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Theorem dfrdg3 29156
Description: Generalization of dfrdg2 29155 to remove sethood requirement. (Contributed by Scott Fenton, 27-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
dfrdg3  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Distinct variable groups:    f, F, x, y    f, I, x, y

Proof of Theorem dfrdg3
StepHypRef Expression
1 dfrdg2 29155 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2 iftrue 3951 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  I )
32ifeq1d 3963 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
43eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
54ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
76rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
87abbidv 2603 . . . 4  |-  ( I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
98unieqd 4261 . . 3  |-  ( I  e.  _V  ->  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  I ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
101, 9eqtr4d 2511 . 2  |-  ( I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
11 0ex 4583 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
12 dfrdg2 29155 . . . 4  |-  ( (/)  e.  _V  ->  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) } )
1311, 12ax-mp 5 . . 3  |-  rec ( F ,  (/) )  = 
U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
14 rdgprc 29154 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  rec ( F ,  (/) ) )
15 iffalse 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) )  =  (/) )
1615ifeq1d 3963 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )
1716eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1817ralbidv 2906 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) )  <->  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) )
1918anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <-> 
( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2019rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) )  <->  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) ) )
2120abbidv 2603 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) }  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2221unieqd 4261 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  U. { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  (/) ,  if ( Lim  y ,  U. (
f " y ) ,  ( F `  ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2313, 14, 223eqtr4a 2534 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  rec ( F ,  I
)  =  U. {
f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e. 
_V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f " y
) ,  ( F `
 ( f `  U. y ) ) ) ) ) } )
2410, 23pm2.61i 164 1  |-  rec ( F ,  I )  =  U. { f  |  E. x  e.  On  ( f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y
)  =  if ( y  =  (/) ,  if ( I  e.  _V ,  I ,  (/) ) ,  if ( Lim  y ,  U. ( f "
y ) ,  ( F `  ( f `
 U. y ) ) ) ) ) }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   ifcif 3945   U.cuni 4251   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   "cima 5008    Fn wfn 5589   ` cfv 5594   reccrdg 7087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088
This theorem is referenced by:  dfrdg4  29527
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