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Theorem dfrcl2 36120
Description: Reflexive closure of a relation as union with restricted identity relation. (Contributed by RP, 6-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
dfrcl2  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )

Proof of Theorem dfrcl2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rcl 36119 . 2  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
2 rabab 3096 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
) }  =  {
z  |  ( x 
C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) 
C_  z ) }
32eqcomi 2433 . . . . . . 7  |-  { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }
43inteqi 4253 . . . . . 6  |-  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
6 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
76dmex 6732 . . . . . . . . . 10  |-  dom  x  e.  _V
86rnex 6733 . . . . . . . . . 10  |-  ran  x  e.  _V
97, 8unex 6595 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  x  u.  ran  x
)  e.  _V
10 resiexg 6735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  e.  _V  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  e.  _V )
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  e.  _V
1211, 6unex 6595 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  e.  _V )
14 ssun2 3627 . . . . . . 7  |-  x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)
15 dmun 5053 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  dom  x )
16 dmresi 5172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
1716uneq1i 3613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  dom  x )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u. 
dom  x )
18 un23 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  dom  x )  =  ( ( dom  x  u. 
dom  x )  u. 
ran  x )
19 unidm 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  x  u.  dom  x
)  =  dom  x
2019uneq1i 3613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  dom  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2118, 20eqtri 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  dom  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2215, 17, 213eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
23 rnun 5256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  ran  x )
24 rnresi 5193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2524uneq1i 3613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  ran  x )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u. 
ran  x )
26 unass 3620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ( ran  x  u.  ran  x
) )
27 unidm 3606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  x  u.  ran  x
)  =  ran  x
2827uneq2i 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( dom  x  u.  ( ran  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
2926, 28eqtri 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ran  x )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3023, 25, 293eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  =  ( dom  x  u.  ran  x
)
3122, 30uneq12i 3615 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )  =  ( ( dom  x  u. 
ran  x )  u.  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
32 unidm 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  u.  ( dom  x  u.  ran  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3331, 32eqtri 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )  =  ( dom  x  u.  ran  x )
3433reseq2i 5114 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  =  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )
35 ssun1 3626 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )
3634, 35eqsstri 3491 . . . . . . 7  |-  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)
3714, 36pm3.2i 456 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
38 sseq2 3483 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( x  C_  z  <->  x 
C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) ) )
39 dmeq 5047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  ->  dom  z  =  dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
40 rneq 5072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  ->  ran  z  =  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
4139, 40uneq12d 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( dom  z  u.  ran  z )  =  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  u. 
ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) ) )
4241reseq2d 5117 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
(  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  =  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) ) )
43 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) )
4442, 43sseq12d 3490 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z 
<->  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )
4538, 44anbi12d 715 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x )  -> 
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  <->  ( x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  u.  ran  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x ) ) )  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) ) )
4645intminss 4276 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  e.  _V  /\  ( x  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  /\  (  _I  |`  ( dom  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  u.  ran  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) ) )  ->  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
4713, 37, 46sylancl 666 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  e.  _V  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
) }  C_  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
485, 47eqsstrd 3495 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  C_  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
49 dmss 5046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  z  ->  dom  x  C_  dom  z )
50 rnss 5075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
C_  z  ->  ran  x  C_  ran  z )
51 unss12 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  x  C_  dom  z  /\  ran  x  C_  ran  z )  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  C_  ( dom  z  u.  ran  z ) )
5249, 50, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  C_  ( dom  z  u.  ran  z ) )
53 dfss 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  C_  ( dom  z  u.  ran  z )  <->  ( dom  x  u.  ran  x )  =  ( ( dom  x  u.  ran  x
)  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
5452, 53sylib 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( ( dom  x  u.  ran  x )  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
55 incom 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  x  u.  ran  x )  i^i  ( dom  z  u.  ran  z ) )  =  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u. 
ran  x ) )
5654, 55syl6eq 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  z  ->  ( dom  x  u.  ran  x
)  =  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u.  ran  x
) ) )
5756reseq2d 5117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  (  _I  |`  (
( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u.  ran  x
) ) ) )
58 resres 5129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  (  _I  |`  ( ( dom  z  u.  ran  z )  i^i  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )
5957, 58syl6eqr 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  =  ( (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) )  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) )
60 resss 5140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) )
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
C_  z  ->  (
(  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) ) )
6259, 61eqsstrd 3495 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  z  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) ) 
C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
6362adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) ) )
64 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  z  u. 
ran  z ) ) 
C_  z )
6563, 64sstrd 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) ) 
C_  z )
66 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  x  C_  z
)
6765, 66unssd 3639 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z
) )  C_  z
)  ->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x ) )  u.  x )  C_  z )
6867ax-gen 1665 . . . . . 6  |-  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
6968a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
)
70 ssintab 4266 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  <->  A. z
( ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z )  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  z )
)
7169, 70sylibr 215 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  (
(  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
)  C_  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )
7248, 71eqssd 3478 . . 3  |-  ( x  e.  _V  ->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) }  =  ( (  _I  |`  ( dom  x  u.  ran  x
) )  u.  x
) )
7372mpteq2ia 4500 . 2  |-  ( x  e.  _V  |->  |^| { z  |  ( x  C_  z  /\  (  _I  |`  ( dom  z  u.  ran  z ) )  C_  z ) } )  =  ( x  e. 
_V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )
741, 73eqtri 2449 1  |-  r*  =  ( x  e.  _V  |->  ( (  _I  |`  ( dom  x  u. 
ran  x ) )  u.  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1867   {cab 2405   {crab 2777   _Vcvv 3078    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   |^|cint 4249    |-> cmpt 4476    _I cid 4756   dom cdm 4846   ran crn 4847    |` cres 4848   r*crcl 36118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-rcl 36119
This theorem is referenced by:  dfrcl3  36121
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