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Theorem dfrcl2 36337
Description: Reflexive closure of a relation as union with restricted identity relation. (Contributed by RP, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl2  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )

Proof of Theorem dfrcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rcl 36336 . 2  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
2 rabab 3051 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
) }  =  {
z  |  ( x 
C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) 
C_  z ) }
32eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }
43inteqi 4230 . . . . . 6  |-  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
6 vex 3034 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
76dmex 6745 . . . . . . . . . 10  |-  dom  x  e.  _V
86rnex 6746 . . . . . . . . . 10  |-  ran  x  e.  _V
97, 8unex 6608 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  u.  ran  x
)  e.  _V
10 resiexg 6748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  e.  _V )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  e.  _V
1211, 6unex 6608 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  e.  _V )
14 ssun2 3589 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)
15 dmun 5047 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  dom  x )
16 dmresi 5166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
1716uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  dom  x )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u. 
dom  x )
18 un23 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  dom  x )  =  ( ( dom  x  u. 
dom  x )  u. 
ran  x )
19 unidm 3568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  x  u.  dom  x
)  =  dom  x
2019uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  dom  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2118, 20eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  dom  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2215, 17, 213eqtri 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
23 rnun 5250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  ran  x )
24 rnresi 5187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2524uneq1i 3575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  ran  x )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u. 
ran  x )
26 unass 3582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ( ran  x  u.  ran  x
) )
27 unidm 3568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  x  u.  ran  x
)  =  ran  x
2827uneq2i 3576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  x  u.  ( ran  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2926, 28eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3023, 25, 293eqtri 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
3122, 30uneq12i 3577 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u.  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
32 unidm 3568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3331, 32eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3433reseq2i 5108 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  =  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )
35 ssun1 3588 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )
3634, 35eqsstri 3448 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)
3714, 36pm3.2i 462 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
38 dmeq 5040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  ->  dom  z  =  dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
39 rneq 5066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  ->  ran  z  =  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
4038, 39uneq12d 3580 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( dom  z  u.  ran  z )  =  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  u. 
ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) ) )
4140reseq2d 5111 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
(  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) ) )
42 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) )
4341, 42sseq12d 3447 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z 
<->  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )
4443cleq2lem 36285 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  <->  ( x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) ) )
4544intminss 4252 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  e.  _V  /\  ( x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  ->  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
4613, 37, 45sylancl 675 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
) }  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
475, 46eqsstrd 3452 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
48 dmss 5039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  z  ->  dom  x  C_  dom  z )
49 rnss 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  z  ->  ran  x  C_  ran  z )
50 unss12 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  x  C_  dom  z  /\  ran  x  C_  ran  z )  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  C_  ( dom  z  u.  ran  z ) )
5148, 49, 50syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  C_  ( dom  z  u.  ran  z ) )
52 dfss 3405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  C_  ( dom  z  u.  ran  z )  <->  ( dom  x  u.  ran  x )  =  ( ( dom  x  u.  ran  x
)  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
5351, 52sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( ( dom  x  u.  ran  x )  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
54 incom 3616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) )  =  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
5553, 54syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )
5655reseq2d 5111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  (  _I  |`  (
( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u.  ran  x
) ) ) )
57 resres 5123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  (  _I  |`  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )
5856, 57syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) )  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )
59 resss 5134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  z  ->  (
(  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) ) )
6158, 60eqsstrd 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) 
C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
6261adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
63 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) ) 
C_  z )
6462, 63sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  z )
65 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  x  C_  z
)
6664, 65unssd 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  C_  z )
6766ax-gen 1677 . . . . . 6  |-  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
)
69 ssintab 4243 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  <->  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
)
7068, 69sylibr 217 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
7147, 70eqssd 3435 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
7271mpteq2ia 4478 . 2  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )  =  ( x  e. 
_V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )
731, 72eqtri 2493 1  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   {crab 2760   _Vcvv 3031    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   |^|cint 4226    |-> cmpt 4454    _I cid 4749   dom cdm 4839   ran crn 4840    |` cres 4841   r*crcl 36335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-rcl 36336
This theorem is referenced by:  dfrcl3  36338
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