o.  ( ( ( _V  X.  { (/) } )  X.  { U. { A } } )  u.  ( ( (
Bigcup  o. Img )  |`  ( _V  X.  Limits ) )  u.  ( (FullFun F  o.  (Apply  o. pprod (  _I  ,  Bigcup ) ) )  |`  ( _V  X.  ran Succ )
) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 971    /\ w3a 972   A.wal 1379    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   {cab 2426    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    \ cdif 3456    u. cun 3457    i^i cin 3458   (/)c0 3768   ifcif 3923   {csn 4011   <.cop 4017   U.cuni 4231   class class class wbr 4434    _E cep 4776    _I cid 4777   Oncon0 4865   Lim wlim 4866   suc csuc 4867    X. cxp 4984   `'ccnv 4985   dom cdm 4986   ran crn 4987    |` cres 4988   "cima 4989    o. ccom 4990   Fun wfun 5569    Fn wfn 5570   ` cfv 5575   reccrdg 7074  pprodcpprod 29452   Bigcupcbigcup 29455   Fixcfix 29456   Limitsclimits 29457   Funscfuns 29458  Imgcimg 29463  Domaincdomain 29464  Applycapply 29466  Succcsuccf 29469  FullFuncfullfn 29471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-symdif 29440  df-txp 29475  df-pprod 29476  df-bigcup 29479  df-fix 29480  df-limits 29481  df-funs 29482  df-singleton 29483  df-singles 29484  df-image 29485  df-cart 29486  df-img 29487  df-domain 29488  df-cup 29490  df-succf 29493  df-apply 29494  df-funpart 29495  df-fullfun 29496
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