Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfrcl4 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem dfrcl4 36339
Description: Reflexive closure of a relation as indexed union of powers of the relation. (Contributed by RP, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl4  |-  r*  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  {
0 ,  1 }  ( r ^r 
n ) )
Distinct variable group:    n, r

Proof of Theorem dfrcl4
StepHypRef Expression
1 dfrcl3 36338 . 2  |-  r*  =  ( r  e.  _V  |->  ( ( r ^r  0 )  u.  ( r ^r  1 ) ) )
2 df-pr 3962 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )
3 iuneq1 4283 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  =  ( { 0 }  u.  { 1 } )  ->  U_ n  e.  { 0 ,  1 }  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( r ^r  n ) )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-  U_ n  e.  { 0 ,  1 }  ( r ^r  n )  = 
U_ n  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( r ^r  n )
5 iunxun 4354 . . . 4  |-  U_ n  e.  ( { 0 }  u.  { 1 } ) ( r ^r  n )  =  ( U_ n  e. 
{ 0 }  (
r ^r  n )  u.  U_ n  e.  { 1 }  (
r ^r  n ) )
6 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
7 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  0 ) )
86, 7iunxsn 4352 . . . . 5  |-  U_ n  e.  { 0 }  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  0 )
9 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
10 oveq2 6316 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  1 ) )
119, 10iunxsn 4352 . . . . 5  |-  U_ n  e.  { 1 }  (
r ^r  n )  =  ( r ^r  1 )
128, 11uneq12i 3577 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  { 0 }  ( r ^r  n )  u. 
U_ n  e.  {
1 }  ( r ^r  n ) )  =  ( ( r ^r  0 )  u.  ( r ^r  1 ) )
134, 5, 123eqtri 2497 . . 3  |-  U_ n  e.  { 0 ,  1 }  ( r ^r  n )  =  ( ( r ^r  0 )  u.  ( r ^r 
1 ) )
1413mpteq2i 4479 . 2  |-  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  { 0 ,  1 }  ( r ^r  n ) )  =  ( r  e. 
_V  |->  ( ( r ^r  0 )  u.  ( r ^r  1 ) ) )
151, 14eqtr4i 2496 1  |-  r*  =  ( r  e.  _V  |->  U_ n  e.  {
0 ,  1 }  ( r ^r 
n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452   _Vcvv 3031    u. cun 3388   {csn 3959   {cpr 3961   U_ciun 4269    |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558   ^r crelexp 13160   r*crcl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-seq 12252  df-relexp 13161  df-rcl 36336
This theorem is referenced by:  brfvrcld  36354  fvrcllb0d  36356  fvrcllb0da  36357  fvrcllb1d  36358  corclrcl  36370  corcltrcl  36402  cotrclrcl  36405
  Copyright terms: Public domain W3C validator